2.2.2向量的数乘运算（课件）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

2.2.2向量的数乘运算 1 学习目标 1. 掌握向量数乘的定义、模与方向法则，熟练运算律（结合、分配律）。 2. 理解并应用向量共线定理。 3. 通过实例（如位移、力学）提升数学建模与数形结合能力。 4. 发展抽象思维、逻辑论证与问题迁移能力。 在2004年奥运会上，我国运动员以12.91s的成绩获得男子110m跨栏比赛冠军，成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人男子110m跨栏，从第1栏到第9栏，每相邻两栏之间间隔9.14m记第1栏到第2栏的位移为s1，第1栏到第3栏的位移为s2，…，从第1栏到第9栏的位移为s8，如图所示试问，位移s1，s2，… ，s8，具有怎样的关系？ 情境导入 容易看出，位移s1与s2的方向相同，它们的模满足|s2|=2|s1|． 因此，位移s2是位移s1与位移s1的和，即s2= s1+s1．沿用运算习惯，记为s2=2s1．类似地，可以得到s3=3s1，…， s8=8s1 ． 情境导入 一般地，实数λ与向量a的乘积仍是一个向量，记作λa λa的模为|λa|= |λ||a| 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时， λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时，因为 λa=0，所以其方向是任意的 探索新知 求一个数λ与向量a的乘法运算称为数与向量的乘法运算，简称数乘运算． 上述定义表明，当 λ>0时，向量λa可以看作由向量a伸长或缩短λ倍得到；当 λ<0时，向量 λa可以看作由向量−a 伸长或缩短|λ|倍得到．这是向量数乘运算的几何意义． 探索新知 容易验证，对于任意向量a、b及任意实数 λ、μ，向量的数乘运算满足以下法则： (λμ) a=λ(μa)= μ(λa) ； (λ+μ) a=λa +μa； λ(a+b)= λa+λb． 探索新知 可以看出，向量λa与向量a平行．反之，若有一个向量b与向量a(a≠0)平行，则向量b与a的关系如下： 因此，当a≠0时，a∥b ⇔存在实数λ，使得b＝λa． 当b=0时，b=0a； 当b与a方向相同时，记λ= ，则有b= λa ； 当b与a方向相反时，记λ=-，则有b= λa ． 探索新知 探索新知 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之 间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线. 探索新知 向量的共线定理 探索新知 11 例5 计算． （1）-2×(4a)； （2）2 (a+b)-3(a-b)-5a； （3）(a+3b-2c)- (3a-2b+4c)． 解（1）-2×(4a)=(-2×4)a=-8a； （2） 2 (a+b)-3(a-b)-5a= (2a-3a-5a)+(2b +3b) =(2-3-5)a+(2+3)b=-6a+5b ； （3） (a+3b-2c)- (3a-2b+4c)= (a-3a)+[3b-(-2b)]+(-2c-4c) =(1-3)a+(3+2)b+(-2-4)c= -2a+5b-6c ． 典型例题 分析 注意到= = ，故可以用向量a、b表示向量 与，进而表示向量 和 ． 例6 如图所示，O为⏥ABCD两条对角线的交点， =a， =b，试用向量a、b表示向量 、 ． 解 根据向量的加法、减法法则，可得 =a+b， =a-b． 由于O为⏥ABCD两条对角线的交点，可知= = ． 于是，有 = = (a+b) = a+ b， = = (a-b) = a-b． 典型例题 一般地，若向量c=λa+μb(λ、μ均为实数)，则称向量c可以由向量a、b线性表示． 如例6中，向量可以由向量a和b线性表示= a+ b． 探索新知 探索新知 方法总结：用已知向量表示相关未知向量的基本思路 用已知向量表示相关末知向量时, 要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中, 选用从同一顶点出发的两个向量或首尾相接的两个向量, 运用向量加、减法运算及数乘运算来求解. 充分利用相等向量相反向量和线段的比例关系,把未知向量转化为已知向量. 1.计算． （1）5(2a-b)； （2）(a+2b)-(5a-b)； （3）-2(a-3b-c)+3(a+2b-c) ． 巩固练习 10a-5b -a+2b a+12b-c 2.根据已知条件，试用向量a表示向量b． （1）a=2e，b =4e ； （2）a=e，b =-3e ； （3） a=-e，b =3e． 巩固练习 4. 如图所示，⏥ABCD的两条对角线交于点M，=a，=b．试用向量a、b分别表示、 ． 巩固练习 =-a-b =ab =-ab 5. 化简． （1） - （2）2-2 （3） ． 巩固练习 6.已知向量i、j分别为x轴、y轴上的单位向量，试判断下列向量a、b是否共线． （1）a=3i ，b =-i； （2）a=2i ，b =- j； （3） a= 2i + j ，b =-2i- j ． 巩固练习 共线 共线 不共线 巩固练习 7.如图，在一条笔直的马路上，张明从家（点O ）出发，往东走100 m到公交站（点A）乘车，乘车往西行1.2 km 到达另一公交站（点B ），下车后往东走 200 m到达学校．不乘公交车，张明从家走到学校应往什么方向走？走多远？ 巩固练习 解： 以往东为正方向，1m为单位长度，则张明每次移动的效果可分别用实数100，-1200，200表示． 由于100+(-1200)+200=-900 因此，不乘公交车，张明从家走到学校应往西走，并走900m ． 巩固练习 C 巩固练习 A 巩固练习 巩固练习 归纳总结 作业布置 1.完成2.2.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 事实上，对于向量 ， ，如果有一个实数 ，使 ， 那么由向量数乘的定义可知 与 共线. 反过来，已知向量 与 共线，且向量 的长度是向量 的长度的 倍， 即 ，那么当 与 同方向时，有 ；当 与 反方向时， 有 . 向量 与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ， 使 或 . 定理本身包含了两个方面：若存在一个实数 ，使 ，则 与 共线；反之，若 与 共线 ，则必存在一个实数 ，使 . 若 ， 不共线，且 ，则必有 . 思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？ 定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. 8.如图，在四边形 中， ， ，设 ， ，则 等于( ) A. B. C. D. 9.如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是 ， 的中点，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 9. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq \f(1,3)BD.求证：M，N，C三点共线． 证明　设eq \o(AB,\s\up19(→))＝a，eq \o(AD,\s\up19(→))＝b， ∵eq \o(MN,\s\up19(→))＝eq \o(MB,\s\up19(→))＋eq \o(BN,\s\up19(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up19(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BD,\s\up19(→)) ＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,3)(eq \o(AD,\s\up19(→))－eq \o(AB,\s\up19(→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,3)(b－a)＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b， eq \o(MC,\s\up19(→))＝eq \o(MB,\s\up19(→))＋eq \o(BC,\s\up19(→))＝eq \f(1,2)a＋b，∴eq \o(MN,\s\up19(→))＝eq \f(1,3)eq \o(MC,\s\up19(→))，∴eq \o(MN,\s\up19(→))∥eq \o(MC,\s\up19(→))， 又MN与MC有公共点M，故M，N，C三点共线． $$