2.3向量的内积（课件）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

2.3向量的内积 1 学习目标 1．知道向量内积的概念及其几何意义； 2．会计算两个向量的内积； 3．会利用向量内积解决简单几何问题． 物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段距离，就说力对物体做了功．如图所示，在拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位移s．设力F与位移s的夹角为θ，怎样计算力F 对小车做的功呢？ 情境导入 力F 在位移s的方向上的分力F1的大小为|F1|= |F|·cosθ．由于小车在分力F2方向上的位移等于0，故分力F2对小车做的功等于0，从而力F对小车所做的功就是分力F1对小车做的功，即 力F 和位移s是两个向量，它们按照上式确定了一个数量W． 情境导入 如图所示，对于非零向量a和b，作 =a， =b， 称射线OA、OB所成的最小正角为向量a与b的夹角，记作 ． 当a、b同向时， =0； 当a、b反向时， =π ． 因此，0≤ ≤π ． 当= 时，称向量a与向量b互相垂直，记作a⊥b． 探索新知 两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a与b的内积(或数量积)，记作a · b，即 a·b=|a||b|cos ． 由内积定义可知： 零向量与任一向量的内积为0，即0 · a=0 ． 读一读 向量a与b的内积a · b也称为a与b的点积． a · a也写作a² ． 探索新知 对于非零向量a、b，当a、b同向时，a·b=|a||b|； 当a、b反向时，a·b=-|a||b| ． 探索新知 对于两个非零向量a、b，由内积的定义有： （性质） （1）a⊥b⇔a·b=0； （2）|a|=； （3）cos =． 探索新知 情境导入 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 是否可以用向量的内积描述几何学中的垂直、长度与夹角？ 探索新知 是的，向量的内积（也称为点积）可以很好地描述几何学中的垂直、长度与夹角。以下是具体的描述方式： 性质(1)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题，即内积为0，则两向量垂直. 两个向量 ​a​ 和 ​b​ 垂直的充要条件是它们的内积为零：a⋅b=0 这是因为内积为零时，夹角的余弦值为零，即夹角为 90°。 探索新知 性质(2)表明，当两个向量相等时，这两个向量的内积等于向量的模的平方，因此可用于求向量的模. 向量 ​a​ 的长度可以通过内积表示为：|a|=a⋅a​ 这是因为：a⋅a=|a|2cos0°=|a|2 探索新知 性质(3)的实质是平面向量内积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式. 向量内积表示夹角两个非零向量 ​a​ 和 ​b​ 之间的夹角 θ 可以通过内积公式计算：cosθ=从而可以求出夹角 θ. 探索新知 总结： ​垂直​：内积为零。 ​长度​：内积的平方根。 ​夹角​：通过内积与模的比值计算余弦值。 因此，向量的内积是描述几何中垂直、长度和夹角的有效工具。 探索新知 例1 已知|a|=5，|b|=6，=60°，求a·b． 解 a·b=|a||b|cos =5×6×cos 60°=15． 典型例题 例2 已知|a|=|b|=2，a·b=-2，求cos的值． 解 cos = = = -a·b． 典型例题 可以验证，向量的内积满足下面的运算规律： a·b= b·a； (λ a)·b = λ (a·b) = a·(λb)； (a+b)·c = a·c+b·c ． 典型例题 例3 已知|a|=4，|b|=10，=60°，当m为何值时，向量ma+b与向量2b互相垂直． 解 由已知可得，a·b=|a||b|cos =4×10×cos60°=20． 因此，有 (ma+b)·2b=ma·2b+b·2b=2ma·b+2b²=40m+2|b|²=40m+200 ． 要使ma+b与2b互相垂直，必须满足(ma+b)·2b=0，即40m+200=0．于是，m=-5． 因此，当m为-5 时，向量ma+b与2b互相垂直． 典型例题 １．判断下列说法是否正确． （1）两向量夹角的范围与直线倾斜角的范围相同； （2）两个向量的内积仍是一个向量； （3）两向量a与b互相垂直的充要条件a·b=0． 巩固练习 否 否 是 巩固练习 C 巩固练习 B 巩固练习 B 5．已知向量m与n的夹角为45°，|m|=4，|n|=6，求m·n． 解：向量的点积（内积）定义为：m·n=|m|·|n|·cosθ，其中θ是两向量之间的夹角。 将已知条件代入上述公式中，我们得到： m·n =4 × 6 × cos 45° 因为cos45°=，所以： m·n =4×6×=24×=12 巩固练习 6．已知|a|=-1，|b|=+1，向量a与b的夹角为，求a·b． 巩固练习 解：cos=将已知值代入公式中： a·b=(-1)(+1)cos =(-1)(+1)× = 所以，向量a与b的点积a·b=。 7．已知|a|=|b|=2， =30°，求： （1） b·(a+b) ； （2）(a+2b)·3a． （1）解：根据点积的分配律，有： b·(a+b)=b·a+b·b b·a=|b||a|cos30°=2×2×cos30°=4×=2 b·b=|b|²=2²=4 b·(a+b)=2+ 4 7．已知|a|=|b|=2， =30°，求： （1） b·(a+b) ； （2）(a+2b)·3a． 典型例题 （2）解：(a+2b)·3a =a·3a+2b·3a =3|a|2+6|a||b|cos30° =3×4+6×2×2× =12+12 8．已知|a|=3，|b|=2，a·b=-3，求cos ． 解：a·b=-3=|a||b|cos 即3×2×cos =-3 解得cos =- 归纳总结 作业布置 1.完成2.3《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 解：如图， 与 的夹角为 ， 故选：C 已知向量 ，且两向量夹角为 ，则 （    ） A．18 B．9 C． D． 解：依题意， . 故选：B 在 中， ， ， ，则 （     ） A．3 B． C． D． 解: 因为 ， ，所以 ， 故向量 与向量 共线反向. 故选：B. $$