第7章 概率 章末整合提升(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

一、互斥事件与对立事件 互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．若A1，A2，…，An互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．对立事件概率由公式可得P(A)＝1－P()(这里是A的对立事件)． 　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解析]　(1)P(A)＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分别为，，. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M， 则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝. 故1张奖券的中奖概率为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 二、古典概型 古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 角度1　古典概型概率的计算 　(1)围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为(　　) A.　　　　　　　 B． C. D． (2)(2025·江苏淮安高一检测)“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是一个大于2的偶数可以写成两个质数(也称为素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等曾在哥德巴赫猜想的证明中做出过相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则加数全部为质数的概率为________． [解析]　(1)这5名棋手分别记为甲，乙，A，B，C，分组情况有(甲乙A，BC)，(甲乙B，AC)，(甲乙C，AB)，(甲AB，乙C)，(甲AC，乙B)，(甲BC，乙A)，(乙AB，甲C)，(乙AC，甲B)，(乙BC，甲A)，(ABC，甲乙)，共10种，其中甲和乙在同一组的有4种，分别为(甲乙A，BC)，(甲乙B，AC)，(甲乙C，AB)，(ABC，甲乙)，所以甲和乙在同一个小组的概率P＝＝. (2)6拆成两个正整数的和的所有情况有1＋5，2＋4，3＋3,3种情况，其中两个加数全为质数的有3＋3,1种情况，所以所求概率为. [答案]　(1)C　(2) 角度2　古典概型与统计的综合应用 　有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． [解析]　(1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为 由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝. 三、频率与概率 对于概率的定义应注意以下几点： (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验． (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件A的概率． (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值． (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小． (5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1. 　某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买. 　　　　　商品 顾客人数　　　　　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解析]　(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3. (3)与(1)同理可得， 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1. 因此，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 四、事件的独立性 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解． 　(2025·贵州遵义高一检测)为了推广科普知识，拓展学生知识面，某校组织一次科普知识竞赛，该知识竞赛共进行两轮比赛．规则如下：第一轮淘汰赛，选手随机从题库中抽取2道题回答，有答错则被淘汰，全部答对则进入第二轮；第二轮决胜赛，参赛选手对给出的3道题进行回答，若能答对2道以上(包括2道)，则获得“科普之星”称号．小莉同学参加该知识竞赛，已知第一轮每道题答对的概率均为0.8，第二轮每道题答对的概率均为0.4，并且第一、二轮答对每题相互独立． (1)小莉未能进入第二轮的概率； (2)小莉获得“科普之星”称号的概率．(精确到0.01) [解析]　(1)设Ai表示“第一轮答对第i题”(i＝1,2)，第一轮答题的过程中，两道题都答对的概率是P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.8×0.8＝0.64，则小莉未进入第二轮的概率是1－P(A1A2)＝1－0.64＝0.36. (2)设Bi表示“第二轮答对第i题”(i＝1,2,3)．小莉获得“科普之星”称号分为以下两种情况，第一种：第一轮、第二轮全部答对，P(A1A2B1B2B3)＝P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)P(B3)＝0.040 96；第二种：第一轮全答对、第二轮有2题答对，P(A1A21B2B3)＋P(A1A2B12B3)＋P(A1A2B1B23)＝0.184 32，所以小莉获得“科普之星”称号的概率为0.040 96＋0.184 32≈0.23. 利用对立事件的概率公式 解决较复杂的古典概型问题 [典例]　现有8名某公益活动志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A1被选中的概率； (2)求B1和C1不全被选中的概率． [解析]　(1)从8人中选出日语、俄语和韩语的志愿者各1名， 该试验的样本空间 Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}， 即由18个样本点组成．由于每一个样本点被抽取的机会均等， 因此这些样本点的发生是等可能的． 用M表示“A1被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，即事件M由6个样本点组成．故P(M)＝＝. (2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1和C1全被选中”这一事件． 因为＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，即事件由3个样本点组成， 所以P()＝＝. 由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. [纠错心得]　(1)对于互斥事件和对立事件要特别清楚其概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生； (2)对于较复杂的事件的概率，可把事件分拆成若干互斥的事件时，要做到不能重复和遗漏；或利用对立事件求其概率，此时要找准其对立事件，否则容易出现错误． 概率与统计的实际应用 [典例]　(13分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 分组/℃ [10， 15) [15， 20) [20， 25) [25， 30) [30， 35) [35， 40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． [思维导引] 明知求 已知每天进货量相同，进货价、售价、处理价，最高气温与需求量的关系，六月份各天最高气温的频率分布表．求(1)一天需求量不超过300瓶的概率；(2)一天销售利润大于零的概率． 探思路 (1)根据表格数据用古典概型计算公式即可；(2)求出最高气温在不同区间的利润Y的值，即可求出Y大于零的概率. [规范解答]　(1)需求量不超过300瓶，即最高气温低于25 ℃，从表中可知有54天，①(3分) 所以所求概率为P＝＝.(6分) (2)低于20 ℃：Y＝200×6＋250×2－450×4＝－100； [20,25)：Y＝300×6＋150×2－450×4＝300； 不低于25 ℃： Y＝450×(6－4)＝900，②(9分) Y的可能值列表如下： 最高气温 分组/℃ [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] Y －100 －100 300 900 900 900 (11分) 所以Y大于0的概率为P＝＋＋＋＝.(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$