5.4.2平面与平面垂直 课件-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

5.4　平面与平面的位置关系 5.4.2　平面与平面垂直 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 序号 学习目标 1 掌握平面与平面垂直的判定和性质，并会简单的应用． 2 了解二面角的有关概念，并会解决相关的简单问题. 知识点1　二面角和二面角的平面角 平面内的一条直线把平面分成________部分，其中的每一部分都称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的________称为二面角，这条直线称为二面角的棱，每个半平面称为________．棱为l、两个面分别为α，β的二面角记为二面角α—l—β(如上图)． 在二面角α—l—β的棱l上取一点O，以点O为垂足，在两个半平面α，β内分别作垂直于棱的射线OA，OB，则________称为二面角α—l—β的平面角．二面角的大小可用它的平面角来度量，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；在不会引起误解的场合，有时我们也简称二面角是多少度． 二面角的平面角的范围：________. 平面角是直角的二面角叫做________． 知识点2　平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，若它们形成的二面角是直二面角，就说这两个平面________． 若平面α和平面β互相垂直，记作________． 在画两个互相垂直的平面时，通常一个画成水平平面，则把直立平面的一组对边画成和水平平面的某一组对边________(见上图)． (2)平面与平面垂直的判定 如果一个平面经过另一个平面的一条________，那么这两个平面互相垂直． 如右图，用符号表示________________． (3)平面与平面垂直的性质 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面．如右图，用符号表示__________________________． 题型1　二面角 [例题1]　如图所示，已知三棱锥O—ABC是棱长为1的正四面体．D是OA的中点．求：(1)二面角O—AC—B的余弦值；(2)二面角D—BC—A的余弦值． 分析： 由二面角的定义，先找角—再证—再算． 解：(1)取AC的中点M，连结OM，BM， ∠OMB是二面角O—AC—B的平面角， 在△OMB中，易得：OM＝BM＝eq \f(\r(3),2)，OB＝1， 由余弦定理得cos ∠OMB＝eq \f(1,3)； (2)取BC的中点E，连结DE，AE， ∠AED是二面角D—BC—A的平面角， 在△AED中，易得AE＝eq \f(\r(3),2)，DE＝eq \f(\r(2),2)，AD＝eq \f(1,2)， 由余弦定理得cos ∠AED＝eq \f(\r(6),3). ♨强化练习 1．在正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求二面角P—BD—A的余弦值． 证明：连接AC与BD交于O，连接PO. ∵四边形ABCD是正方形 ∴O为AC的中点且BD⊥AO ∵AB＝AD，∴PB＝PD，又∵O为BD的中点 ∴PO⊥BD ∴∠POA是二面角P—BD—A的平面角 ∵四边形ABCD是正方形，AB＝PA＝2， ∴AO＝eq \r(2) ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AO， 在Rt△PAO中，PO＝eq \r(PA2＋AO2)＝eq \r(6) cos∠POA＝eq \f(AO,PO)＝eq \f(\r(2),\r(6))＝eq \f(\r(3),3) ∴所以二面角P—BD—A的余弦值是eq \f(\r(3),3). ☞名师点拨 求二面角的大小，关键是找到二面角的平面角，可以取二面角的棱上一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，作出二面角的平面角来帮助解题． 题型2　平面与平面垂直 [例题2]　如图所示，已知四边形PABD是圆柱的轴截面，点C是下底面圆周上不与点A、B重合的点．求证：平面PBC⊥平面APC. 分析： 要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面寻找两条相交直线与另一个平面垂直． 证明：如图所示，因为C是圆柱底面圆周上异于A，B的任意一点， 且AB是圆柱底面圆的直径， 所以BC⊥AC，因为AP⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以AP⊥BC. 因为AP∩AC＝A，AP⊂平面APC，AC⊂平面APC， 所以BC⊥平面APC，BC⊂平面PBC. 所以平面PBC⊥平面APC. ♨强化练习 2．如图所示，已知四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形． 证明：平面PAB⊥平面PBC. 证明：因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥AB， 因为PA⊥平面ABCD，所以BC⊥PA， 因为AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB， 又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. ☞名师点拨 线线垂直→线面垂直→面面垂直 [例题3]　如图，在三棱锥S—ABC 中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC. 分析： 面面垂直→线面垂直，线面垂直→线线垂直． 证明：作 AH⊥SB于H. ∵平面SAB⊥平面SBC，且平面SAB∩平面SBC＝SB ∴AH⊥平面SBC ∵BC⊂平面SBC，∴AH⊥BC. 又∵ SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴SA⊥BC. 又∵AH∩SA＝A，AH⊂平面SAB，SA⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又∵AB⊂平面SAB∴BC⊥AB. ♨强化练习 3．如图四棱锥 V­ABCD 的底面为矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，且 VB⊥平面VAD. 求证：平面VBC⊥平面VAC. 证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC⊥AB. 又∵平面VBA⊥平面ABCD，平面VBA∩平面ABCD＝AB，∴BC⊥平面VAB. 又∵VA⊂平面VAB ∴BC⊥VA.∵VB⊥平面VAD，VA⊂平面VAD ∴VB⊥VA. ∵VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC.又∵VA⊂平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC. ☞名师点拨 面面垂直 eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(→,←))线面垂直 eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(→,←))线线垂直 一、选择题 1．下列命题中，错误的是(　　) A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于此平面内所有直线 B．若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 C．若一直线垂直于一个平面内的一条垂线，则此直线平行于这个平面 D．若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 C　若一直线垂直于一个平面内的一条垂线，则此直线可能与这个平面平行或在平面内． 2．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B—PC1—C的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　在长方体ABCD—A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以PC1⊥BC1，且PC1⊥CC1，所以∠BC1C即为二面角B—PC1—C的平面角，又BC＝BB1，易得∠BC1C＝45°.故选B. 3．在三棱锥A—BCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，下列判断正确的是(　　) A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED D　因为AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，所以BE⊥AC，DE⊥AC，所以AC⊥平面BDE，所以平面ABC⊥平面BED. 二、解答题 4．如图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD. 证明：平面PAD⊥平面PCD. 证明：PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(∠DAB＝90°,AB∥CD))⇒AD⊥CD ∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又∵CD⊂平面PCD， ∴平面PAD⊥平面PCD. 5．如图所示，△ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA＝3，D是BC中点． (1)求证：BC⊥平面PDA； (2)求二面角P­BC­A的大小． 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 因为△ABC为等边三角形，D是BC中点，所以AD⊥BC，又因为PA∩AD＝A， 所以BC⊥平面PDA. (2)因为BC⊥平面PDA，PD⊂平面PDA，所以BC⊥PD. 又因为AD⊥BC，所以∠PDA为二面角P­BC­A的平面角． 因为D是BC中点，BC＝2，所以CD＝1.又知AD⊥BC， 所以AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(4－1)＝eq \r(3).因为PA⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以PA⊥AD. 所以tan∠PDA＝eq \f(PA,AD)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)，因此∠PDA＝60°.即二面角P­BC­A的大小为60°. 6．(2019年山东职教高考)已知三棱锥S—ABC，平面SAC⊥平面ABC，且SA⊥AC，AB⊥BC. (1)求证：BC⊥平面SAB； (2)若SB＝2，SB与平面ABC所成角是30°的角，求点S到平面ABC的距离． 证明：(1)因为平面SAC⊥平面ABC， 平面SAC∩平面ABC＝AC，且SA⊥AC， 所以SA⊥平面ABC，又因为BC⊂平面ABC， 所以SA⊥BC 又因为AB⊥BC，SA∩AB＝A， 所以BC⊥平面SAB； (2)由(1)知：SA⊥平面ABC，所以点S到平面ABC的距离即为SA的长度， 并且可知，SB在平面ABC内的射影为AB，所以∠SBA即为SB与平面ABC所成角，即∠SBA＝30°，在Rt△SBA中，∠SAB＝90°，∠SBA＝30°，SB＝2， 所以SA＝eq \f(1,2)SB＝1，所以点S到平面ABC的距离是1. $$