2.2一元二次不等式课件-2026届年甘肃省职教高考数学一轮复习

2．2　一元二次不等式 第2章　不　等　式 第1页，共42页 一元二次不等式的解法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集可以联系二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，图像在x轴上方部分对应的横坐标x值的集合为不等式ax2＋bx＋c>0的解集，图像在x轴下方部分对应的横坐标x值的集合为不等式ax2＋bx＋c<0的解集． 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则相应的不等式的解集的各种情况如下表： 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝ 无实根 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0) 的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 续表 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 【注意】　(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2是相应的不等式解集的端点的取值，是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标； (2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 (3)根据Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况，可以得到一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集． 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 【例1】　解下列一元二次不等式： (1)x2－2x≥0; (2)9x2－1＜0； (3)x2＋10≥6x＋1; (4)4x－5－x2≥0. 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【点拨】　利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤：首先，化一元二次不等式为ax2＋bx＋c>0(或≥0或<0或≤0)，其中要确保a>0；其次，写出对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，求根的判别式Δ，并求出对应方程的解；再次，画出对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的草图；最后，根据图像确定一元二次不等式的解集． 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 (1)x2－2x≥0; (2)9x2－1＜0； 【解】　(1)∵方程x2－2x＝0的解为x1＝0，x2＝2， ∴x2－2x≥0的解集为{x|x≥2或x≤0}． (2)∵方程9x2－1＝0的根为x1＝－ ，x2＝ ， ∴9x2－1＜0的解集为 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 (3)x2＋10≥6x＋1; (3)将不等式变形为x2－6x＋9≥0. ∵方程x2－6x＋9＝0的Δ＝36－36＝0. ∴x2－6x＋9≥0的解集为R， 即x2＋10≥6x＋1的解集为R. 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 (4)4x－5－x2≥0. (4)将不等式变形为x2－4x＋5≤0. ∵方程x2－4x＋5＝0的Δ＝－4＜0， ∴x2－4x＋5≤0的解集为∅， 即4x－5－x2≥0的解集为∅. 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【变式训练1】　解不等式：(x－3)2>(x－2)(x－4). 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 解：化简，得x2－6x＋9>x2－6x＋8，得到9>8， 所以无论x取何值时，原不等式都成立， 即原不等式的解集为x∈R. 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【例2】　若一元二次方程x2－mx＋25＝0有实数解，则m的取值范围是(　　) A．(－10，10) B．[－10，10] C．(－∞，－10)∪(10，＋∞) D．(－∞，－10]∪[10，＋∞) 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 【点拨】　一元二次方程有实数解的条件是其判别式Δ≥0，即(－m)2－100≥0，解得m≤－10或m≥10，故选D. D 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【变式训练2】　若方程ax2＋2(a－1)x＋a＝0有两个不同的实 数根，则a∈______________． 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【例3】　当k为何值时，方程x2－kx＋x＋8＝0无实数解？ 【点拨】　不等式的解集常使用区间表示． 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【解】　方程x2－kx＋x＋8＝0无实数解， 即x2＋(1－k)x＋8＝0无实数解， 则Δ＝(1－k)2－4×1×8<0. 对于方程(1－k)2－32＝0， k1＝1＋ ，k2＝1－ ， ∴k∈(1－ ，1＋ ). 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【变式训练3】　若x2＋2ax＋a＋2<0的解集为空集，则a的取值范围是________． 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 【提示】 由题意知Δ≤0，即(2a)2－4(a＋2)≤0，解得－1≤a≤2. [－1，2] 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【例4】　当x是什么实数时， 有意义？ 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 【点拨】　因为偶次方根的被开方数必须大于等于0，所以5x－2x2＋3≥0，然后判断二次项系数是否为正数，再判断对应一元二次方程解的情况，最后写出不等式的解集． 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【解】　要使 有意义， x应该满足不等式5x－2x2＋3≥0. 即2x2－5x－3≤0， 对应方程2x2－5x－3＝0的解为x1＝－ ，x2＝3. 所以不等式的解集为 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 【变式训练4】　当m为何值时， 有意义？ 例1 例2 例3 例4 变1 变2 变3 变4 解：要使偶次方根有意义，被开方数必须大于等于0， 则m2－2m≥0， ∵方程m2－2m＝0的解为m1＝0，m2＝2， ∴m2－2m≥0的解集为{m|m≥2或m≤0}． 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 典例解析 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 一、单项选择题 1．不等式x2＋2x＋4≤0的解集是(　　) A．{1} B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．R D．∅ D 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 2．解集是∅的不等式是(　　) A．x2≥0 B．x2≤0 C．x2<0 D．x2>0 C 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 3．若一元二次方程x2－mx＋4＝0有实数解，则m的取值范围是(　　) A．(－4.4) B．[－4，4] C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 4．如果不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为空集，那么(　　) A．a<0，Δ>0 B．a<0，Δ≤0 C．a>0，Δ≤0 D．a>0，Δ≥0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 5．已知不等式ax2＋7x＋b>0的解为 ，则a，b的值是(　　) A．a＝12，b＝1 B．a＝－12，b＝－1 C．a＝1，b＝12 D．a＝－1，b＝12 B 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 6．若a<b，则不等式(x－a)(b－x)>0的解集是(　　) A．{x|a＜x＜b} B．{x|x≤b或x≥a} C．{x|x＜a或x＞b} D．{x|x≥b或x≤a} A 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 7．设a>b，则不等式(x－a)(x－b)>0的解集是(　　) A．(－∞，a)∪(b，＋∞) B．(－∞，b)∪(a，＋∞) C．(a，b) D．(b，a) B 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 8．已知关于x的不等式ax＋1>0(a∈R)的解集为 ，则a等于(　　) A．－ B． C．－2 D．2 C 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 二、填空题 9．一元二次方程x2－mx＋16＝0有实数解的条件是m∈_______________________． (－∞，－8]∪[8，＋∞) 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 10．若一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－2，x2 ＝ ，则不等式2x2＋bx＋c>0的解集是________________，不等式2x2＋bx＋c≤0的解集是______________． 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 11．不等式x2>x的解集是______________． {x|x<0或x>1} 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 12．不等式－x2－2x＋3>0的解集是____________． {x|－3<x<1} 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 13．若一元二次方程x2－mx＋ ＝0无实数解，则m的取值范 围是________；若 有意义，则 x∈_________________． (－1，1) 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 14．已知全集U＝R，A＝{x|4x2＋12x＋9≤0}，则∁UA＝ ____________． 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 15．已知一元二次不等式x2＋ax＋b<0的解集是(－3，4)，则a＋b＝________． －13 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 三、解答题 16．求证：无论m取何值，方程x2＋mx＋m－2＝0恒有两个不相等的实数根． 证明：要使方程x2＋mx＋m－2＝0恒有两个不相等的实数根，需满足Δ>0. ∵Δ＝m2－4(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0， ∴无论m取何值，方程x2＋mx＋m－2＝0恒有两个不相等的实数根． 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 17．已知关于x的不等式x2－mx＋n≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数m，n的值． 解：∵关于x的不等式x2－mx＋n≤0的解集是{x|－5≤x≤1}， ∴方程x2－mx＋n＝0的根为x1＝－5，x2＝1. 根据一元二次方程根与系数的关系，x1＋x2＝－5＋1＝m，∴m＝－4， x1·x2＝－5×1＝n，∴n＝－5，故m＝－4，n＝－5. 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 15 18．用长7米的篱笆围成一个矩形养鸡场，一边靠墙(不用篱笆).要使它的面积不少于6平方米，求与墙平行的一边的长度的取值范围． 解：设与墙平行的一边长x米，则另一边长为 米， 则面积S＝x· ≥6，解得x∈[3，4]. 第页，共42页 2．2　一元二次不等式 同步精练 知识要点 典例解析 同步精练 谢谢观看 $$