5.4.1平面与平面平行 课件-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

5.4　平面与平面的位置关系 5.4.1　平面与平面平行 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 A 课堂速效达标 序号 学习目标 1 掌握空间平面与平面的位置关系的分类． 2 掌握平面与平面平行的判定和性质，并会简单的应用. 知识点1　两个平面的位置关系 两个平面的位置关系有：________，________. (1)相交——此时必定相交成一条直线l；称l为交线； (2)平行——即没有公共点，记作α∥β. 知识点2　平面与平面平行的判定 (1)如果一个平面内有两条________直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 符号表示：______________________________________________. (2)如果一个平面内有两条________直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 符号表示：______________________________________________. 知识点3　平面与平面平行的性质 (1)如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么它们的交线________； (2)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它________另一个平面； (3)平面平行的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 知识点4　平行平面间的距离 与两个平行平面_______的直线，称为这两个平行平面的________．公垂线夹在这两个平行平面间的线段称为________．_______________称为这两个平行平面间的距离． 题型1　两平面的位置关系 [例题1]　下面四个命题，其中正确的命题个数是(　　) ①如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ③分别在两个平行平面内的两条直线平行； ④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 解：一个平面中的两条相交直线平行另一平面，则两个平面平行，因此①错误；在两个平行平面内的两条直线不相交，可能平行，可能异面，所以③错误；另一平面内有无数条直线与这条直线平行，所以④错误；不相交的两个平面互相平行，所以②是正确的．故选A. ♨强化练习 1．下列命题正确的是(　　) A．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行 B．过平面外一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行 C．过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行 D．过平面外一点可以作无数个平面与这个平面平行 2．下列命题： (1)若两个平面都平行于同一个平面，则这两个平面互相平行 (2)夹在两个平行平面间的两条平行线段相等 (3)若一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 (4)垂直于同一个平面的两个平面平行 其中，正确命题的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C　(1)(2)正确． ☞名师点拨 熟记两个判定定理以及重要结论，另外做题时多找参照物，利用具体工具进行判断． 题型2　两平面平行的判定定理 [例题2]　如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE. 分析： 证明平面与平面平行，需要证明在其中一个平面内两条相交直线与另一个平面分别平行，用直线与平面平行的判定定理和方法先证线面平行． 证明：因为F为CD的中点，H为PD的中点 所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE＝CF 所以四边形AECF为平行四边形 所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE. 由FH⊂平面AFH， AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F 所以平面AFH∥平面PCE. ♨强化练习 3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱DD1，CD，AD的中点． 求证：平面MNP∥平面A1C1B. 证明：连结D1C，M，N 为DD1，CD的中点， 所以MN∥D1C，又因为D1C∥A1B，所以MN∥A1B， 同理MP∥C1B，又MN∩MP＝P， MP⊂平面MNP，MN⊂平面MNP，A1B⊂平面A1C1B，C1B⊂平面A1C1B， 所以平面MNP∥平面A1C1B. ☞名师点拨 如果一个平面内有相交两条直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．或一个平面内有相交两条直线分别平等于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 一、选择题 1．下列命题，其中正确的命题为(　　) A．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面互相平行 B．若夹在两个平面间的两条平行线段相等，则这两个平面互相平行 C．若一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 D．垂直于同一个平面的两个平面平行 B　若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面可能相交；当三点在平面的同一侧时，平面平行，当三点在平面的两侧时，平面相交；垂直于同一个平面两个平面可能平行，可能相交． 2．下列命题不正确的是(　　) A．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 B．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行 D．若果两个平面平行，则一个平面内的任一直线都与另一个平面平行 B　无数条直线可能是平行直线，故答案选B. 3．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是(　　) A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 B　∵α∥β，∴α与β无公共点．∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β.故选B. 4．已知平面α∥平面β，点P是平面α，平面β外一点，直线PAB，PCD分别与平面α，平面β相交于点A，B，C，D.且PA＝3 cm，AB＝6 cm，PC＝2 cm，则PD的长为(　　) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm C　由题意知：AC∥BD，所以eq \f(PA,PB)＝eq \f(PC,PD)，∴eq \f(3,9)＝eq \f(2,PD)， ∴PD＝6. 二、解答题 5．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：平面EFA1∥平面BCHG. 证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.∵AG＝EB，且A1G∥EB，∴四边形A1GEB是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG. 6．如图，在正方体ABCD­EFGH中，M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中 点．求证：平面MNP∥平面QRS. 提示：先证明SR∥BD，BD∥HF，HF∥NP, ∴SR∥NP，再证RQ∥MP， 从而证明平面MNP∥平面QRS. $$