2.2.2向量的数乘运算（同步练习）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 拓展模块上册》 2.2.2 向量的数乘运算 一、单选题 1．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 2．等于（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A．3 B．4 C．12 D．以上都不对 二、填空题 4．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则 ． 5．已知，，若两向量方向同向，则向量与向量的关系为 ． 6． ． 三、计算题 7．化简. (1)； (2). 四、证明题 8．已知两个非零向量与不共线，如果，求证：A，B，D三点共线． 一、单选题 1．已知向量与不共线，则，的关系是（    ） A．共线 B．相等 C．不共线 D．无法确定 2．下列说法中正确的是（   ） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 3．已知是不共线的非零向量，并且，则一定共线的三个点是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若，且与方向相反，设，则实数的值为 . 5．若三点，，共线，则 ． 6．已知向量不共线，且平面向量，，若，则 ． 三、计算题 7．已知向量，． (1)计算：； (2)把满足，的向量，用，表示出来． 四、证明题 8．已知：．求证：与共线． 一、单选题 1．在中，为边上一点，与交于点，若，则（   ） A． B． C． D．2 2．已知向量不共线，，且与方向相反，则实数的值是（ ） A． B．1 C．或 D．1或 3．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为 二、填空题 4．化简： . 5．如图所示，已知，则用、表示为 ．    三、证明题 6．已知，，，为平面上四点，且（，，且）.求证：，，三点共线. 7．如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高教版《数学 拓展模块上册》 2.2.2 向量的数乘运算 一、单选题 1．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性关系判断三点共线即可； 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以，共线，且有公共点， 所以三点共线． 故选：C 2．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算性质求解. 【详解】原式． 故选：D． 3．已知，则（   ） A．3 B．4 C．12 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据数乘向量的定义求解. 【详解】∵，∴ ． 故选：C． 二、填空题 4．已知与是两个不共线向量，且向量与共线，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线定理列式求解即可； 【详解】因为向量与共线，所以存在，使得， 可化为,即，解得． 故答案为： 5．已知，，若两向量方向同向，则向量与向量的关系为 ． 【答案】2 【分析】根据数乘向量的概念即可解答. 【详解】由于，，则，又两向量同向，故. 故答案为：2. 6． ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算性质求解. 【详解】． 故答案为：. 三、计算题 7．化简. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案. 【详解】（1）解：； （2）. 四、证明题 8．已知两个非零向量与不共线，如果，求证：A，B，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】欲证A，B，D三点共线，只须证与共线即可． 【详解】因为，所以与共线． 又因为与有公共点，所以A，B，D三点共线． 一、单选题 1．已知向量与不共线，则，的关系是（    ） A．共线 B．相等 C．不共线 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据向量的共线原理计算并判断关系即可. 【详解】因为向量与不共线，且，， 设，即， ，，不共线， 无解，，不共线. 故选：C. 2．下列说法中正确的是（   ） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的性质逐个分析即可. 【详解】A中，当时，，零向量的方向是任意的，不与同向或反向，故A错误， B中，当，时，不存在实数使， 故B错误， C中，向量的模长关系仅表示长度比例，不决定方向，若，则与可能方向不相同也不相反，故C错误， D中，若，则， 故D正确， 故选：D. 3．已知是不共线的非零向量，并且，则一定共线的三个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加法公式得到即可得到共线. 【详解】因为， 所以， 所以，所以三点共线. 故选：A. 二、填空题 4．若，且与方向相反，设，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据平行向量的性质求值即可. 【详解】，且与方向相反，且，所以， 由方向相反可知，则. 故答案为：. 5．若三点，，共线，则 ． 【答案】9 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】因为，，共线， 所以，，， ，． 故答案为：9 6．已知向量不共线，且平面向量，，若，则 ． 【答案】1 【分析】由向量的线性运算和向量相等列式求解即可. 【详解】因为，向量，不共线， 所以， 即，解得． 故答案为：1 ． 三、计算题 7．已知向量，． (1)计算：； (2)把满足，的向量，用，表示出来． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据向量的线性运算计算即可. （2）将等式，联立解方程组求解即可. 【详解】（1） . （2）已知，， 则联立方程组为， ①②，得， 即，代入①式，得， 所以，. 四、证明题 8．已知：．求证：与共线． 【答案】证明见解析 【分析】利用向量线性运算及共线定理证明即可. 【详解】∵， ∴，又， ，故与共线． 一、单选题 1．在中，为边上一点，与交于点，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先根据向量加减法表示出，再根据向量共线求的值. 【详解】，则， ， 三点共线，所以， 解得：． 故选：A. 2．已知向量不共线，，且与方向相反，则实数的值是（ ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】根据平面共线定理，由向量平行，求得满足满足的方程，求解x即可. 【详解】因为与方向相反，则存在，使得， 又因为， 所以，且向量、不共线， 则，整理可得， 解得或，所以或， 又，所以. 故选：A. 3．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为 【答案】D 【分析】根据共线向量，单位向量和相等向量的概念即可求解. 【详解】对A：若，则或，故A项错误； 对B：若，则，此时 不存在，故B项错误； 对C：若，由，，不一定得到，故C项错误； 对D：由向量为非零向量，根据单位向量的定义，故D项正确. 故选：D. 二、填空题 4．化简： . 【答案】 【分析】由平面向量线性运算的法则化简原式，即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 5．如图所示，已知，则用、表示为 ．    【答案】 【分析】根据向量加法、减法、及数乘运算法则求解. 【详解】． 故答案为：. 三、证明题 6．已知，，，为平面上四点，且（，，且）.求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】根据向量的减法法则以及向量的共线定理求解即可. 【详解】， ，， （，，且）. 又与有公共点，，，三点共线. 7．如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证．    【答案】证明见解析 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形和相反向量可得. 【详解】因为E，F分别为AD，BC的中点， 所以，即， 又，① ，② 所以①+②，得， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$