1.1.1 第2课时 集合的表示法(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第2课时　集合的表示法 导学1 集合的表示法 　用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ [提示]　这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出． ◎结论形成 　列举法：把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{　　}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}． 导学2 描述法 　你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？ [提示]　不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，不能一一列举，但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}． ◎结论形成 描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法，一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征． 导学3 区间 　能否用更为简洁的符号表示A＝{x|－3<x≤2}? [提示]　可以用更加简洁的符号表示，可以用区间表示为(－3,2]，这是一种新的表示方法． ◎结论形成 设a，b是两个实数，且a<b，则有下表： 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x<b} (－∞，b) R (－∞，＋∞) {x|a≤x<b} 半开 半闭 区间 [a，b) {x|a<x≤b} (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] 其中符号“∞”读作“无穷大”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){0}是空集．(　　) (2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．(　　) (3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．(　　) (4){x|x2＝1}＝{－1,1}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　) A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} 解析　该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C. 答案　C 3．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________． 答案　{0,1,2,3,4}　{x∈N|－1＜x＜5} 4．用区间表示下列集合： (1){x|－1≤x≤2}：________； (2){x|1＜x≤3}：________； (3){x|x＞2}：________； (4){x|x≤－2}：________. 答案　(1)[－1,2]　(2)(1,3]　(3)(2，＋∞)　(4)(－∞，－2] 题型一　用列举法表示集合 　(教材例1拓展)用列举法表示下列给定的集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. [解析]　(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}． (3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，， 所以C＝. (4)由得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6图象的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}． 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．　 [触类旁通] 1．(1)用列举法表示下列集合． ①联合国五大常任理事国组成的集合为________． ②不大于4的自然数组成的集合为________． (2)用列举法表示下列集合： ①方程x2＋2x＋1＝0的解集； ②正整数集； ③方程组的解集． 解析　(1)①{中国，美国，俄罗斯，法国，英国}，②{0，1,2,3,4}． (2)①方程x2＋2x＋1＝0的解为x1＝x2＝－1，其解集为{－1}． ②正整数集用列举法表示为{1,2,3,4，…}． ③方程组的解为故解集为{(2，－1)}． 答案　(1)①{中国，美国，俄罗斯，法国，英国} ②{0,1,2,3,4}　(2)略 题型二　用描述法表示集合 　(教材例2迁移)用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使y＝有意义的实数x组成的集合； (4)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集． [解析]　(1)∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}． (2)∵被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z， ∴所有被3除余1的整数组成的集合为 {x|x＝3n＋1，n∈Z}． (3)要使y＝有意义． 则x2＋x－6≠0. 由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3. ∴使y＝有意义的实数x组成的集合为{x∈R|x≠2且x≠－3}． (4)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0， 解得x＝2，y＝－3. ∴方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}． 1．描述法表示集合的两个步骤 2．描述法表示集合的注意点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．　 [触类旁通] 2．下列三个集合． ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？ 解析　(1)不是． (2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围； 集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量的取值范围． 集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对，可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的． 题型三　区间及其表示 1．集合{x|－2<x≤2}用区间表示为________． 解析　{x|－2<x≤2}＝(－2,2]． 答案　(－2,2] 2．已知区间(a＋1,7]，则实数a的取值范围是______． 解析　由题意可知a＋1<7，即a－6<0，解得a<6，所以实数a的取值范围是(－∞，6)． 答案　(－∞，6) 3．把下列数集用区间表示． (1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x≤1}． 解析　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x<0}＝(－∞，0)． (3){x|－1<x<1}＝(－1,1)． (4){x|0<x≤1}＝(0,1]． 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．　 题型四　集合表示方法的综合应用 　(教材P11T4提升)集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． [解析]　 (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}． [母题变式] (变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合． 解析　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故即k<1且k≠0， 所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}． 若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．　 [触类旁通] 3．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 解析　当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0， 所以x＝2，此时集合A＝{2}； 当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}． 所以，k＝0时，A＝{2}；k＝1时，A＝{4}． [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错辨析　　 对描述法理解不正确致误 [典例]　集合与集合是否表示同一个集合，并说明理由． [错解]　表示同一个集合．理由如下： ∵x与的范围一致，∴表示同一个集合． [正解]　不表示同一个集合．理由如下： ∵x∈N，且∈Z， ∴1＋x＝1,2,3,6. ∴x＝0,1,2,5. ∴＝{0,1,2,5}． 而＝{6,3,2,1}， ∴两个集合不表示同一个集合． [纠错心得]　化简集合时一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集，还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解，两者相互兼顾，缺一不可． 知识落实 技法强化 1.集合的两种表示方法． 2．区间及其表示. 1.表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法． 2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么. 学科网（北京）股份有限公司 $$