第1章 §4 4.2 一元二次不等式及其解法(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是(　　) A. B. C. D. 解析　由已知可得6x2＋x－2≥0， 即(2x－1)(3x＋2)≥0， ∴x≥或x≤－. 答案　B 2．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为(　　) A. B. C. D. 解析　∵0＜t＜1，∴＞1，∴t＜. ∴(x－t)＜0⇔t＜x＜. 答案　D 3．(多选)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．a＞0　　　　　　 B．b＞0 C．c＞0 D．a＋b＋c＞0 解析　因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ， 故相应的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a＜0，故A错误； 易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， 则有＝－1＜0，－＝＞0， 又a＜0，故b＞0，c＞0，故B、C正确； 由一元二次函数的图象可知x＝1时，a＋b＋c＞0，故D正确． 答案　BCD 4．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是_________． 解析　原不等式即为3x－x2≥x2＋2x＋1， 可化为2x2－x＋1≤0，由于判别式Δ＝－7＜0， 所以方程2x2－x＋1＝0无实数根， 因此原不等式的解集是∅. 答案　∅ 5．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________. 解析　因为ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)， 所以a＞0，且m＞1， 1，m是相应方程ax2－6x＋a2＝0的两根， 所以解得m＝2. 答案　2 6．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解析　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. 当a＝0时，x≤－1； 当a＞0时，x≥或x≤－1； 当－2＜a＜0时，≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1； 当a＜－2时，－1≤x≤. 综上所述， 当a＞0时，解集为； 当a＝0时，解集为{x|x≤－1}； 当－2＜a＜0时，解集为； 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}； 当a＜－2时，解集为. [关键能力·综合提升] 7．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是(　　) A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 解析　由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2， ∴x2＋x－2<0，解得－2<x<1. 答案　B 8．(多选)(2024·广东江门期中)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1，或x>3}，则下列结论正确的是(　　) A．a<0 B．c<0 C．a＋b＋c<0 D．cx2－bx＋a<0的解集为 解析　由已知可得y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，即a<0，故A正确； 又x＝－1，x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， 所以 得 故c>0，B错误； a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，故C错误； cx2－bx＋a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0， 即3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)<0， 得－<x<1，故D正确． 答案　AD 9．设0＜b＜1＋a.若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为________． 解析　原不等式转化为 [(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0. ①当a≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意； ②当a＞1时，＜x＜， 由题意知0＜＜1， ∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个， 则需－3≤＜－2. 整理，得2a－2＜b≤3a－3. 结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a， ∴a＜3，从而有1＜a＜3. 综上可得a∈(1,3)． 答案　(1,3) 10．已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}． (1)求a，b的值； (2)解关于x的不等式x2－b(a＋c)x＋4c＞0. 解析　(1)由题意知a＞0，且1和b是方程 ax2－3x＋2＝0的两个根，∴a＝1. 又1·b＝，∴b＝2. (2)不等式可化为x2－2(c＋1)x＋4c＞0， 即(x－2c)(x－2)＞0， 当2c＞2，即c＞1时， 不等式的解集为{x|x＜2或x＞2c}； 当2c＝2，即c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}； 当2c＜2，即c＜1时， 不等式的解集为{x|x＞2或x＜2c}． 综上：当c＞1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞2c}； 当c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}； 当c＜1时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜2c}． [核心价值·探索创新] 11．对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N＋)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集为________． 解析　由4[x]2－36[x]＋45＜0， 得＜[x]＜， 又当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N＋)时，[x]＝n， 所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)． 答案　[2,8) 学科网（北京）股份有限公司 $$