第2章 §2 2.2 第2课时 分段函数(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固] 1．已知f(x)＝则f()·f(－1)＝(　　) A．－4　　　　　　　 B． C. D．4 解析　∵f(x)＝ 所以f()＝()2＝2，f(－1)＝－1－1＝－2， 所以f()·f(－1)＝2×(－2)＝－4. 答案　A 2．若函数f(x)＝则f[f(－2)]＝(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 解析　因为f(－2)＝2， 所以f[f(－2)]＝f(2)＝2＋－5＝－2. 答案　A 3．函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．{2,3} C．(1，＋∞) D．(1,2] 解析　当1<x<2时，f(x)＝2； 当x≥2时，f(x)＝3， 所以函数f(x)的值域是{2,3}． 答案　B 4．定义运算a⊗b＝设函数f(x)＝x⊗(x＋1)，则该函数的图象是(　　) 解析　由a⊗b的定义可知f(x)＝ 因为f(0)＝0－1＝－1，所以排除A，B； 当x<0时，f(x)＝x2>0，排除D，只有C符合． 答案　C 5．设函数f(x)＝若f(a)>a，则实数a的取值范围是________． 解析　a≥0时，由a－1>a，得a<－2，不满足a≥0；a<0时，由>a得a2>1，因为a<0，所以a<－1. 答案　(－∞，－1) 6.函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________． 解析　当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，又图象过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x； 当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3. 综上，f(x)＝ 答案　f(x)＝ 7．分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)．仿此，分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝________. 解析　因为f(x)＝ 可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，其分界点为3.从而式子中含有x＋3与x－3.并通过|x－3|前面的“－”达到需要的结果的形式． 仿此，对于分段函数f(x)＝其分界点为6. 故式子中应含有x＋6与x－6. 又x<6时，f(x)＝6. 故|x－6|的前面应取“＋”． 因此f(x)＝(x＋6＋|x－6|)． 答案　(x＋6＋|x－6|) 8．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)． (1)求f[f(0)]的值； (2)求函数f(x)的解析式． 解析　(1)直接由图中观察， 可得f[f(0)]＝f(4)＝2. (2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，将与代入，得 ∴∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)． 同理，线段BC所对应的函数解析式为 y＝x－2(2<x≤6)． ∴f(x)＝ [关键能力·综合提升] 9．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．f(1)＝3 D．若f(x)＝3，则x的值是 解析　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误； 当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]， 当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)， 因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确； 当x＝1时，f(1)＝12＝1，故C错误； 当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)， 当－1<x<2时，由x2＝3， 解得x＝或x＝－(舍去)，故D正确． 答案　BD 10．(2024·福建泉州期中)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A. B． C. D． 解析　当x≥2时，f(x)＝x＋1≥3，当x<2时，f(x)＝x＋4a<2＋4a.要使函数f(x)的值域为R，需满足2＋4a≥3，解得a≥，故实数a的取值范围是. 答案　D 11．已知函数f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围是________． 解析　当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2<a<4时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解；当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解．故a的取值范围是(－∞，－3)． 答案　(－∞，－3) 12．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 解析　当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2]． 答案　(－∞，2] 13．如图，已知等腰直角三角形纸片ABC的腰长为3，正方形纸片CDEF的边长为1，其中B，C，D三点在同一条直线上．把正方形纸片向左平移x个单位长度，0＜x≤3.设两张纸片重叠部分的面积为S. (1)求重叠部分的面积S关于x的函数解析式S(x) ； (2)作出函数S(x)的图象，并根据图象写出函数S(x)的值域； (3)若S(a)＝，求实数a的值． 解析　(1)如图，延长EF交AB于点G，则FG＝2. 当0<x≤1时，S(x)＝x； 当1<x≤2时，S(x)＝1； 当2<x≤3时， S(x)＝1－(x－2)2＝－x2＋2x－1. 综上，S(x)＝ (2)作出S(x)的图象，如图所示． 由图象可知此函数的值域为(0,1]． (3)在(0,1]上，由S(a)＝a＝，知a＝. 在(2,3]上，由S(a)＝－＋2a－1＝， 整理得4a2－16a＋15＝(2a－3)(2a－5)＝0， 解得a＝(舍去)或a＝. 综上，a＝或a＝. [核心价值·探索创新] 14．(多选)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则下列各式不正确的是(　　) A．x＝－x|sgn x| B．x＝－xsgn|x| C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x 解析　对于选项A，右边＝－x|sgn x|＝而左边＝x，显然不正确； 对于选项B，右边＝－xsgn |x|＝而左边＝x，显然不正确； 对于选项C，右边＝|x|sgn x＝＝x，x∈R， 而左边＝|x|＝显然不正确； 对于选项D，右边＝xsgn x＝ 而左边＝|x|＝显然正确． 答案　ABC 15．对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：函数h(x)＝ (1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1；g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式； (2)求(1)中函数h(x)的最大值． 解析　(1)h(x)＝ (2)当x≥1时，h(x)＝－2x2＋7x－6＝－22＋，∴h(x)≤. 当x<1时，h(x)<－1， ∴当x＝时，h(x)取最大值且最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$