专题23.3 中位线与位似图形（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题23.3 中位线与位似图形 1.三角形中位线定义(两边中点连线)及性质:平行于第三边且等于第三边一半;（重点） 2.区分三角形中位线(两边中点连线)与中线(顶点到对边中点连线)（重点） 3.区分三角形中位线(两边中点连线)与中线(顶点到对边中点连线)（难点） 4.动态几何中，需通过构造中点(如连接对角线中点)创造中位线模型，转化分散条件。（难点） 5.混淆“位似”与“相似”:位似是特殊相似(必须共位似中心)，相似不一定位似;（难点） 知识点1 三角形的中位线 1.三角形的中位线的定义 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 数学表达式：如图，∴D E是 的中位线． 2.三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 数学表达式：如图 3.三角形的中位线的应用 (1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系: 一是位置关系，可以用来证两直线平行; 二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系 (2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”;相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到 1.一个三角形有三条中位线； 2.三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形； 3.三角形的中位线与三角形的中线的区别:三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段； 4.三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 知识点2 三角形的重心 1，三角形的重心，三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心 2.三角形重心的性质 三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 注意:经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边 三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2 倍. 三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点。 知识点3 位似图形的定义 1.定义，两个图形不仅相似，而且对应点的连线所在直线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 2.位似与相似的关系 (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线所在直线相交于一点 (2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况 两个位似图形的位似中心有且只有一个. 位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部边上或某一顶点处，常见位似图形的构成如图 知识点4 位似图形的性质 位似图形具有的性质 (1)位似图形每组对应点的连线所在直线必过位似中心 (2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比. (3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上) (4)两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 利用位似图形的性质，可以把一个图形放大或缩小，同时也可以确定位似中心利用位似图形的性质可以求两个位似图形的相似比 知识点5 位似图形的画法 画位似图形的步骤 (1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或某一个顶点处); (2)分别连结位似中心和能代表原图的关键点; (3)根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置； (4)顺次连结所作各点，可以得到位似图形 位似中心的选取一般考虑使画图方便且符合要求以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 题型一、与三角形中位线有关的求解问题 例1（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 1-1（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 1-2（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 1-3（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，R和P分别是，上的点，E和F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，时，线段的长是 ．    1-4（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长． 题型二、与三角形中位线有关的证明 例2（24-25九年级上·河南平顶山·期中）顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 2-1（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2-2（24-25九年级上·宁夏银川·期中）若四边形的两条对角线和相等，则顺次连接四边形各边的中点得到四边形为 ． 2-3（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形． 题型三、三角形中位线的实际应用 例3（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，D、E、F分别是三边中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的长． 3-1（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 3-2（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3-3（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 3-4（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 3-5（23-24九年级上·福建泉州·期中）要测池塘，两地的距离，小明想出一个方法：如图，在池塘外取点，得到线段，，并取，的中点，，连接，测得米，则 ． 题型四、位似图形的识别 例4（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 4-1（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 4-2（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 题型五、判断位似中心 例5（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 5-1（24-25九年级上·湖南郴州·期中）下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5-2（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 5-3（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 5-4（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 题型六、位似图形相关概念辨析 例6（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（    ） A． B． C． D． 6-1（23-24九年级上·内蒙古包头·期中）下列命题为真命题的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 B．每条线段只有一个黄金分割点 C．两边对应成比例且一个角相等的两个三角形相似 D．位似图形一定是相似图形 6-2（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则面积为 ． 6-3（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 6-4（23-24九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 题型七、相似三角形的判定与性质综合 例7（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 7-1（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，的周长为12，的周长为（   ） A．6 B．18 C．27 D．48 7-2（24-25九年级上·湖南益阳·期中）与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是 ． 7-3（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图与位似，位似中心为点，位似比为，则的比值为 ． 7-4（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图，与是位似图形， 点O为位似中心，．若，则 的长是 ． 题型八、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 例8（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 8-1（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（   ） A．只有珍珍的作法正确 B．只有明明的作法正确 C．两个人的作法都正确 D．两个人的作法都不正确 8-2（23-24九年级上·河北保定·期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（    ） A．只有珍珍正确 B．只有明明正确 C．两个人都正确 D．两个人都不正确 8-3（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 8-4（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 易错点1 混淆三角形中位线与中线 例1如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 易错点2 定义辨析题(混淆位似与相似) 例2下列说法中，正确的个数（   ） ①位似图形都相似: ②两个等边三角形一定是位似图形； ③两个相似多边形的面积比为5:9．则周长的比为5:9； ④两个大小不相等的圆一定是位似图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）分别对①②④进行判断，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比对③进行判断． 【详解】解：①位似图形都相似，故该选项正确； ②两个等边三角形不一定是位似图形，故该选项错误； ③两个相似多边形的面积比为5:9．则周长的比为，故该选项错误； ④两个大小不相等的圆一定是位似图形，故该选项正确． 正确的是①和④，有两个， 故选：B 【点睛】本题考查的是位似图形、相似多边形性质，掌握位似图形的定义、相似多边形的性质定理是解决此题的关键． 1．如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，、分别为、边上的中线，与相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 4．如图，甲图案变为乙图案，可以用（   ） A．旋转 B．平移、旋转 C．位似、平移 D．轴对称、旋转 5．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 6．如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的中位线，作的平分线交于点G，连接，交于点F．若，当 时，与相似． 8．依次连接矩形中点得到的四边形一定是 ． 9．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=60cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为 ． 10．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为，则的面积是 ． 12．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点和点在格点上，是格点三角形（顶点在网格线交点上）． (1)画出以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点、和； (2)与的周长之比为______． 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.3 中位线与位似图形 1.三角形中位线定义(两边中点连线)及性质:平行于第三边且等于第三边一半;（重点） 2.区分三角形中位线(两边中点连线)与中线(顶点到对边中点连线)（重点） 3.区分三角形中位线(两边中点连线)与中线(顶点到对边中点连线)（难点） 4.动态几何中，需通过构造中点(如连接对角线中点)创造中位线模型，转化分散条件。（难点） 5.混淆“位似”与“相似”:位似是特殊相似(必须共位似中心)，相似不一定位似;（难点） 知识点1 三角形的中位线 1.三角形的中位线的定义 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 数学表达式：如图，∴D E是 的中位线． 2.三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 数学表达式：如图 3.三角形的中位线的应用 (1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系: 一是位置关系，可以用来证两直线平行; 二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系 (2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”;相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到 1.一个三角形有三条中位线； 2.三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形； 3.三角形的中位线与三角形的中线的区别:三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段； 4.三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 知识点2 三角形的重心 1，三角形的重心，三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心 2.三角形重心的性质 三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 注意:经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边 三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2 倍. 三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点。 知识点3 位似图形的定义 1.定义，两个图形不仅相似，而且对应点的连线所在直线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 2.位似与相似的关系 (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线所在直线相交于一点 (2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况 两个位似图形的位似中心有且只有一个. 位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部边上或某一顶点处，常见位似图形的构成如图 知识点4 位似图形的性质 位似图形具有的性质 (1)位似图形每组对应点的连线所在直线必过位似中心 (2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比. (3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上) (4)两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 利用位似图形的性质，可以把一个图形放大或缩小，同时也可以确定位似中心利用位似图形的性质可以求两个位似图形的相似比 知识点5 位似图形的画法 画位似图形的步骤 (1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或某一个顶点处); (2)分别连结位似中心和能代表原图的关键点; (3)根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置； (4)顺次连结所作各点，可以得到位似图形 位似中心的选取一般考虑使画图方便且符合要求以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 题型一、与三角形中位线有关的求解问题 例1（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质， 熟练掌握中位线的性质是解题的关键； 根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题． 【详解】解：、分别为、的中点， ． ∵四边形是矩形， ． 故选：A 1-1（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 1-2（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，也考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质．先根据三角形重心的性质得，为的中点，为的中点，根据中位线性质得出，证明，得出，得出，设，则，，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵点G是的重心， ，为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ． 故答案为：． 1-3（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，R和P分别是，上的点，E和F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，时，线段的长是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．连接，根据勾股定理可求出，再根据中位线定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，    在矩形中，， ， ， 在中，， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：． 1-4（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长． 【答案】． 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 题型二、与三角形中位线有关的证明 例2（24-25九年级上·河南平顶山·期中）顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】A 【分析】本题考查中位线，特殊四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握中点四边形的特征是解题的关键．分别画出图形，利用中位线依次证明即可． 【详解】解：A中，∵如图，四边形是矩形， ∴不一定垂直于， ∵、、、分别为、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵不一定垂直于， ∴不一定垂直于， ∴四边形不一定是矩形； 故选项A符合题意； B中，∵如图，四边形是正方形， ∴， ∵、、、分别为、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 故选项B不符合题意； C中，如图，四边形是菱形，同选项B可得四边形是矩形； 故选项C不符合题意； D中，如图，四边形中，，同选项B可得四边形是矩形； 故选项D不符合题意； 故选：A． 2-1（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，连接，由三角形中位线定理得到，，进而可证明四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，那么，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵E，F，G，H分别为四边形边的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是矩形，那么，则， 故选：D． 2-2（24-25九年级上·宁夏银川·期中）若四边形的两条对角线和相等，则顺次连接四边形各边的中点得到四边形为 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了中位线的性质、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理，掌握中位线的性质是解题的关键．四边形中，分别为各边中点，根据中位线的性质可得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，四边形中，分别为各边中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形． 2-3（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定．根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形． 【详解】解：、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 故答案为：； 题型三、三角形中位线的实际应用 例3（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，D、E、F分别是三边中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）先由矩形的性质得到，再由勾股定理得到，最后根据三角形中位线定理即可得到． 【详解】（1）证明：∵D、E、F分别是三边中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接， ∵若四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键． 3-1（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 3-2（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，之间的距离是， 故选：． 3-3（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 3-4（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴A、B分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：13． 3-5（23-24九年级上·福建泉州·期中）要测池塘，两地的距离，小明想出一个方法：如图，在池塘外取点，得到线段，，并取，的中点，，连接，测得米，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半求解即可． 【详解】∵，的中点，， ∴是的中位线， ∴（米）， 故答案为：． 题型四、位似图形的识别 例4（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、相似三角形的性质，根据中点定义得到，进而证明与位似，，可判断①④正确；根据相似三角形的性质可判断②③，进而可得答案． 【详解】解：∵D，E，F是、、的中点， ∴，又、、相交于O， ∴与位似，故①正确； ∴，故④正确， ∴与的相似比为， ∴与周长比为，与面积比为， 故②正确，③错误； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 4-1（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：． 4-2（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键． 【详解】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选B． 题型五、判断位似中心 例5（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式；先确定位似中心为点P，然后用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点P为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点P在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故选：A． 5-1（24-25九年级上·湖南郴州·期中）下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可． 【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心． 故选：A． 5-2（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 5-3（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案． 【详解】解：如图所示，位似中心是点． 故选：D． 5-4（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 题型六、位似图形相关概念辨析 例6（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 6-1（23-24九年级上·内蒙古包头·期中）下列命题为真命题的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 B．每条线段只有一个黄金分割点 C．两边对应成比例且一个角相等的两个三角形相似 D．位似图形一定是相似图形 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断、正方形的判定、黄金分割点、相似三角形的判定以及位似图形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据正方形的判定条件分析判断选项A；根据黄金分割点的概念分析判断选项B；根据相似三角形的判定条件判断选项C；根据位似图形的定义分析判断选项D． 【详解】解：A、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故A不符合题意； B、每条线段有两个黄金分割点，故B不符合题意； C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C不符合题意； D、位似似图形一定是相似图形，正确，故D符合题意． 故选：D． 6-2（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则面积为 ． 【答案】// 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，先求出，再根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 与位似， ， ， 的面积为18， ， 故答案为：． 6-3（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质判断③正确；①错误；②正确；再由，可得，可得，可判断④正确． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确； ∴，，，故①错误；②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 6-4（23-24九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 题型七、相似三角形的判定与性质综合 例7（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，根据题意，得到，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比列式求解即可得到答案，熟记位似图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7-1（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，的周长为12，的周长为（   ） A．6 B．18 C．27 D．48 【答案】B 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，相似三角形的周长比等于相思比，进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∴， ∴与的周长比为：， ∵的周长为12， ∴的周长为18； 故选B． 7-2（24-25九年级上·湖南益阳·期中）与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的位似比是， ∴， ∵的周长是9， ∴的周长是． 故答案为：3 7-3（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图与位似，位似中心为点，位似比为，则的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．利用位似变换的性质判断即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心为点，位似比为， ∴，即比值为， 故答案为：． 7-4（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图，与是位似图形， 点O为位似中心，．若，则 的长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型八、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 例8（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了作图-位似变换，连接并延长，使得，得到的对应点，即可求解． 【详解】解：如图所示连接并延长，使得，得到的对应点为，    故选：A． 8-1（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（   ） A．只有珍珍的作法正确 B．只有明明的作法正确 C．两个人的作法都正确 D．两个人的作法都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查已知位似中心画位似图形，对应边满足比值等于位似比，根据此解题即可． 【详解】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确． 故选：C． 8-2（23-24九年级上·河北保定·期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（    ） A．只有珍珍正确 B．只有明明正确 C．两个人都正确 D．两个人都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查已知位似中心画位似图形，对应边满足比值等于位似比，根据此解题即可． 【详解】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确． 故选：C． 8-3（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 【答案】C 【分析】本题考查了位似，位似比，根据位似中心位似比，结合勾股定理确定即可． 【详解】∵以A为位似中心，把放大到原来的2倍，且， ， ∴， 故， 故选C． 8-4（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了作图—位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．连接并延长到使得，则点是点A的对应点，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长到使得，则点是点A的对应点，即点A的对应点为D点， 故选A． 易错点1 混淆三角形中位线与中线 例1如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 易错点2 定义辨析题(混淆位似与相似) 例2下列说法中，正确的个数（   ） ①位似图形都相似: ②两个等边三角形一定是位似图形； ③两个相似多边形的面积比为5:9．则周长的比为5:9； ④两个大小不相等的圆一定是位似图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）分别对①②④进行判断，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比对③进行判断． 【详解】解：①位似图形都相似，故该选项正确； ②两个等边三角形不一定是位似图形，故该选项错误； ③两个相似多边形的面积比为5:9．则周长的比为，故该选项错误； ④两个大小不相等的圆一定是位似图形，故该选项正确． 正确的是①和④，有两个， 故选：B 【点睛】本题考查的是位似图形、相似多边形性质，掌握位似图形的定义、相似多边形的性质定理是解决此题的关键． 1．如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、角平分线定义推得，则，再结合勾股定理求出，推出后，结合中位线定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理解直角三角形、中位线定理，解题关键是熟练掌握中位线定理． 2．如图，在中，、分别为、边上的中线，与相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定等等，证明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，得到，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵分别为边上的中线， ∴是的中位线， ∴ ∴，， ∴， ∴，，， ∴四个选项中只有C选项不成立， 故选C． 3．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 4．如图，甲图案变为乙图案，可以用（   ） A．旋转 B．平移、旋转 C．位似、平移 D．轴对称、旋转 【答案】D 【分析】本题考查了平移、对称、旋转、位似等知识点，解题的关键是掌握相关知识灵活运用． 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转； 轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合； 平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移； 两个图形的对应点都交于一点，并且对应点到的距离的比值都相等的图形，叫做位似图形； 根据旋转、平移、轴对称、位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】解：甲图案先经过轴对称，再绕根部旋转一点角度即可得到乙，只有D符合题意， 故选：D． 5．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 【答案】B 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键． 6．如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的性质判断解答即可，掌握位似的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与位似，点为位似中心， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 7．如图，是的中位线，作的平分线交于点G，连接，交于点F．若，当 时，与相似． 【答案】8或 【分析】先根据三角形的中位线性质得到，，再根据平行线的性质和角平分线的性质得到，则，再分和两种情况，利用相似三角形的性质分别讨论求解即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当时，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，则G为的中点； ∴； ②当时，则， ∵，， ∴， 设，，则，， ∵， ∴， ∴，即， 整理，得， 解得，（负值，舍去） ∴， 综上，当或时，与相似． 故答案为：8或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 8．依次连接矩形中点得到的四边形一定是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理结合矩形的对角线相等，即可得出结果． 【详解】解：如图，分别为的中点，为矩形的对角线， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形． 9．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=60cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为 ． 【答案】120cm 【分析】判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD． 【详解】∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面， ∴OD是△ABC的中位线， ∴AC=2OD=2×60=120(cm)． 故答案为：120cm． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 10．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵和位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． 12．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据四边形是平行四边形，得到，从而证明，进而得证； （2）根据三角形的中位线，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴， ， ， 在和中， ，，， ， ； （2）解：∵点为的中点，， 是的中位线， ， ，． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点和点在格点上，是格点三角形（顶点在网格线交点上）． (1)画出以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点、和； (2)与的周长之比为______． 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】（）由点可得与的位似比为，再根据位似图形的性质作图即可； （）根据位似图形的性质即可求解； 本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为， 故答案为：． 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$