（总集篇）总集篇·分数运算中的二十二种巧算法【二十二大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

第 1 页 共 34 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 34 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 总集篇·分数运算中的二十二种巧算法【二十二大考点】 专题名称 总集篇·分数运算中的二十二种巧算法 专题内容 本专题介绍在分数运算过程中的二十二种巧算法，内容覆盖分数乘法、分数除 法以及分数混合运算，难度覆盖一般巧算法与思维拓展巧算法。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 二十二大考点 【考点一】巧算法其一：转化法·交换分子与分母的位置，转化相同因数 ....................................................4 【考点二】巧算法其二：拆分法·带分数化加式或化减式 ................................................................................ 5 【考点三】巧算法其三：拆分法·分数化加式或化减式 .................................................................................... 7 【考点四】巧算法其四：拆分法·整数化加式或化减式或化倍式 ....................................................................8 【考点五】巧算法其五：连锁约分法 ............................................................................................................... 10 【考点六】巧算法其六：分组简算法 ............................................................................................................... 11 【考点七】巧算法其七：换元法（字母代换法或设数法）＊ .......................................................................12 【考点八】巧算法其八：裂项法（分数裂和与分数裂差）＊ .......................................................................14 【考点九】巧算法其九：多种方法解混合型算式＊ ....................................................................................... 18 第 3 页 共 34 页 【考点十】巧算法其十：整体约分思想 ........................................................................................................... 19 【考点十一】巧算法其十一：拆分法计算形如 a b aa  （a、b 都不为 0）的算式（带分数化加式） ..... 20 【考点十二】巧算法其十二：带分数化加式“进阶” ................................................................................... 21 【考点十三】巧算法其十三：转化法计算形如 1a aaa   （a 不为 0）的算式 .......................................... 22 【考点十四】巧算法其十四：先统一计算形式，再进行简算 .......................................................................23 【考点十五】巧算法其十五：倒数法简便计算 ............................................................................................... 24 【考点十六】巧算法其十六：平方差公式＊ ................................................................................................... 25 【考点十七】巧算法其十七：高斯公式＊ ....................................................................................................... 26 【考点十八】巧算法其十八：通项公式法＊ ................................................................................................... 28 【考点十九】巧算法其十九：错位相减法＊ ................................................................................................... 29 【考点二十】巧算法其二十：估算法＊ ........................................................................................................... 31 【考点二十一】巧算法其二十一：繁分数运算＊ ........................................................................................... 32 【考点二十二】巧算法其二十二：平方和公式与立方和公式＊ ...................................................................33 第 4 页 共 34 页 【考点一】巧算法其一：转化法·交换分子与分母的位置，转化相同因数 方法点拨 在分数乘法中，分子与分子之间，整数与分子之间，分母与分母之间都可以 交换位置，不影响积的大小。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 13 3 26 33 25 4 4 134      【对应练习 1】 简便计算。 7 17 ×16 25 ＋ 9 17 × 7 25 24 7 17 9 24 9 17 5  24 13 16 7 24 7 16 11  【对应练习 2】 简便计算。 27 5 11 6 11 5 9 710  17 5 9 1 9 150 17 16 9 5  17 6 18 5 17 4 9 5 6 5 17 1  第 5 页 共 34 页 【对应练习 3】 简便计算。 2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   【考点二】巧算法其二：拆分法·带分数化加式或化减式 方法点拨 在进行分数乘法简便计算时，当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数 进行拆分，即写成“整数＋真分数”或“整数－真分数”的形式，然后再使 用乘法分配律进行简便计算。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】带分数化加式 简便计算。 24 15 8 ×5 6 17 1 20 1751  20 15 7 ×25 【对应练习 1】 简便计算。 （1） 1 12004 2002 2003  （2） 1 3 1 441 51 3 4 4 5    第 6 页 共 34 页 【对应练习 2】 简便计算。 （1） 1 17215 8  （2） 1 754 7 9  【对应练习 3】 简便计算。 20 12 5 ×1 5 332 9 × 9 11 211 6 ×6 7 【典型例题 2】带分数化减式 简便计算。 1 2 1 3 1 4 1 529 39 49 59 2 3 3 4 4 5 5 6        【对应练习】 简便计算。 2 1 4 314  144 5 ×10 253 8 ×8 第 7 页 共 34 页 【考点三】巧算法其三：拆分法·分数化加式或化减式 方法点拨 在进行分数乘法简便计算时，当因数是一个分数且接近 1时，可以把这个分 数拆分成“1＋分数”或“1－分数”的形式，然后再使用乘法分配律。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】分数化加式 简便计算。 23 22 ×17 【典型例题 2】分数化减式 简便计算。 33 34 ×27 【对应练习 1】 简便计算。 50 49 ×13 43 41 ×13 【对应练习 2】 简便计算。 33 34 ×13 39 38 ×25 第 8 页 共 34 页 【对应练习 3】 简便计算。 2013 2014 40252011 2012 2012 2013 2012 2013      【考点四】巧算法其四：拆分法·整数化加式或化减式或化倍式 方法点拨 在进行分数乘法简便计算时，当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母 成倍数关系时，可以把这个整数拆分，然后再使用乘法分配律。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】整数化加式 简便计算。 9991001 1000  【典型例题 2】整数化减式 简便计算。 200×199201 【典型例题 3】整数化倍式 简便计算。 93× 46 21 第 9 页 共 34 页 【对应练习 1】 简便计算。 2357 56  101× 59100 101× 59100 【对应练习 2】 简便计算。 29 99 98  1567 68  【对应练习 3】 简便计算。 52×37 50 1001× 101 1002 199×89 99 135 34136 第 10 页 共 34 页 【考点五】巧算法其五：连锁约分法 方法点拨 连锁约分法的应用条件。 1. 计算式中有多个分式相乘； 2. 各个因式中的分子、分母分别化成乘积形式； 3. 观察规律，约分，得出结果。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 1 2 × 2 3 × 3 4 ×…× 99100 × 100 101 【对应练习 1】 简便计算。 （1+ 12 ）（1- 1 2 ）（1+ 1 3）（1- 1 3）…（1+ 1 99）（1- 1 99） 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 11 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 100                                       第 11 页 共 34 页 【对应练习 3】 简便计算。 2021×（1－ 12 ）×（1－ 1 3）×（1－ 1 4 ）×…×（1－ 12021） 【考点六】巧算法其六：分组简算法 方法点拨 分组简算法。 在计算过程中，观察算式特点，利用加法交换律或乘法交换律或减法的性质， 将算式中的项重新组合，从而简化计算，这种方法特别适用于那些具有特定 规律或可以相互抵消的项。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】基础型问题 简便计算。 19 19 19 19(1 ) (1 2) (1 3) (1 11) 92 92 92 92            【对应练习 1】 简便计算。 5 89 5 40 5 5199 73 73 99 9 129 7 129 7 9        第 12 页 共 34 页 【对应练习 2】 简便计算。 2 2 2 2 2 220 1 19 2 18 3 17 4 16 5 1 20 21 21 21 21 21 21                                                      【考点七】巧算法其七：换元法（字母代换法或设数法） 方法点拨 1. 换元法。 在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的 一部分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法。 2. 换元法的步骤。 （1）一般情况下，设最短式子为 A，次短式子为 B； （2）单独分离整数，即整数不包括在 A、B之内。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 99 2 3 4 100 2 3 4 100 2 3 4 99                                        【答案】 1 100 【对应练习 1】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                                      第 13 页 共 34 页 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                    【对应练习 3】 简便计算。 1 2017 2018 2017 2018 2019 2017 2018 2019 1 2017 2018( ) ( ) - ( ) ( ) 2 2018 2019 2018 2019 2020 2018 2019 2020 2 2018 2019           第 14 页 共 34 页 【考点八】巧算法其八：裂项法（分数裂和与分数裂差） 方法点拨 1. 裂项法。 把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法 叫做裂项法。 2. 常用裂项法公式。 ① 1n 1 n 1 1nn 1    ）（ ； ② ）（ ）（ kn 1 n 1 k 1 knn 1    ； ③ ）（ ））（（ 1n2 1 1n2 1 2 1 1n21n2 1      ； ④          ））（（）（））（（ k2nkn 1 knn 1 k2 1 k2nknn 1 ； ⑤ a 1 b 1 ba b ba a ba ba        ； ⑥ a b b a bababa baba 2222        。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】类型一 观察下列等式： 1 11 1 2 2    ， 1 1 1 2 3 2 3    ， 1 1 1 3 4 3 4    ， 请将以上三个等式两边分别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4               。 （1）猜想并写出： 1 ( 1)n n   ( )。 （2） 1 1 1 1+ 1 2 2 3 3 4 2016 2017          ( )。 （3）探究并计算： 1 1 1 1+ + + + = 2 4 4 6 6 8 2016 2018        ( )。 （4）计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 14 12 24 40 60 84 112 144 180         第 15 页 共 34 页 【对应练习 1】 简便计算。 1 3 5 ＋ 1 5 7 ＋ 1 7 9 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30     【典型例题 2】类型二 简便计算。 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 8 9 10                L 【对应练习】 简便计算。 + + +…+ 第 16 页 共 34 页 【典型例题 3】类型三 简便计算。 1 3 7 15 31 2 4 8 16 32     【对应练习】 简便计算。 3 11 23 39 759 839 2 6 12 20 380 420       【典型例题 4】类型四 简便计算。 2 2 2 22 4 6 100 1 3 3 5 5 7 99 101         L 【对应练习】 简便计算。 1210108866442 119753 22222          第 17 页 共 34 页 【典型例题 5】类型五 简便计算。 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 18 19 19 20 1 2 2 3 18 19 19 20            【对应练习】 计算。 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 15 1 2 2 3 3 4 7 8          【典型例题 6】类型六 计算。 1 1 1 1..... 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 .... 99                。 【对应练习】 计算。 1 1 1 11+ + + + + 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+ +50   第 18 页 共 34 页 【考点九】巧算法其九：多种方法解混合型算式 方法点拨 观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要 多次使用乘法分配律或逆运算。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 3 47.2 61 73.8 2 10 5    【对应练习 1】 简便计算。 3 3 3 37 6 7 6 28 27 27 28    【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8 8 8 8                                    第 19 页 共 34 页 【考点十】巧算法其十：整体约分思想 方法点拨 整体约分，即将复杂分数算式视为一个整体，通过提取公因数或识别共同结 构，实现一次性约简，避免分步计算的繁琐性。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】问题一 简便计算。 8 3 6 3 5 41 9 7 11 11 7 9                【典型例题 2】问题二 简便计算。 （ 4 11× 11 9 × 47 ）÷（ 2 11× 5 9 × 2 7） 【对应练习 1】 简便计算。 3 30.84 0.54 0.54 0.14 20 10                【对应练习 2】 简便计算。 ）（）（ 9 5 7 5 9 27 7 29  第 20 页 共 34 页 【考点十一】巧算法其十一：拆分法计算形如 a b aa  （a、b 都不为 0）的算式（带分数化 加式） 方法点拨 计算形如 a b aa  （a、b都不为 0）的算式，一般把被除数化成 ）（ b aa  的形式， 即带分数化加式，然后再利用乘法分配律进行计算。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 2020 2021 2020 ÷2020 【对应练习 1】 简便计算。 3232 33 ÷32 【对应练习 2】 简便计算。 16 15 8 ÷8 第 21 页 共 34 页 【对应练习 3】 简便计算。 1÷（2006 20062007 ÷2006） 【考点十二】巧算法其十二：带分数化加式“进阶” 方法点拨 计算形如 a b aa  （a、b都不为 0）的算式，一般把被除数化成 ）（ b aa  的形式， 即带分数化加式，然后再利用乘法分配律进行计算。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 60 13 3 ÷29 【对应练习 1】 简便计算。 84 20 1 ÷41 【对应练习 2】 17 5 254  第 22 页 共 34 页 【对应练习 3】 简便计算。 2010 1003 250 3  【考点十三】巧算法其十三：转化法计算形如 1a aaa   （a 不为 0）的算式 方法点拨 计算形如 1a aaa   的算式，编者总结了多种方法可以使用。 其一，可以利用商不变的规律，将被除数和除数同时除以 a，再计算； 其二，可以先求出 a 1a aa   的商，再根据两个商互为倒数确定所求算式的商； 其三，可以将带分数化成假分数，但不化成完整的假分数，在化成假分数的 过程中，先把分数部分写成算式的形式，再简便计算。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 2019÷2019 2019 2020 【对应练习 1】 简便计算。 2017÷2017 2017 2018 第 23 页 共 34 页 【对应练习 2】 简便计算。 2002 12002 2002 2003 2004   【对应练习 3】 简便计算。 1999÷1999 19992000＋ 1 2001 【考点十四】巧算法其十四：先统一计算形式，再进行简算 方法点拨 先把小数和分数互相转化，将除法转化成乘法，找到相同的因数，再利用乘 法分配律进行简算。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 4 337.0075.03.2 3 11 5 41  【对应练习 1】 简便计算。 17 9 23 123 17 8  第 24 页 共 34 页 【对应练习 2】 简便计算。 9.0 9 106.3 10 94.5  【对应练习 3】 简便计算。 25.164.2 5 43636.1 4 11  【考点十五】巧算法其十五：倒数法简便计算 方法点拨 倒数法，即当直接计算比较麻烦时，可以先计算算式的倒数，再取得数的倒 数进行简化复杂运算的技巧。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 ）（ 6 1 3 2 8 5 16 9 48 1  第 25 页 共 34 页 【对应练习】 简便计算 ）（ 3 1 6 1 5 2 10 7 30 1  【考点十六】巧算法其十六：平方差公式 方法点拨 平方差公式： ))((ba 22 baba  考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 12345678910 12345678910 2222222222   【对应练习 1】 简便计算。 992﹣972+952﹣932+…．+32﹣12 ． 第 26 页 共 34 页 【对应练习 2】 简便计算。    2 2 2 2 2 2 2 22 4 6 100 1 3 5 99 1 2 3 8 9 10 9 8 3 2 1                          【对应练习 3】 简便计算。 【考点十七】巧算法其十七：高斯公式 方法点拨 1. 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2； 2. 末项公式：末项=首项+（项数-1）×公差； 3. 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】问题一 简便计算。 1 3 5 7 9 2013 2015 2017 2019 4027             第 27 页 共 34 页 【典型例题 2】问题二 简便计算。 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 2001 2 2 3 2 3 4 2 3 2001                       【对应练习 1】 计算： 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 100               。 【对应练习 2】 简便计算。 1 2 1 3 2 2 5 2 3 999 2 500 500 500 500 500             【对应练习 3】 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50 2 2 3 2 3 4 2 3 50                       第 28 页 共 34 页 【考点十八】巧算法其十八：通项公式法 方法点拨 通项公式其一： 2 2( 1) 1 12 ( 1) 1 n n n n n n        ； 通项公式其二：       21 11 2 2 n n n n n        。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】通项公式一 简便计算。 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 4 2017 2018 1 2 2 3 3 4 2017 2018              【对应练习】 简便计算。 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 18 19 19 20 1 2 2 3 18 19 19 20            【典型例题 2】通项公式二 简便计算。 2 2 2 22 4 6 100 1 3 3 5 5 7 99 101         L 第 29 页 共 34 页 【对应练习】 计算： 2 2 2 21 2 3 50 1 3 3 5 5 7 99 101           ． 【考点十九】巧算法其十九：错位相减法 方法点拨 错位相减法是常见的数列求和方法，通常步骤如下： 1. 设原式=m，作为①式； 2. 两边同时乘或除以公比进行扩大或缩小，得到的式子作为②式； 3. 两式相减，错位抵消，求出结果。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】问题一 简便计算。 2187 1 81 1 27 1 9 1 3 1   【对应练习 1】 简便计算。 243 1 81 1 27 1 9 1 3 11  第 30 页 共 34 页 【对应练习 2】 简便计算。 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1  【典型例题 2】问题二 简便计算。 1 3 7 15 31 2 4 8 16 32     【对应练习】 简便计算。 1 2 + 3 4 + 7 8 + 15 16 + 31 32 + 63 64 + 127 128 + 255 256 第 1 页 共 52 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 52 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 总集篇·分数运算中的二十二种巧算法【二十二大考点】 专题名称 总集篇·分数运算中的二十二种巧算法 专题内容 本专题介绍在分数运算过程中的二十二种巧算法，内容覆盖分数乘法、分数除 法以及分数混合运算，难度覆盖一般巧算法与思维拓展巧算法。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 二十二大考点 【考点一】巧算法其一：转化法·交换分子与分母的位置，转化相同因数 ....................................................4 【考点二】巧算法其二：拆分法·带分数化加式或化减式 ................................................................................ 5 【考点三】巧算法其三：拆分法·分数化加式或化减式 .................................................................................... 8 【考点四】巧算法其四：拆分法·整数化加式或化减式或化倍式 ..................................................................10 【考点五】巧算法其五：连锁约分法 ............................................................................................................... 12 【考点六】巧算法其六：分组简算法 ............................................................................................................... 14 【考点七】巧算法其七：换元法（字母代换法或设数法）＊ .......................................................................16 【考点八】巧算法其八：裂项法（分数裂和与分数裂差）＊ .......................................................................19 【考点九】巧算法其九：多种方法解混合型算式＊ ....................................................................................... 26 第 3 页 共 52 页 【考点十】巧算法其十：整体约分思想 ........................................................................................................... 29 【考点十一】巧算法其十一：拆分法计算形如 a b aa  （a、b 都不为 0）的算式（带分数化加式） ..... 31 【考点十二】巧算法其十二：带分数化加式“进阶” ................................................................................... 33 【考点十三】巧算法其十三：转化法计算形如 1a aaa   （a 不为 0）的算式 .......................................... 35 【考点十四】巧算法其十四：先统一计算形式，再进行简算 .......................................................................37 【考点十五】巧算法其十五：倒数法简便计算 ............................................................................................... 38 【考点十六】巧算法其十六：平方差公式＊ ................................................................................................... 38 【考点十七】巧算法其十七：高斯公式＊ ....................................................................................................... 40 【考点十八】巧算法其十八：通项公式法＊ ................................................................................................... 43 【考点十九】巧算法其十九：错位相减法＊ ................................................................................................... 46 【考点二十】巧算法其二十：估算法＊ ........................................................................................................... 47 【考点二十一】巧算法其二十一：繁分数运算＊ ........................................................................................... 50 【考点二十二】巧算法其二十二：平方和公式与立方和公式＊ ...................................................................51 第 4 页 共 52 页 【考点一】巧算法其一：转化法·交换分子与分母的位置，转化相同因数 方法点拨 在分数乘法中，分子与分子之间，整数与分子之间，分母与分母之间都可以 交换位置，不影响积的大小。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 13 3 26 33 25 4 4 134      解析： 13 3 26 33 25 4 4 134      13 3 3= 3 25 2 4 44       3= 13 5 4 2 2   3= 4 40 30 【对应练习 1】 简便计算。 7 17 ×16 25 ＋ 9 17 × 7 25 24 7 17 9 24 9 17 5  24 13 16 7 24 7 16 11  解析： 17 7 ； 34 9 ； 16 7 【对应练习 2】 简便计算。 27 5 11 6 11 5 9 710  17 5 9 1 9 150 17 16 9 5  17 6 18 5 17 4 9 5 6 5 17 1  解析：5； 9 55 ； 18 5 【对应练习 3】 第 5 页 共 52 页 简便计算。 2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   解析： 2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   2 5 3 4 4 4= 21 6 18 3 12 4 11 11 11                    2 5 3 4= 21 6 18 3 12 4 11                2 5 3 4= 33 3 12 4 11              2 5 3= 12 3 12 4        2 5 3= 12 12 12 3 12 4      =8 5 9  =22 【考点二】巧算法其二：拆分法·带分数化加式或化减式 方法点拨 在进行分数乘法简便计算时，当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数 进行拆分，即写成“整数＋真分数”或“整数－真分数”的形式，然后再使 用乘法分配律进行简便计算。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】带分数化加式 简便计算。 24 15 8 ×5 6 17 1 20 1751  20 15 7 ×25 解析： 9 184 ； 20 61 ； 3 1535 【对应练习 1】 简便计算。 （1） 1 12004 2002 2003  （2） 1 3 1 441 51 3 4 4 5    第 6 页 共 52 页 【答案】（1） 11 2002；（2）72 【分析】（1）先把带分数 12004 2002 改写成 12004 2002      ，再把2004拆成2003 1 ，把1给分数 1 2002， 这样算式变成 2003 12003 2002 2003       ，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把带分数 141 3 、 151 4 改写成 141 3      、 151 4      ，再把 41拆成40 1 、把51拆成50 1 ，都把 1给后面的分数，最后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） 1 12004 2002 2003  1 12004 2002 2003        1 12003 1 2002 2003         2003 12003 2002 2003        1 2003 12003 2003 2002 2003     11 2002   11 2002  （2） 1 3 1 441 51 3 4 4 5    1 3 1 441 51 3 4 4 5                 1 3 1 440 1 50 1 3 4 4 5                   3 440 50 3 4 4 5 4 5                3 3 4 440 50 4 3 5 4 5 4 5 4         30 1 40 1    72 【对应练习 2】 简便计算。 （1） 1 17215 8  （2） 1 754 7 9  【答案】（1） 19120；（2） 142 9 第 7 页 共 52 页 【分析】（1）（2）把带分数改写成“整数＋真分数”的形式，再根据乘法分配律（a＋b）×c ＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） 1 17215 8  1 172 15 8        1 1 172 8 15 8     19 120   19 120  （2） 1 754 7 9  1 754 7 9        7 1 754 9 7 9     142 9   142 9  【对应练习 3】 简便计算。 20 12 5 ×1 5 332 9 × 9 11 211 6 ×6 7 解析： 12 49 ； 11 299 ；18 7 1 【典型例题 2】带分数化减式 简便计算。 1 2 1 3 1 4 1 529 39 49 59 2 3 3 4 4 5 5 6        解析： 29 1 2 × 23＋39 1 3 × 3 4 ＋49 1 44 5  ＋59 1 5 5 6  ＝（30－ 1 2 ）× 23＋（40－ 2 3 ）× 3 4 ＋（50－ 3 4 ）× 45 ＋（60－ 4 5 ）× 5 6 ＝20－ 13＋30－ 1 2 ＋40－ 35＋50－ 2 3 第 8 页 共 52 页 ＝（20＋30＋40＋50）－（ 13＋ 2 3）－（ 1 2 ＋ 3 5） ＝139－1 1 10 ＝137 910 【对应练习】 简便计算。 2 1 4 314  144 5 ×10 253 8 ×8 解析： 8 59 ；148；203 【考点三】巧算法其三：拆分法·分数化加式或化减式 方法点拨 在进行分数乘法简便计算时，当因数是一个分数且接近 1时，可以把这个分 数拆分成“1＋分数”或“1－分数”的形式，然后再使用乘法分配律。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】分数化加式 简便计算。 23 22 ×17 解析：17 22 17 【典型例题 2】分数化减式 简便计算。 33 34 ×27 解析：26 34 7 【对应练习 1】 简便计算。 50 49 ×13 43 41 ×13 解析： 50 637 ； 41 559 第 9 页 共 52 页 【对应练习 2】 简便计算。 33 34 ×13 39 38 ×25 解析： 34 429 ； 38 975 【对应练习 3】 简便计算。 2013 2014 40252011 2012 2012 2013 2012 2013      【答案】4025 【分析】把原式化为 2011×（1＋ 1 2012 ）＋2012×（1＋ 12013）＋ 2 2 0 01 12 2 20 1 13 20 3   ，，然后运用乘法 分配律化为 2011＋ 20112012＋2012＋ 2012 2013＋ 1 2012 ＋ 1 2013，再运用加法交换律和加法结合律进行计 算即可。 【详解】 2013 2014 40252011 2012 2012 2013 2012 2013      ＝2011×（1＋ 1 2012 ）＋2012×（1＋ 12013）＋ 2 2 0 01 12 2 20 1 13 20 3   ＝2011＋ 20112012＋2012＋ 2012 2013＋ 1 2012 ＋ 1 2013 ＝2011＋2012＋（ 20112012＋ 1 2012 ）＋（ 2012 2013＋ 1 2013） ＝2011＋2012＋（1＋1） ＝2011＋2012＋2 ＝4023＋2 ＝4025 第 10 页 共 52 页 【考点四】巧算法其四：拆分法·整数化加式或化减式或化倍式 方法点拨 在进行分数乘法简便计算时，当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母 成倍数关系时，可以把这个整数拆分，然后再使用乘法分配律。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】整数化加式 简便计算。 9991001 1000  解析： 9991001 1000  ＝   9991000 1 1000  ＝ 999 9991000 1 1000 1000    ＝ 999999 1000  ＝ 999999 1000 【典型例题 2】整数化减式 简便计算。 200×199201 解析： 200×199201 ＝（201－1）×199201 ＝201×199201－1× 199 201 ＝199－199201 ＝198 2 201 【典型例题 3】整数化倍式 第 11 页 共 52 页 简便计算。 93× 46 21 解析：42 46 21 【对应练习 1】 简便计算。 2357 56  101× 59100 解析： 2357 56    2356 1 56    23 2356 1 56 56     2323 56   2323 56  101× 59100 ＝（100＋1）× 59100 ＝100× 59100＋1× 59 100 ＝59＋ 59100 ＝ 5959 100 【对应练习 2】 简便计算。 29 99 98  1567 68  【答案】（1） 2929 98 ；（2） 5314 68 【分析】（1）先把 99拆成 98＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把 67拆成 68－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 第 12 页 共 52 页 【详解】（1） 29 99 98   29 98 1 98    29 2998 1 98 98     2929 98   2929 98  （2） 1567 68    1568 1 68    15 1568 1 68 68     1515 68   5314 68  【对应练习 3】 简便计算。 52×37 50 1001× 101 1002 199×89 99 135 34136 解析：38 25 12 ；100 1002 901 ；178 99 89 ； 34 135 34 【考点五】巧算法其五：连锁约分法 方法点拨 连锁约分法的应用条件。 1. 计算式中有多个分式相乘； 2. 各个因式中的分子、分母分别化成乘积形式； 3. 观察规律，约分，得出结果。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 第 13 页 共 52 页 1 2 × 2 3 × 3 4 ×…× 99100 × 100 101 【答案】 1 101 【分析】仔细观察可以发现，算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的，即可以进行 约分，据此约分得出结果即可。 【详解】 1 2 × 2 3 × 3 4 ×…× 99100 × 100 101 ＝1× 1101 ＝ 1 101 【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。 【对应练习 1】 简便计算。 （1+ 12 ）（1- 1 2 ）（1+ 1 3）（1- 1 3）…（1+ 1 99）（1- 1 99） 【答案】 50 99 【详解】原式=（ 3 2 ）×（ 43）×（ 5 4 ）×…×(10099 ) ×( 1 2 ) ×( 2 3 ) ×( 3 4 ) ×…×( 98 99 ) =50×( 199 ) = 5099 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 11 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 100                                       解析： （3） 1 1 1 1 11 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 100                                       ＝ 1 2 3 4 2 3 4 5 99 100     ＝ 1 100 【对应练习 3】 简便计算。 第 14 页 共 52 页 2021×（1－ 12 ）×（1－ 1 3）×（1－ 1 4 ）×…×（1－ 12021） 解析： 2021×（1－ 12 ）×（1－ 1 3）×（1－ 1 4 ）×…×（1－ 12021） ＝2021× 12 × 2 3 × 3 4 ×…× 20202021 ＝1 【考点六】巧算法其六：分组简算法 方法点拨 分组简算法。 在计算过程中，观察算式特点，利用加法交换律或乘法交换律或减法的性质， 将算式中的项重新组合，从而简化计算，这种方法特别适用于那些具有特定 规律或可以相互抵消的项。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】基础型问题 简便计算。 19 19 19 19(1 ) (1 2) (1 3) (1 11) 92 92 92 92            解析： 原式= 11 19 19 191 1 1 1 2 11 92 92 92                        个 =  1911 1 2 3 11 92      = 1911 6692   = 2924 46 【对应练习 1】 简便计算。 5 89 5 40 5 5199 73 73 99 9 129 7 129 7 9        【答案】7299 2 7 第 15 页 共 52 页 【分析】根据减法的性质，将算式变为 5 5 89 5 40 5(199 73 73 99 ) ( ) 9 9 129 7 129 7 ＋      ，然后根据乘法分 配律，将算式变为 5 5 89 40 5199 99 73 ( ) 9 9 129 129 7 （ ） ＋    ，再计算括号里面的减法和加法，然后计算括 号外面的乘法，最后计算括号外面的减法。 【详解】 5 89 5 40 5 5199 73 73 99 9 129 7 129 7 9        ＝ 5 5 89 5 40 5(199 73 73 99 ) ( ) 9 9 129 7 129 7 ＋      ＝ 5 5 89 40 5199 99 73 ( ) 9 9 129 129 7 （ ） ＋    ＝ 5100 73 1 7    ＝ 57300 7  ＝7299 2 7 【对应练习 2】 简便计算。 2 2 2 2 2 220 1 19 2 18 3 17 4 16 5 1 20 21 21 21 21 21 21                                                      【答案】190 【分析】根据加法交换律和减法的性质，将算式变为 2 2 2 2 2 220 19 18 17 16 1 1 2 3 4 5 20 21 21 21 21 21 21 （ ）（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）              ，然后根据乘法分配律， 将算式变为 220 19 18 17 16 1 21 （ ）（1 ）       ，再计算出 2 21 1 ，接着将 20 19 18 17 16 1     首 尾相加，将算式变为 20 21 91 1[（ ）10]   ，然后计算出小括号里面的加法，最后去掉括号进行计算 即可。 【详解】 2 2 2 2 2 220 1 19 2 18 3 17 4 16 5 1 20 21 21 21 21 21 21                                                      ＝ 2 2 2 2 2 220 19 18 17 16 1 1 2 3 4 5 20 21 21 21 21 21 21 （ ）（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）              ＝ 220 19 18 17 16 1 1 2 3 4 5 20 21 （ ） （＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）         ＝ 220 19 18 17 16 1 21 （ ）（1 ）       ＝ 20 1 19 192 21 [（ ）（ ） …（10＋11）]     第 16 页 共 52 页 ＝ 20 21 91 1[（ ）10]   ＝ 21 19 [21 10]  ＝ 21 19 21 10  ＝190 【考点七】巧算法其七：换元法（字母代换法或设数法） 方法点拨 1. 换元法。 在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的 一部分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法。 2. 换元法的步骤。 （1）一般情况下，设最短式子为 A，次短式子为 B； （2）单独分离整数，即整数不包括在 A、B之内。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 99 2 3 4 100 2 3 4 100 2 3 4 99                                        【答案】 1 100 【分析】令 1 1 1 11 2 3 4 99     ＝A， 1 1 1 12 3 4 99    ＝B，将原式改写成含字母 A、B的式子， 再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把 A、B换回原来的式子计算出 结果。 【详解】令 1 1 1 11 2 3 4 99     ＝A， 1 1 1 12 3 4 99    ＝B； 原式＝A×（B＋ 1100）－（A＋ 1 100）×B ＝AB＋ 1100A－AB－ 1 100 B ＝ 1 100A－ 1 100B ＝ 1 100 ×（A－B） ＝ 1 100 ×[（ 1 1 1 11 2 3 4 99     ）－（ 1 1 1 1 2 3 4 99    ）] 第 17 页 共 52 页 ＝ 1 100 ×[ 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 99 2 3 4 99          L L ] ＝ 1 100 ×1 ＝ 1 100 【对应练习 1】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                                      【答案】 1 5 【分析】假设 1 1 11 a 2 3 4     ， 1 1 1 b 2 3 4    ，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把 a 和 b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。 【详解】假设 1 1 11 a 2 3 4     ， 1 1 1 b 2 3 4    原式＝ 1 1a b a b 5 5                ＝ 1 1ab a ab b 5 5              ＝ 1 1ab a ab b 5 5    ＝  1 a b5  ＝ 1 1 1 1 1 1 11 5 2 3 4 2 3 4                    ＝ 1 1 1 1 1 1 11 5 2 3 4 2 3 4           ＝ 1 1 5  ＝ 1 5 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                    解析： 第 18 页 共 52 页 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( 1) (1 1) 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5                                1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) (1 ) 2 3 4 5 6 2 3 4 5           1 1 1 6    1 6  【对应练习 3】 简便计算。 1 2017 2018 2017 2018 2019 2017 2018 2019 1 2017 2018( ) ( ) - ( ) ( ) 2 2018 2019 2018 2019 2020 2018 2019 2020 2 2018 2019           【答案】 2019 4040 【详解】（ + + ）×（ + + ）﹣（ + + + ）×（ + ） ＝（ + + ）×（ + ）+（ + + ）× ﹣（ + + ）× （ + ）﹣ ×（ + ） ＝ × +（ + ）× ﹣ ×（ + ） ＝ × ＝ . 第 19 页 共 52 页 【考点八】巧算法其八：裂项法（分数裂和与分数裂差） 方法点拨 1. 裂项法。 把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法 叫做裂项法。 2. 常用裂项法公式。 ① 1n 1 n 1 1nn 1    ）（ ； ② ）（ ）（ kn 1 n 1 k 1 knn 1    ； ③ ）（ ））（（ 1n2 1 1n2 1 2 1 1n21n2 1      ； ④          ））（（）（））（（ k2nkn 1 knn 1 k2 1 k2nknn 1 ； ⑤ a 1 b 1 ba b ba a ba ba        ； ⑥ a b b a bababa baba 2222        。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】类型一 观察下列等式： 1 11 1 2 2    ， 1 1 1 2 3 2 3    ， 1 1 1 3 4 3 4    ， 请将以上三个等式两边分别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4               。 （1）猜想并写出： 1 ( 1)n n   ( )。 （2） 1 1 1 1+ 1 2 2 3 3 4 2016 2017          ( )。 （3）探究并计算： 1 1 1 1+ + + + = 2 4 4 6 6 8 2016 2018        ( )。 （4）计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 14 12 24 40 60 84 112 144 180         第 20 页 共 52 页 【答案】（1） 1 1 1n n   （2） 20162017 （3） 252 1009 （4） 920 【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可； （2）根据（1）中的猜想计算出结果； （3）根据乘法分配律提取 1 4 ，再计算即可求解； （4）先拆项，再抵消结果即可求解。 【详解】（1） 1 1)n n（ ＝ 1 1 1n n － ＋ 1 1 1 12 1 2 2 3 3 4 2016 2017 1 1 1 1 1 1 11 + + 2 2 3 3 4 2016 2017 11 2017                  （ ） ＝ 2016 2017 1 1 1 1+ + + + 2 4 4 6 6 8 2016 2018 1 1 1 1 1= + + + ) 4 1 2 2 3 3 4 1008 1009 1 1(1 ) 4 1009 1 1008 4 1009 252 1009                  （ （3） 第 21 页 共 52 页 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + 4 12 24 40 60 84 112 144 180 1 1 1 1 1= + + + ) 2 1 2 2 3 3 4 9 10 1 11 ) 2 10 1 9 2 10 9 20             （ （ 4） （ 【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。 【对应练习 1】 简便计算。 1 3 5 ＋ 1 5 7 ＋ 1 7 9 【答案】 1 9 【分析】根据裂项求和的方法， 1 1 1 1 3 5 2 3 5        ， 1 1 1 1 5 7 2 5 7        ， 1 1 1 1 7 9 2 7 9        ，然后根 据加法交换律和加法结合律进行计算即可。 【详解】 1 3 5 ＋ 1 5 7 ＋ 1 7 9 ＝ 1 1 1 2 3 5       ＋ 1 1 1 2 5 7       ＋ 1 1 1 2 7 9       ＝ 1 2 （ 1 3  1 5 1 5  － 1 7 ＋ 1 7 － 1 9） ＝ 1 2 （ 1 1 3 9  ） ＝ 1 2  29 ＝ 1 9 【点睛】本题考查裂项求和，熟练运用交换律和结合律是解题的关键。 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30     第 22 页 共 52 页 【详解】 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30     ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6         （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6          ＝ 11 6  ＝ 5 6 【典型例题 2】类型二 简便计算。 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 8 9 10                L 解析： 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 8 9 10                L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 8 9 9 10                      1 1 1 2 1 2 9 10        1 1 1 2 2 90        1 22 2 45   11 45  【对应练习】 简便计算。 + + +…+ 【答案】 【详解】试题分析：因为 =（ ﹣ ）， =（ ﹣ ），…，因此通 过拆分，加减相互抵消，解决问题． 解： + + +…+ =（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ） 第 23 页 共 52 页 = ﹣ = 点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果． 【典型例题 3】类型三 简便计算。 1 3 7 15 31 2 4 8 16 32     解析： 1 3 7 15 31 2 4 8 16 32     ＝ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 4 8 16 32         （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） ＝ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 4 8 16 32          ＝ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 4 8 16 32         （ ）（ ） ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 15 1 2 2 4 4 8 8 16 16 32          （ ） ＝ 15 1 32  （ ） ＝ 15 32 -1+ ＝ 14 32 【点睛】此题用分数拆项的方法解决问题更便捷，做这类问题，应仔细审题，找到解决的最佳 途径，运用运算技巧灵活解答。 【对应练习】 简便计算。 3 11 23 39 759 839 2 6 12 20 380 420       【答案】39 121 【分析】通过计算发现：每一项的结果都是“2﹣分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后 把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果． 【详解】 3 11 23 39 759 839 2 6 12 20 380 420       第 24 页 共 52 页 ＝ 1 1 1 1 1(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2 6 12 380 420           ＝ 1 1 1 1 1(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 1 2 2 3 3 4 19 20 20 21                 ＝ 1 1 1 1 12 20 ( ) 1 2 2 3 3 4 19 20 20 21             ＝ 1 1 1 1 1 1 140 (1 ) 2 2 3 3 4 20 21         ＝ 140 (1 ) 21   ＝39＋ 121 ＝39 121 【点睛】此题解答的关键在于把分数拆分，变成相互抵消的形式，使计算简便． 【典型例题 4】类型四 简便计算。 2 2 2 22 4 6 100 1 3 3 5 5 7 99 101         L 解析： 2 2 2 22 4 6 100 1 3 3 5 5 7 99 101         L 1 1 11 1 1 1 3 3 5 5 7                          L 11 99 101     1 1 1 11 50 1 2 3 3 5          1 1 1 1 5 7 99 101        1 150 1 2 101         1 10050 2 101    5050 101  【对应练习】 简便计算。 1210108866442 119753 22222          解析： 24 55 第 25 页 共 52 页 【典型例题 5】类型五 简便计算。 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 18 19 19 20 1 2 2 3 18 19 19 20            【答案】 1938 20 【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与 裂项。 2 2 1 4 5 12 1 2 2 2 1 2 1 2       ， 22 4 9 13 2 3 6 6 32     ＝2＋ 12 3 ， 2 2 9 16 25 3 4 12 12 3 4    ＝2＋ 1 3 4 …… 2 2 12 18 19 18 19 18 19     ， 2 2 12 19 20 19 20 19 20     。 1 1 2 ＝1－ 1 2 ， 1 2 3 ＝ 1 2 － 1 3， 1 3 4 ＝ 1 3－ 1 4 …… 118 19 ＝ 1 18－ 1 19， 1 19 20 ＝ 1 19－ 1 20。 【详解】 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 18 19 19 20 1 2 2 3 18 19 19 20            ＝2＋ 11 2 ＋2＋ 1 2 3 ＋2＋ 1 3 4 ＋……＋2＋ 1 18 19 ＋2＋ 1 19 20 ＝2×19＋（ 11 2 ＋ 1 2 3 ＋ 1 3 4 ＋……＋ 1 18 19 ＋ 1 19 20 ） ＝38＋（1－ 12 ＋ 1 2 － 1 3＋ 1 3－ 1 4 ＋…… 1 18－ 1 19＋ 1 19－ 1 20） ＝38＋（1－ 120 ） ＝38＋ 1920 ＝ 1938 20 【对应练习】 计算。 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 15 1 2 2 3 3 4 7 8          【答案】 63 64 【详解】原式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 3 8 7 1 2 2 3 3 4 7 8               2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 7 8          2 11 8   63 64  【典型例题 6】类型六 第 26 页 共 52 页 计算。 1 1 1 1..... 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 .... 99                。 【答案】 49 50 【分析】由于   1 2 1 2 3 1n n n       ，所以题目中的式子可变形为： 1 1 12 2 3 3 4 99 100           ，根据分数裂项变形可得： 1 1 1 1 3 4 99 100 1 1 1 12 2 3 98 99               ，一加一减抵消后可得 1 12 2 100       ，最后通分计算即可。 【详解】 1 1 1 1..... 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 .... 99               ＝ 1 1 12 2 3 3 4 99 100           ＝ 1 1 1 1 3 4 99 100 1 1 1 12 2 3 98 99               ＝ 1 12 2 100       ＝ 49 50 【点睛】此题考查了分数连续相加求和与分数裂项求和的变形，主要是掌握   1 2 1 2 3 1n n n       是解题的关键。 【对应练习】 计算。 1 1 1 11+ + + + + 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+ +50   【答案】 491 51 【详解】略 【考点九】巧算法其九：多种方法解混合型算式 方法点拨 观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要 多次使用乘法分配律或逆运算。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题】 第 27 页 共 52 页 简便计算。 3 47.2 61 73.8 2 10 5    【答案】648 【分析】把分数化为小数，然后将 73.8拆分为 61.3＋2.8，然后根据乘法分配律，将算式变为 7.2 61.3 2.8 2.861.3 ＋12.5    ，再根据乘法分配律，将算式变为  7.2 2.8 61.3 2.8＋12.5   ，然后 计算括号里面的加法，再把 2.8拆分为 4×0.7，再根据乘法结合律，将算式变为  10 61.3 4 0.7＋ 12.5   进行简算即可。 【详解】 3 47.2 61 73.8 2 10 5    ＝  7.2 61.3 2.861.3＋12.5   ＝7.2 61.3 2.8 2.861.3 ＋12.5    ＝  7.2 2.8 61.3 2.8＋12.5   ＝10 61.3 2.8＋12.5  ＝  10 61.3 4 0.7＋12.5   ＝10 61.3 4 0.7＋12.5   ＝  10 61.3 4 0.7＋ 12.5   ＝10 61.3 50 0.7＋  ＝613 35＋ ＝ 648 【对应练习 1】 简便计算。 3 3 3 37 6 7 6 28 27 27 28    【答案】 1 252 【分析】先将 37 27 拆分为 31 6 27 ＋ ，然后根据乘法分配律和减法的性质，将算式变为 3 3 3 3 37 6 1 6 6 6 28 27 28 27 28      ，再根据带符号搬家，将算式变为 3 3 3 3 37 6 6 6 1 6 28 27 27 28 28      ，然 后根据乘法分配律，将算式变为 3 3 3 37 6 6 1 6 28 28 27 28         ，再计算括号里面的减法，进而计算 第 28 页 共 52 页 括号外面的乘法，将 3 36 6 27 28  的被减数和减数同时减去 6进行简算即可。 【详解】 3 3 3 37 6 7 6 28 27 27 28    ＝ 3 3 3 37 6 1 6 6 28 27 27 28        ＋ ＝ 3 3 3 3 37 6 1 6 6 6 28 27 28 27 28      ＝ 3 3 3 3 37 6 6 6 1 6 28 27 27 28 28      ＝ 3 3 3 37 6 6 1 6 28 28 27 28         ＝ 3 31 6 1 6 27 28    ＝ 3 36 6 27 28  ＝ 3 36 6 6 6 27 28            － － ＝ 3 3 27 28  ＝ 1 252 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8 8 8 8                                    【答案】 5553 64 【分析】先根据乘法分配律，将算式变为 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8                                   ，然后去掉 小括号，根据带符号搬家，将算式变为 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8              ，然后运用括号以及 减法的性质，将算式变为         1 1 1 1 180 8 70 8 60 8 10 8 8 8 8 8 8 8                      ，算式中减 去 9个 18，加上 9个 8，据此将算式变为     1 180 70 60 10 8 8 8 8 9 8 8                ，然后计算 小括号里面的结果，再将算式变为 9 1432 8 8      ，然后根据乘法分配律，将算式变为 1 9 1432 8 8 8    进行计算即可。 第 29 页 共 52 页 【详解】 1 1 1 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8 8 8 8                                    1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8                                  ＝ 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8             ＝ 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8             ＝         1 1 1 1 180 8 70 8 60 8 10 8 8 8 8 8 8 8                     ＝ 1 1 1 1 180 8 70 8 60 8 10 8 8 8 8 8 8 8                     ＝ 1 180 70 60 10 8 8 8 8 9 8 8               ＝     1 180 70 60 10 8 8 8 8 9 8 8               ＝ 1 1360 8 9 9 8 8         ＝ 9 1360 72 8 8       ＝ 9 1432 8 8      ＝ 1 9 1432 8 8 8 ＝    954 64 ＝  5553 64 ＝ 【考点十】巧算法其十：整体约分思想 方法点拨 整体约分，即将复杂分数算式视为一个整体，通过提取公因数或识别共同结 构，实现一次性约简，避免分步计算的繁琐性。 考察形式 计算 动态评价 【典型例题 1】问题一 简便计算。 第 30 页 共 52 页 8 3 6 3 5 41 9 7 11 11 7 9                解析： 8 3 6 3 5 41 9 7 11 11 7 9                ＝ 4 3 5 3 5 4[2 ( )] 9 11 7 11 7 9           ＝ 4 3 5 3 5 42 ( ) 9 11 7 11 7 9           ＝2 【典型例题 2】问题二 简便计算。 （ 4 11× 11 9 × 47 ）÷（ 2 11× 5 9 × 2 7） 解析： （ 4 11× 11 9 × 47 ）÷（ 2 11× 5 9 × 2 7） ＝ 4 11× 11 9 × 47 ÷ 2 11÷ 5 9 ÷ 2 7 ＝ 4 11× 11 9 × 47 × 11 2 × 9 5 × 7 2 ＝（ 4 11× 11 2 ）×（ 11 9 × 95）×（ 4 7 × 7 2 ） ＝2×2×2 ＝8 【对应练习 1】 简便计算。 3 30.84 0.54 0.54 0.14 20 10                解析： 3 30.84 0.54 0.54 0.14 20 10                3 3= 0.42 0.54 0.54 0.14 10 10                30.42 0.54 10 30.14 0.54 10     