专题3.1 对函数概念的再认识（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题3.1 对函数概念的再认识 1.函数的三要素：定义域、对应关系、值域(重点) 2.函数的三要素：定义域、对应关系、值域(重、难点) 3.理解 “对应关系” 的本质（非仅解析式），重视定义域的隐含约束，以及将函数思想应用于问题转化(难点) 知识点1 函数的概念 概念 一般地，设A, B是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数 三要素 对应关系 定义域 的取值范围 值域 与 的值相对应的值的集合 （1） A, B是非空的实数集，定义域是，值域是集合的子集． （2）函数定义中强调＂三性＂：任意性、存在性、唯一性． （3）函数符号＂＂是数学符号之一，不表示 等于 与 的乘积， 也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． （4）除 外，有时还用 等符号表示函数． （5）函数三要素：定义域、对应关系与值域． 知识点2 区间的概念 定义 名称 区间 数轴表示 闭区间 [a, b] 开区间 (a, b) 半开半 闭区间 [a, b) 半开半 闭区间 (a, b] 特别地：实数集 可以用区间表示为 读作＂无穷大＂，＂＂读作＂负无穷大＂，＂＂读作＂正无穷大＂。 (1)区间只能表示连续的数集,开闭不能混淆 (2)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别 (3)区间是实数集的一种表示形式,集合的运算仍然成立 (4)“∞”是一个符号,而不是一个数 知识点3 求函数的定义域与值域 1.求函数的定义域应关注三点 （1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：（i ）分式的分母不为 0 ；（ii）偶次根式的被开方数非负；（iii） 要求 ． （2）不对解析式化简变形,以免定义域变化, （3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 2.函数求值的方法 （1）已知 的表达式时，只需用 替换表达式中的 即得 的值． （2）已知 与 ，求 的值应遵循由里往外的原则． 题型一、函数关系的判断 例1（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 1-1（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数的图象如图所示.若只有唯一的p值对应，则r的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像，即可判断r的取值范围． 【详解】由图像可知，若满足唯一的p与r对应， 则. 故选：A. 1-2（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，A中的任意一个数，通过对应关系在B中都有唯一的数与之对应，据此逐项检验即可． 【详解】由函数的定义可知，要使应关系能构成从A到B的函数， 须满足：对集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应， 对于A选项，当时，，故不能构成函数； 对于B选项，当时，，故不能构成函数； 对于C选项，当时，，故不能构成函数； 对于D选项，集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，故能构成函数. 故选：D． 1-3（24-25高一上·北京大兴·期中）定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是 ， ． 【答案】 （不唯一） （不唯一） 【分析】根据定义域、值域相同即可得解. 【详解】根据定义域、值域相同，可取， 两个函数的定义域、值域都为. 故答案为：；（答案不唯一） 1-4（23-24高一上·西藏林芝·期中）设集合，则 (用区间表示). 【答案】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为， 所以，则. 故答案为：. 题型二、求函数值 例2（24-25高一上·浙江·期中）如果且，则的值为（    ） A．1012 B．2024 C．1013 D．2026 【答案】D 【分析】根据已知等式化简得出定值再计算求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 则. 故选：D. 2-1（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据所给函数求值即可. 【详解】令， 则， 故选：B 2-2（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，且对，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】通过赋值，构造方程即可求解. 【详解】分别令和得到： ，解得：， 故选：B 2-3（24-25高一上·北京·期中）函数是定义在上的函数，且，若，， . 【答案】4 【分析】根据得到. 【详解】中，令得， 又，，故，所以. 故答案为：4 2-4（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，则的值为 . 【答案】 【分析】计算得出的值，即可求出所求代数式的值. 【详解】当且时，，且， 故 . 故答案为：. 题型三、已知函数值求自变量或参数 例3（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 3-1（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令，解得， 所以， 因为，所以， 故选：B. 3-2（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【分析】中令，结合可得答案. 【详解】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 3-3（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足：，且对任意的非零实数，都有成立，.若，则 . 【答案】 【分析】结合抽象函数的关系，应用赋值法令得，再与，联立即可求解. 【详解】由题意可得，， 又，所以，而，可得. 故答案为： 题型四、区间的定义与表示 例4（24-25高一上·山东青岛·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的并集运算与区间表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4-1（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 4-2（24-25高一上·四川成都·期中）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间表示集合的形式，即可求解. 【详解】集合用区间可表示为. 故选：C 4-3（23-24高一上·上海·期中）已知为一个确定区间，且，，若，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据区间可得，分析可知，进而代入检验即可. 【详解】由区间可知：，解得， 则，可知， 满足，所以a的取值范围为. 故答案为：. 4-4（23-24高一上·广东江门·期中）不等式的解集用区间表达为 ． 【答案】. 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，进而得到答案. 【详解】由不等式，解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 题型五、区间的关系与运算 例5（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再用区间表示. 【详解】方程的两根分别为和， 所以不等式，得， 解集用区间表示为. 故选：A 5-1（24-25高一上·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用区间表示集合的交集. 【详解】，集合，根据交集的定义可知，. 故选：B 5-2（23-24高一上·山东东营·阶段练习）已知区间，，若，则a的范围是 【答案】 【分析】由区间的定义和空集的概念求解. 【详解】区间，，若，则有， 则a的范围是. 故答案为：. 题型六、函数的定义域 例6（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域求出的定义域，进而求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域是， 所以函数的定义域是， 令，所以， 所以函数的定义域是. 故选：. 6-1（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于函数，根据函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 故函数的定义域为， 故选：C. 6-2（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，解得，且， 则函数的定义域为. 故选：B. 6-3（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据二次根号写大于等于零以及分母不为零，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可知，解得且，所以函数的定义域为. 故答案为：. 6-4（24-25高一上·内蒙古·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据的定义域需满足，即可求解. 【详解】的定义域是，则的定义域需满足， 解得， 故的定义域为， 故答案为： 6-5（24-25高一上·江苏徐州·期中）函数的定义域为 . 【答案】且 【分析】由定义域的概念列出不等式求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：且， 所以定义域为：且， 故答案为：且 题型七、具体函数的定义域 例7（24-25高一上·北京海淀·期中）下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为同一函数. 【详解】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误； 对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确. 故选：D 7-1（24-25高一上·湖南怀化·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】由题知：且. 故选：B 7-2（24-25高一上·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式有意义可以列出不等式求解. 【详解】依题意得， 解得， 所以的定义域为, 故选：D. 7-3（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故答案为： 7-4（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的定义域为 ． 【答案】且， 【分析】根据根式以及分式的性质即可列不等式求解. 【详解】的定义域满足， 解得且， 故定义域为且， 故答案为：且， 题型八、抽象函数的定义域 例8（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式以及分式需满足的条件结合抽象函数定义域求解方法求出结果. 【详解】由题意可知，解得， 所以定义域为， 故选：D. 8-1（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抽象函数的定义域求解即可. 【详解】函数的定义域为，故， 若函数有意义，则，解得. 则函数的定义域为. 故选：B 8-2（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函整的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域和分式特点即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则定义域为. 故选：C. 8-3（24-25高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得． 【详解】若函数的定义域是，则函数需要满足： 则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 8-4（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由函数有意义的条件，求定义域. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 题型九、复合函数的定义域 例9（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A 9-1（23-24高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义， 则有，解得， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 9-2（23-24高一上·湖北·期中）已知函数，那么函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义域的概念计算即可. 【详解】由题意可知有意义需要， 又， 所以函数的定义域是. 故选：D 9-3（24-25高一上·湖北·期中）已知函数，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据被开方数非负，列出不等式求得的定义域，进而可求的定义域. 【详解】要使函数，有意义，必须，解得， 函数的定义域为； 由函数，令，解得， 函数的定义域是． 故答案为：. 9-4（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 由. 所以函数的定义域为：. 故答案为： 题型十、常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 例10（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 10-1（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 10-2（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可． 【详解】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 10-3（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 10-4（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的知识求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以函数的值域为. 故答案为： 题型十一、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 例11（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数法求解. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 11-1（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法可求得该函数的值域. 【详解】因为，所以，. 因此，函数的值域为. 故选：C. 11-2（24-25高一上·安徽滁州·期中）设，函数表示不超过的最大整数，例如，．若函数，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得的值域，再根据的定义，求的值域. 【详解】因为，所以，所以， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 所以函数的值域为. 故选：C． 11-3（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】, 由于，故， 故值域为， 故答案为： 11-4（24-25高一上·北京房山·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域 【详解】因为，所以，故函数的值域为. 故答案为：. 题型十二、根据值域求参数的值或者范围 例12（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【详解】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 12-1（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】依题意知的值域为，则方程的两根为或，可得，，从而确定当时，取得最大值为，进而解得. 【详解】依题意，的值域为，且的解集为， 故函数的开口向下，， 则方程的两根为或， 则，，即， 则， 当时，取得最大值为， 即，解得：. 故选：A. 12-2（22-23高一上·上海浦东新·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案． 【详解】解：因为函数的值域为， 所以能够取到大于等于的所有数， 当时，不合题意； 当时，则，解得； 综上可得. 故答案为：． 12-3（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数，，对，，使，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的值域列出关于的不等式即可. 【详解】，，， 由题意可知：，所以，又因为 所以， a的取值范围是 故答案为： 1．已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得，令可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】当，时，，所以； 令得，所以； ，， ，…， . 故选：C. 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解. 【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足： ，解得或， 故定义域为： 故选：D 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答. 【详解】函数的定义域为，则，因此在中，， 函数有意义，必有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 4．已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解． 【详解】解：令， 当时，，又， 所以，，即 所以， 故选：D． 6．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 多选题 7．下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域是 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确； 【详解】对于A，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或，故A错误； 对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，函数，当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围是，故D正确； 故选：AC. 8．下列四个结论中，正确的结论是（    ） A．与表示同一个函数． B．“”的充分不必要条件是“”． C．已知，，则的取值范围是． D．在上的最小值为1． 【答案】ACD 【分析】根据函数定义域及解析式判断A，应用充分不必要定义判断B，应用不等式的性质判断C，化简函数，再根据计算的范围即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为， 且， 所以两个函数的定义域相同，解析式也相同， 即表示同一个函数，故A正确； 对于B，满足的数不一定满足， 满足的数一定满足，故B错误. 对于C，因为， 又，则， 所以，即， 所以的取值范围是，故C正确； 对于D，因为， 又因为， 所以，即， 所以，即， 所以， 故， 所以函数的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 9．设非空集合，满足：当时，，给出如下四个命题，其中是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则m的取值集合为 C．若，则的取值集合为 D．若，则的取值集合为 【答案】ACD 【分析】只需函数在上的值域为函数在上的值域的子集，然后对选项一一判断即可. 【详解】画出与的函数图像 由题意可知：，函数在上的值域为函数在上的值域的子集，所以的最大值大于等于的最大值，故；的最小值小于等于的最小值，所以或， 选项A：当时，因为，，所以，故，选项A正确； 选项B：因为或，故选项B错误； 选项C：当时，，因为此时的最大值大于等于，所以，又因为，所以得，所以选项C正确； 当，时，此时，得，又因为或，所以，故选项D正确. 故选：ACD 10．对于，满足，，且对于，恒有.则 . 【答案】 【分析】赋值法令，求出；进而解出，最后依次解出，即可. 【详解】令，代入及， 得，所以， 令，代入，得； 令，代入，得，所以. 故答案为：. 11．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可． 【详解】由题设，可得，则. 故答案为： 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域的性质求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以满足， 又函数有意义， 所以， 所以函数的定义域为， 故答案为： 13．已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围. 【详解】，则有，， 由，， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是化简函数解析式后，得到，，由函数定义域和值域，结合二次函数的性质，列不等式即可求解. 14．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义： 若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．请问： 若点P在函数y=-x2+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16<y′≤16，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据“可控变点”的定义，讨论、对应的取值范围，结合题设确定a的范围. 【详解】若，则有： 当时，， 当时，， ∴，可得. 若有：，不合题意. 综上，. 故答案为： 15．已知二次函数满足. (1)若，求； (2)若，证明：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设二次函数，根据化简整理可求得，再根据可求得，即可得解； （2）根据，可求得的范围，再根据二次函数的性质即可得证. 【详解】（1）解：设二次函数， 因为，所以， 得，所以，解得， 故， 因为，所以， 所以； （2）证明：由（1）得， 因为，所以，得， ， 因为，所以. 16．已知函数的定义域为 (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，再结合判别式，可求得的取值集合； （2）由题意得到是的真子集，分类讨论和两种情况得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】（1）由题意得不等式的解集为： 当时，恒成立，满足题意； 当时，则由解集为可得，解得：， 综上可得：； （2）由是的必要不充分条件可得：是的真子集， 当时，满足题意，此时有，解得：； 当时，则，解得， 综上，的取值范围是. 17．若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）． (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值． 参考公式：，的中点坐标为． 【答案】(1)-1或3. (2) (3) 【分析】（1）根据不动点定义计算求解即可； （2）由方程的根个数得出判别式大于零，再应用二次函数恒大于零判别式小于零求解； （3）应用已知结合韦达定理，结合值域的求解方法求出最值. 【详解】（1）当，时，,由,解得或,所以所求的不动点为-1或3. （2）令则①, 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以, 即恒成立，则，故 （3）设,,又AB的中点在该直线上，所以, 而应是方程①的两个根，所以 即, , , 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 对函数概念的再认识 1.函数的三要素：定义域、对应关系、值域(重点) 2.函数的三要素：定义域、对应关系、值域(重、难点) 3.理解 “对应关系” 的本质（非仅解析式），重视定义域的隐含约束，以及将函数思想应用于问题转化(难点) 知识点1 函数的概念 概念 一般地，设A, B是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数 三要素 对应关系 定义域 的取值范围 值域 与 的值相对应的值的集合 （1） A, B是非空的实数集，定义域是，值域是集合的子集． （2）函数定义中强调＂三性＂：任意性、存在性、唯一性． （3）函数符号＂＂是数学符号之一，不表示 等于 与 的乘积， 也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． （4）除 外，有时还用 等符号表示函数． （5）函数三要素：定义域、对应关系与值域． 知识点2 区间的概念 定义 名称 区间 数轴表示 闭区间 [a, b] 开区间 (a, b) 半开半 闭区间 [a, b) 半开半 闭区间 (a, b] 特别地：实数集 可以用区间表示为 读作＂无穷大＂，＂＂读作＂负无穷大＂，＂＂读作＂正无穷大＂。 (1)区间只能表示连续的数集,开闭不能混淆 (2)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别 (3)区间是实数集的一种表示形式,集合的运算仍然成立 (4)“∞”是一个符号,而不是一个数 知识点3 求函数的定义域与值域 1.求函数的定义域应关注三点 （1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：（i ）分式的分母不为 0 ；（ii）偶次根式的被开方数非负；（iii） 要求 ． （2）不对解析式化简变形,以免定义域变化, （3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 2.函数求值的方法 （1）已知 的表达式时，只需用 替换表达式中的 即得 的值． （2）已知 与 ，求 的值应遵循由里往外的原则． 题型一、函数关系的判断 例1（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 1-1（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数的图象如图所示.若只有唯一的p值对应，则r的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 1-2（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 1-3（24-25高一上·北京大兴·期中）定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是 ， ． 1-4（23-24高一上·西藏林芝·期中）设集合，则 (用区间表示). 题型二、求函数值 例2（24-25高一上·浙江·期中）如果且，则的值为（    ） A．1012 B．2024 C．1013 D．2026 2-1（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 2-2（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，且对，，则（    ） A． B． C． D．2 2-3（24-25高一上·北京·期中）函数是定义在上的函数，且，若，， . 2-4（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，则的值为 . 题型三、已知函数值求自变量或参数 例3（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 3-1（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 3-2（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 3-3（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足：，且对任意的非零实数，都有成立，.若，则 . 题型四、区间的定义与表示 例4（24-25高一上·山东青岛·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4-1（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4-2（24-25高一上·四川成都·期中）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 4-3（23-24高一上·上海·期中）已知为一个确定区间，且，，若，则a的取值范围为 . 4-4（23-24高一上·广东江门·期中）不等式的解集用区间表达为 ． 题型五、区间的关系与运算 例5（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5-1（24-25高一上·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 5-2（23-24高一上·山东东营·阶段练习）已知区间，，若，则a的范围是 题型六、函数的定义域 例6（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 6-1（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6-2（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6-3（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 6-4（24-25高一上·内蒙古·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 6-5（24-25高一上·江苏徐州·期中）函数的定义域为 . 题型七、具体函数的定义域 例7（24-25高一上·北京海淀·期中）下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 7-1（24-25高一上·湖南怀化·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7-2（24-25高一上·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7-3（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 7-4（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的定义域为 ． 题型八、抽象函数的定义域 例8（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 8-1（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8-2（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函整的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8-3（24-25高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 8-4（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 题型九、复合函数的定义域 例9（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9-1（23-24高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9-2（23-24高一上·湖北·期中）已知函数，那么函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 9-3（24-25高一上·湖北·期中）已知函数，则函数的定义域为 ． 9-4（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 题型十、常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 例10（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10-1（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10-2（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 10-3（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 10-4（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域为 . 题型十一、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 例11（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 11-1（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 11-2（24-25高一上·安徽滁州·期中）设，函数表示不超过的最大整数，例如，．若函数，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 11-3（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是 ． 11-4（24-25高一上·北京房山·期中）函数的值域为 . 题型十二、根据值域求参数的值或者范围 例12（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 12-1（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 12-2（22-23高一上·上海浦东新·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 12-3（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数，，对，，使，则实数a的取值范围是 ． 1．已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 多选题 7．下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域是 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 8．下列四个结论中，正确的结论是（    ） A．与表示同一个函数． B．“”的充分不必要条件是“”． C．已知，，则的取值范围是． D．在上的最小值为1． 9．设非空集合，满足：当时，，给出如下四个命题，其中是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则m的取值集合为 C．若，则的取值集合为 D．若，则的取值集合为 10．对于，满足，，且对于，恒有.则 . 11．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 13．已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 14．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义： 若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．请问： 若点P在函数y=-x2+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16<y′≤16，则实数a的取值范围是 ． 15．已知二次函数满足. (1)若，求； (2)若，证明：. 16．已知函数的定义域为 (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）． (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值． 参考公式：，的中点坐标为． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$