精品解析：陕西省咸阳市乾县马连镇初级中学2024-2025学年八年级上学期开学摸底考试数学试题

2024-2025学年度第一学期开学摸底考试 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案） 1. 计算：的结果是（ ） A. 4 B. －4 C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 事件A：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面；事件B：连续掷三次硬币，都是正面朝上．则（ ） A. 事件A和事件B都是必然事件 B. 事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C. 事件A是必然事件，事件B是随机事件 D. 事件A和事件B都是随机事件 6. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD， 若∠CAD＝20°，则∠B＝（ ） A. 20° B. 30 C. 35° D. 40° 7. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A. B. C. D. 9. 实数a，b，c满足，，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共计18分） 11. 若，则的值为______． 12. 将一副三角板如图放置，使点在上，，，，则的大小为______． 13. 已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下： 码 35 36 37 38 39 40 … 厘米 22.5 23 23.5 24 24.5 25 … 设鞋子的“码”数为x，长度为y（厘米），那么y与x之间的关系式是 ______． 14. 如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是______ 15. 如图，已知小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形；以此进行下去…，则正方形的面积为______． 16. 如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______． 三、解答题（共6小题，计52分．解答应写过程） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知线段，求作，使得，．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程米与时间分钟之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题： 这次龙舟赛的全程是______ 米，______ 队先到达终点； 求乙与甲相遇时乙的速度； 求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？ 21. 某校准备开展阳光体育运动，计划开设以下五个球类项目；（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），（足球），要求每位学生必须参加．且只能参加其中的一个项目．小明和小颖对以上的五个项目都很感兴趣，决定采用随机摸球的方式确定最终参加的项目．他们在一个不透明的袋子中放入5个小球，这些小球上分别写有字母，，，，（分别对应以上的五个项目），小球上除写的字母外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回，记作随机摸球1次． （1）小明随机摸球1次，摸出（乒乓球）的概率是 ． （2）小明和小颖分别随机摸球1次，求小明和小颖中至少有一人摸出（乒乓球）的概率． 22. 如图，在中，，过点C作于点D，在的延长线上取点E，连接，使． （1）求证：； （2）探究、、之间的数量关系，并说明理由． 23. 已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上． (1)如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF； ①求证：点F是AD的中点； ②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期开学摸底考试 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案） 1. 计算：的结果是（ ） A. 4 B. －4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据负整指数幂的运算法则即可求解 ． 【详解】解： ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了负整指数幂的运算．掌握相关运算法则是关键． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称的识别方法：轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，分别判断即可． 【详解】解：A中，是轴对称图形，故本选项符合题意； B中，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式和多项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A. ，故该选项运算错误； B. ，故该选项运算错误； C. ，故该选项运算错误； D. ，故该选项运算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，熟练掌握多项式乘多项式，平方差公式是解题的关键． 4. 如图，已知，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作，根据两直线平行内错角相等可得，，利用角的和差即可求解． 【详解】 过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理及角的和差，熟练掌握知识点并准确添加辅助线是解题的关键． 5. 事件A：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面；事件B：连续掷三次硬币，都是正面朝上．则（ ） A. 事件A和事件B都是必然事件 B. 事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C. 事件A是必然事件，事件B是随机事件 D. 事件A和事件B都是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然事件；在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件；据此判断即可得答案． 【详解】∵掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，也可能是背面， ∴掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件， ∵连续掷三次硬币，可能正面朝上，也可能背面朝上， ∴连续掷三次硬币，都是正面朝上是随机事件， ∴事件A和事件B都是随机事件， 故选：D． 【点睛】本题考查随机事件和必然事件，正确理解定义是解题关键． 6. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD， 若∠CAD＝20°，则∠B＝（ ） A. 20° B. 30 C. 35° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B=（180°-∠ADB）÷2答案可得． 【详解】解:因为DE是AB的垂直平分线， 所以AD=BD, 所以 又因为∠CAD＝20°， 所以∠B=（90-20）÷2=35°． 故选C 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解． 7. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 8. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况， 因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为． 故选：C． 9. 实数a，b，c满足，，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，代数式求值．根据同底数幂的除法运算可得，，则可得，，然后代入计算，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴ ， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、三角形内角和可判断③；由，得，即可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴； 故①正确； 如图，过点E作，垂足分别为F，H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴平分， ∴, 即点E到AC的距离为8； 故②正确； 由折叠知，； ∵， 同理，， ∴ ； 故③正确； ∵， 即， ∴， ∴； 故④正确； 综上，正确的有4个； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和，高相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计18分） 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，先化简，然后将化为，代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 将一副三角板如图放置，使点在上，，，，则的大小为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下： 码 35 36 37 38 39 40 … 厘米 22.5 23 23.5 24 24.5 25 … 设鞋子的“码”数为x，长度为y（厘米），那么y与x之间的关系式是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，y与x之间是一次函数关系，根据一次函数的性质，通过求解二元一次方程组，即可得到答案． 【详解】根据题意得，y与x之间是一次函数关系 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解． 14. 如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过D作于E，证明，得出，然后根据求解即可． 【详解】解∶过D作于E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 15. 如图，已知小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形；以此进行下去…，则正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算正方形的面积，正方形的面积，正方形的面积，从中找到规律，确定正方形的面积即可． 【详解】因为小正方形的面积为1， 所以正方形ABCD的边长为1， 因为小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形， 外延生成四个全等直角三角形，且直角边长分别为1和2， 所以正方形的面积为=5，边长为； 因为把正方形边长按原法延长一倍得到正方形， 外延生成四个全等直角三角形，且直角边长分别为和2， 所以正方形的面积为，边长为5； 因为把正方形边长按原法延长一倍得到正方形， 外延生成四个全等直角三角形，且直角边长分别为5和10， 所以正方形的面积为，边长为5； 因为把正方形边长按原法延长一倍得到正方形， 外延生成四个全等直角三角形，且直角边长分别为5和10， 所以正方形的面积为，边长为25； 由此发现规律如下：正方形的面积等于底数为5，指数为正方形的序号的幂， 所以正方形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，面积中规律，熟练掌握正方形的性质，直角三角形性质是探寻规律的关键． 16. 如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用．根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，计52分．解答应写过程） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，乘法公式，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键． （1）先根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知线段，求作，使得，．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作三角形，等边三角形的性质，作垂线，以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，作的垂直平分线交于点，连接，则即为所求． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式化简求值，非负数的性质，绝对值的非负性，熟练掌握整混合运算法则是解题的关键． 先根据整理式混合运算法则化简，再根据非负数性质求出a、b值，然后代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为， 所以， 所以， 所以原式 ． 20. 端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程米与时间分钟之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题： 这次龙舟赛的全程是______ 米，______ 队先到达终点； 求乙与甲相遇时乙的速度； 求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？ 【答案】（1）1000，乙；（2）375米/分；（3）分或分. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由图中所给数据信息可知，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点； （2）由图中信息可知：乙是在比赛开始后的2.2分钟至3.8分钟之间和甲相遇的，这期间乙共行驶了600米，用时1.6分钟，由此即可求得此时乙的速度； （3）由图中信息可求出甲的速度和乙在2.2分钟前的速度，这样设甲和乙相遇前x分钟时，两队相距100米，再分2.2分钟前和2.2分钟后两种情况求出答案即可. 试题解析： （1）由图中信息可知，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点； （2）由图中信息可知，乙是在比赛开始后的2.2分钟至3.8分钟之间和甲相遇的，这期间乙共行驶了600米，用时1.6分钟， ∴乙和甲相遇时的速度为：600÷（3.8-2.2）=375（米/分）； （3）由图中信息可知，甲的速度为：1000÷4=250（米/分），乙在2.2分钟前的速度为：400÷2.2=（米/分）， ∴在2.2分钟时，甲、乙间的距离为：（米）， ∴在2.2分钟之前和之后，各存在一次甲、乙相距100米的时刻， 设甲、乙在相遇之前，x分钟时相距100米，由题意可得： 或， 解得：或， 即甲、乙相遇前，在比赛开始后的第分钟和第2.6分钟时，两队相距100米. 点睛：解本题第3小题时，需先计算出2.2分钟时甲、乙的距离为150米，由此可知在2.2分钟之前和之后各存在一个时刻使两队间的距离为100米，这样即可分两种情况列出对应的方程求解，避免漏掉其中某种情况. 21. 某校准备开展阳光体育运动，计划开设以下五个球类项目；（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），（足球），要求每位学生必须参加．且只能参加其中的一个项目．小明和小颖对以上的五个项目都很感兴趣，决定采用随机摸球的方式确定最终参加的项目．他们在一个不透明的袋子中放入5个小球，这些小球上分别写有字母，，，，（分别对应以上的五个项目），小球上除写的字母外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回，记作随机摸球1次． （1）小明随机摸球1次，摸出（乒乓球）的概率是 ． （2）小明和小颖分别随机摸球1次，求小明和小颖中至少有一人摸出（乒乓球）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据题意，利用概率公式直接计算即可； （2）采用列表法，共有25种等可能的结果，其中小明和小颖中至少有一人摸出有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有5种等可能的结果，其中摸出（乒乓球）有1种结果， 小明随机摸球1次，摸出（乒乓球）的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：小明和小颖分别随机摸球1次，列表如下， 小明 小颖 A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中小明和小颖中至少有一人摸出的结果有9种， 小明和小颖中至少有一人摸出B的概率． 22. 如图，在中，，过点C作于点D，在的延长线上取点E，连接，使． （1）求证：； （2）探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：  （2）， 理由如下： 如图，在上截取，连接． 由（1）得， 在和中 . 【解析】 【分析】（1）先证明，，从而可得结论； （2）如图，在上截取，连接，证明，再证明，结合全等三角形的性质可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质；作出合适的辅助线是解本题的关键. 23. 已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上． (1)如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF； ①求证：点F是AD的中点； ②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论． 【答案】 （1）①证明：如图1， ∵AF=CF， ∴∠1=∠2， ∵∠1+∠ADC=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠ADC， ∴FD=FC， ∴AF=FD， 即点F是AD的中点； ②BE=2CF，BE⊥CF．理由如下： ∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE， 在△ADC和△BEC中 ， ∴△ADC≌△BEC， ∴AD=BE，∠1=∠CBE， 而AD=2CF，∠1=∠2， ∴BE=2CF， 而∠2+∠3=90°， ∴∠CBE+∠3=90°， ∴CF⊥BE； （2）BE=2CF，BE⊥CF，理由如下： 延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2， ∵AF=DF，FG=FC， ∴四边形ACDG为平行四边形， ∴AG=CD，AG∥CD， ∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°﹣∠ACD， ∴CD=CE=AG， ∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°）， ∴∠BCD=α， ∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°﹣∠ACD=180°﹣∠ACD， ∴∠GAC=∠ECB， 在△AGC和△CEB中 ， ∴△AGC≌△CEB， ∴CG=BE，∠2=∠1， ∴BE=2CF， 而∠2+∠BCF=90°， ∴∠BCF+∠1=90°， ∴CF⊥BE． 【解析】 【分析】（1）①如图1，由AF=CF得到∠1=∠2，则利用等角的余角相等可得∠3=∠ADC，然后根据等腰三角形的判定定理得FD=FC，易得AF=FD； ②先利用等腰直角三角形的性质得CA=CB，CD=CE，则可证明△ADC≌△BEC得到AD=BE，∠1=∠CBE，由于AD=2CF，∠1=∠2，则BE=2CF，再证明∠CBE+∠3=90°，于是可判断CF⊥BE； （2）延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2，易得四边形ACDG为平行四边形，则AG=CD，AG∥CD，于是根据平行线的性质得∠GAC=180°-∠ACD，所以CD=CE=AG，再根据旋转的性质得∠BCD=α，所以∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD，得到∠GAC=∠ECB，接着可证明△AGC≌△CEB，得到CG=BE，∠2=∠1，所以BE=2CF，和前面一样可证得CF⊥BE． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 【点睛】本题考查旋转的性质, 全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形和平行四边形的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $