2.3向量的内积（同步练习）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 拓展模块上册》 2.3 向量的内积 一、单选题 1．两个非零向量夹角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的范围即可解答. 【详解】当两向量方向相同时，夹角为； 当两向量方向相反时，夹角为； 当两向量成其他任意角度时，夹角是到之间， 所以两个非零向量夹角的范围是到，即， 故选：C. 2．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由向量垂直的条件即可求解. 【详解】因为，所以，是直角三角形． 故选：B. 3．已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量的内积的定义列方程求夹角余弦值即可. 【详解】已知，因为，所以. 故选：C. 二、填空题 4．若，则 ． 【答案】3 【分析】根据平面向量的内积即可得解. 【详解】， 故答案为：. 5．已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据向量的内积公式求解即可； 【详解】因为，，，所以=-3． 故答案为： 6．若，则 ． 【答案】 【分析】由向量内积的定义公式变形即可求出夹角的余弦值，即可解答. 【详解】已知， 因为，且，所以． 故答案为：. 三、解答题 7．已知，，和的夹角是，求． 【答案】. 【分析】根据向量内积的定义即可得解. 【详解】． 8．在四边形中，若，且，试确定四边形的形状． 【答案】矩形 【分析】由相等向量和向量的内积判断四边形的形状即可. 【详解】∵，∴且， ∴四边形是平行四边形． 又∵，∴， ∴四边形是矩形． 一、单选题 1．已知，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的夹角为，根据向量内积运算公式，代数求解即可. 【详解】设与的夹角为， 因为，所以． 又因为，，， 所以，所以． 又因为，所以． 故选：B. 2．已知是非零平面向量，，且的夹角为，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的条件列方程结合内积的运算律求解即可. 【详解】，，， ， 解得（舍去）. 故选：D. 3．已知，，，则（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据，结合平面向量内积的定义及运算律即可得解. 【详解】. 故选：. 二、填空题 4．已知，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据向量内积公式与向量的分配律求解即可； 【详解】因为，，， 所以 ． 故答案为：20 5．在边长为2的正三角形中， 【答案】 【分析】先求与的夹角，然后利用内积公式求内积即可. 【详解】因为为正三角形，所以，即与的夹角为，则与的夹角为， 又因为正三角形边长为2， 则， 则； 故答案为：. 6．已知，且，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义结合已知条件即可求解. 【详解】因为，且， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 三、解答题 7．已知，，，求． 【答案】． 【分析】根据向量数量积的夹角公式即可解得. 【详解】因为，, 所以． 8．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线，结合向量的内积公式求解即可； （2）根据向量内积与模长求解模长即可； （3）由条件结合向量的夹角公式求解即可； 【详解】（1）设向量与的夹角为． 当同向，即时，； 当反向，即时，． （2）因为，所以； 所以. （3）由，得， 所以， 又，所以． 一、单选题 1．设向量满足及，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对两边平方求出的值，然后利用求向量夹角的公式进行求解. 【详解】设与的夹角为， 由题意得：，对方程两边平方得 ，又， ，即 又，的夹角为. 故选：A. 2．已知菱形的边长是4，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的夹角，然后利用内积公式可求. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以， 向量的夹角为，向量的夹角为， 因为，所以的夹角为， 所以； 故选：D. 3．在中，，，P是上一点，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出的值，再用向量内积的运算律计算即得. 【详解】如图，因为，所以，则， 因为P是上一点，即三点共线，故，即，所以， 因为，所以. 故选：C． 二、填空题 4．已知，则向量的最大值是 . 【答案】8 【分析】将向量先平方后开方，根据向量的运算性质和模的性质，当向量和同向时，二者夹角的余弦值最大，此时取得最大值. 【详解】因为，设向量和向量夹角为， 所以， 所以当与同向时，即时，取得最大值，为. 故答案为：8. 5．若向量满足则的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直的充要条件及向量内积的概念即可求解. 【详解】设的夹角为，则， 由题可知，，即， 所以，，， 又，故可得 ，即的夹角为. 故答案为：. 三、证明题 6．已知向量不共线，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量的内积的运算律和向量垂直的条件证明即可. 【详解】， ， 即， ， ， 又与不共线，， ． 四、解答题 7．已知向量，，． (1)求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的运算律计算即可. （2）先求解出的模长和的模长，再根据向量夹角计算公式计算即可. 【详解】（1）根据题意，向量，，，则. （2）设与的夹角为，， ， 则， ，则， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高教版《数学 拓展模块上册》 2.3 向量的内积 一、单选题 1．两个非零向量夹角的范围是（   ） A． B． C． D． 2．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．已知，则（   ） A． B． C． D．2 二、填空题 4．若，则 ． 5．已知，，，则的值为 ． 6．若，则 ． 三、解答题 7．已知，，和的夹角是，求． 8．在四边形中，若，且，试确定四边形的形状． 一、单选题 1．已知，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知是非零平面向量，，且的夹角为，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．已知，，，则（   ） A．5 B． C．7 D． 二、填空题 4．已知，，，则 ． 5．在边长为2的正三角形中， 6．已知，且，则在上的投影向量为 ． 三、解答题 7．已知，，，求． 8．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 一、单选题 1．设向量满足及，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知菱形的边长是4，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，P是上一点，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 4．已知，则向量的最大值是 . 5．若向量满足则的夹角为 ． 三、证明题 6．已知向量不共线，且，求证：． 四、解答题 7．已知向量，，． (1)求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$