5.3.3直线与平面所成的角 课件-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

5.3　直线与平面的位置关系 5.3.3　直线与平面所成的角 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 序号 学习目标 1 掌握线面角的范围，并会解决简单的有关问题． 2 理解直线和平面所成的角，并会求线面角. 知识点1　直线和平面所成的角 如果直线l与平面α相交而不垂直，这条直线称为这个平面的________，交点称为斜足． 设斜线l与平面α交于A点，在l上过斜足外的一点P，向平面引________，垂足为Q. 则直线AQ称为______________________． 斜线和它在平面内的射影所成的________称为这条直线和平面所成的角．(如下图) 知识点2　直线和平面所成的角的范围 若一条直线垂直一个平面，我们就说这条直线和平面所成角是________；若一条直线和平面平行或在平面内，我们就说这条直线与这个平面所成的角是________． 直线与平面所成角的范围是：________. 平面的斜线与平面所成角的范围是：________. 题型　直线与平面所成的角 [例]　正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，求AO与ABCD平面所成角的正弦值． 分析： 取BC中点E，找到与面垂直的直线，连接AE，找到直线AO的射影AE，从而得到线面夹角，再利用勾股定理求得． 证明：取BC中点E，连接OE，AE 因为O为侧面BCC1B1的中心，所以OE⊥平面ABCD， 所以AE是AO在平面ABCD上的射影， 所以AO与平面ABCD所成角为∠OAE 设正方体棱长为2a，则OE＝a，AE＝eq \r(4a2＋a2)＝eq \r(5)a，OA＝eq \r(5a2＋a2)＝eq \r(6)a ∴sin∠OAE＝eq \f(OE,OA)＝eq \f(a,\r(6)a)＝eq \f(\r(6),6)， 所以AO与ABCD所成角正弦值为eq \f(\r(6),6). ♨强化练习 求正四面体ABCD的侧棱AD与底面BCD所成角的正弦值． 解：过A作AH⊥平面BCD，H为垂足，连结HD，则HD为AD在底面BCD的射影 所以∠ADH即为所求角．∵AB＝AC＝AD， ∴HB＝HC＝HD ∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心， 连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，设正四面体ABCD的棱长为a， 所以DH＝eq \f(2,3)DF＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a， 在Rt△ADH中，AH＝eq \r(AD2－DH2)＝eq \r(a2－\f(1,3)a2)＝eq \f(\r(6),3)a. 所以sin∠ADH＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(\r(6),3). 所以AD与底面BCD所成角的正弦值是eq \f(\r(6),3). ☞名师点拨 求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． 一、选择题 1．设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围，则(　　) A．A＝B＝C B．A＝B⊂C C．A⊂B⊂C D．B⊂A⊂C D　异面直线所成的角的取值范围(0°，90°]；平面的斜线与平面所成的角的取值范围(0°，90°)；直线与平面所成的角的取值范围[0°，90°]． 2．平面的一条斜线段等于它在平面内投影的 eq \r(2)倍，那么斜线与平面所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　cos α＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，∴α＝45°. 3．下列命题，其中正确命题的个数是(　　) ①若两条斜线段相等，则它们在平面内的射影相等；②若两条斜线段的射影相等，则这两条斜线段相等；③斜线段的长大于它在平面内的射影的长；④一个平面的斜线段和垂线段中，垂线段最短． A．0 B．1 C．2 D．3 B　①②要看直线的倾斜程度；③正确；④错误． 4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是(　　) A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(6),3) D　连接AC，由正方体的性质可知：A1A⊥平面ABCD，由线面角的定义可知：∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，设正方体的棱长为1，底面是与正方形，故AC＝eq \r(2)，在Rt△A1AC中，A1C＝eq \r(AA\o\al(2,1)＋AC2)＝eq \r(3)，cos ∠A1CA＝eq \f(AC,A1C)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3).故选D. 5．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1与平面ABCD所成角大小为60°，则DD1的长为(　　) A．eq \r(6) B．eq \r(3) C．2 D．3 A　连BD，如图：因为AB＝AD＝1，所以BD＝eq \r(2)，因为D1D⊥平面ABCD，所以∠D1BD是BD1与平面ABCD所成的角，所以∠D1BD＝eq \f(π,3)，所以eq \f(DD1,BD)＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3)，所以DD1＝eq \r(6). 二、解答题 6．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CE⊥平面ABC，已知AC＝3，BC＝4，CE＝1，D是AB的中点，求ED与平面ABC所成的角的正切值． 解：连接CD，因为CE⊥平面ABC，所以CD为ED在平面BCD内的射影， 所以∠EDC就是ED与平面ABC所成的角，直角三角形ABC中：CD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(5,2)， 直角三角形ECD中：tan∠EDC＝eq \f(EC,CD)＝eq \f(2,5). 因此ED与平面ABC所成角的正切值为eq \f(2,5). 7．如图长方体ABCD—A1B1C1D1的棱长分别为AB＝1，AD＝eq \r(2)，AA1＝3，求对角线AC1与底面ABCD 所成的角． 解：因为CC1⊥底面ABCD，所以∠C1AC就是对角线AC1与底面ABCD所成的角． 因为AC＝eq \r(AD2＋DC2)＝eq \r(AD2＋AB2)＝eq \r(3)，CC1＝AA1＝3， 所以tan∠C1AC＝eq \f(CC1,AC)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)，所以∠C1AC＝60°， 即对角线AC1与底面ABCD所成的角为60°. 8．如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是棱AB，A1C1的中点， (1)求证：DE∥平面BCC1B1； (2)求DE与平面ABC所成角的正切值． 证明：(1)取B1C1的中点为F，连接EF，FB， ∵D，E分别是棱AB，A1C1的中点， ∴EF∥A1B1，EF＝eq \f(1,2)A1B1， 又∵直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等， ∴EF∥DB，EF＝DB， ∴四边形EFBD为平行四边形，∴DE∥FB，FB⊂面BCC1B1，DE⊄平面BCC1B1； ∴DE∥平面BCC1B1； (2)取AC的中点O，连接EO，OD，∵E是棱A1C1的中点，∴EO∥A1A， ∴EO⊥平面ABC，∴∠EDO是DE与平面ABC所成角，设AB＝a， ∵直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，∴DO＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)a，∴tan∠EDO＝eq \f(EO,DO)＝2. ∴DE与平面ABC所成角的正切值是2. $$