2.2.1向量的加法运算和减法运算（教案）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块上册》 第二章 平面向量 2.2.1向量的加法运算和减法运算 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块上册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节课是《数学拓展模块上册》中向量部分的基础内容，是在学生学习了向量的基本概念（向量、模、零向量等等向量、相等向量、共线向量）之后，对向量运算的首次探索。向量的加法和减法运算是向量代数中最基本、最重要的运算之一，是进一步学习向量的数乘运算、数量积以及后续解析几何等内容的必备基础。教材通过实例引入向量加法的概念，引导学生归纳总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并介绍了向量加法的运算律。在此基础上，通过类比数的减法，引入向量的减法运算，并得出向量减法的三角形法则。教材内容编排注重从具体到抽象，从直观到理性，符合中职学生的认知规律，同时也强调了向量运算的几何意义，为后续学习打下坚实基础。 五、学情分析 本节课的授课对象是中职学生。他们在初中阶段已经学习了实数的运算，对“运算”有一定的认知基础。在物理课中，学生也接触过位移、力等矢量概念，这为理解向量的运算提供了一定的生活经验和物理背景。然而，向量运算与数量运算有着本质的区别，向量不仅有大小还有方向，这是学生理解的难点。中职学生的数学基础相对薄弱，抽象思维能力和空间想象能力有待提高，学习兴趣和主动性可能不足。因此，在教学过程中，应注重从学生熟悉的实例出发，通过直观演示、动手操作等方式，引导学生主动参与，帮助学生克服从“数量运算”到“向量运算”的思维转变，重点理解向量运算的几何意义。 六、教学目标 1.理解向量加法、减法的定义，能准确说出三角形法则和平行四边形法则的核心内容. 2.熟练运用三角形法则、平行四边形法则作出两个向量的和向量与差向量，掌握向量减法转化为加法的运算. 3.通过观察物理情境（如力的合成与分解、位移叠加），经历从具体到抽象的过程，提升抽象概括能力. 4.感受向量在描述现实问题中的工具性，体会数学与物理等学科的联系，激发学习数学的兴趣. 七、教学重点 1.向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 2.向量减法的三角形法则。 八、教学难点 1.对向量加法、减法几何意义的理解。 2.向量减法法则的推导及应用（特别是方向的确定）。 3.从“数”的运算到“向量”运算的思维转变。 九、教学方法 1.情境导入法：通过生活实例（如风力、位移）对比“距离”与“位移”，引出向量概念，建立直观认知。 2.直观演示法：用几何画板动态展示向量箭头（长度、方向变化），演示平行、单位向量等，强化几何直观。 3.合作探究法：设计问题（如“向量与数量的区别”“用向量描述教室路径”），小组探究后汇报，促进主动思考。 4.类比对比法：列表对比向量与数量、物理矢量的异同，构建知识关联，避免混淆。 5.分层练习法：基础题（判断向量）、进阶题（画单位向量）、应用题（航行方向），逐步深化，满足差异化需求。 6.互动反馈法：随机提问、身体动作游戏、实时练习反馈，保持参与度，及时纠正错误。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 情境导入 由受力示意图引出向量的加法。 我们知道，数可以进行加法和减法运算.那么，向量之间是否也可以进行加法和减法运算呢？人们通过对位移等向量的研究发现，向量可以进行加法和减法及数乘等运算. 向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称向量的线性运算. 先用物理的力学知识，让学生感受向量相加的效果，接着类比数的运算引出新知识 探索新知 家住昆明的小张打算自驾去成都旅游，出发前查看交通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，所以改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地.试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移、的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移有什么关系？ 结合生活常识思考让学生感知向量加法的三角形法则的实际意义 探索新知 可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把 位移看作两次位移与的和. 一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次做=a，=b，得到一个△ABC，称向量AC为向量a与向量b的和，也称为向量a与向量b的和向量，记作a+b，如图所示．即a+b=AC=AB+BC. 求两个向量的和的运算称为向量的加法. 上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则. 当非零向量平行时，在平面上任取一点 A，依次作=a，=b，得到一个新的向量，称向量为向量a与向量b的和，记作a+b，如图所示. 规定： a+b=0+a=a； a+(−a)=0. 由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示. 教师说明展示，学生思考领会，理解。 结合图像分析问题，逐步提升直观想象核心素养 数形结合方法分析特殊情况，渗透分类讨论思想 总结了向量加法的几何意义 典型例题 例1如图所示，在ABCD中，用向量、表示向量. 解根据向量加法的三角形法则可知，=+. 又因为ABCD中，=，所以=+. 引出平行四边形法则 探索新知 一般地，给定两个非零向量与，以线段和为邻边作ABCD，则向量就是向量与的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则． 可以验证，向量的加法满足以下运算律： a+b=b+a；(交换律) a+(b+c)=(a+b)+c.(结合律) 在例题基础上学习平行四边形法则 典型例题 例2已知向量a、b，如图（2）所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b． 解（1）运用三角形法则．如图（2）所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=+=a+b； （2）运用平行四边形法则．如图（3）所示,在平面内任取一点E，作=a，=b，以、为邻边作EFGH，连接EG，则=+=a+b. 例3一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北.若水流速度的大小为12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度． 解:如图所示，表示船在静水中的速度，为水流速度.以、为邻边作ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知，是船的实际航行速度． 在Rt△ABC中， 又利用计算器求得∠CAD=22°37’． 因此，船实际航行的速度大小是13km/h,方向为北偏东22°37’． 例2进一步从几何角度巩固向量加法的三角形和平行四边形法则，也表明两种法则实质是一致的 例3借助实际问题展示数学知识的应用性 情境导入 我们知道，减去一个数相当于加上这个数的相反数，即x−y=x+(−y)，这是实数的减法．那么如何定义向量的减法呢？ 教师提问，引导启发，学生分析思考。 类比实数减法 探索新知 设a、b是两个向量，类似于实数的减法，可以用向量的加法定义向量的减法．即a−b=a+(−b)，也就是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 如图所示，向量a=，b=，则 向量a−b称为向量a与b的差，也称a−b为向量a与向量b的差向量．求两个向量差的运算称为向量的减法． 探究与发现 试利用−=说出向量减法的几何意义． 类比实数减法以及结合图示进行验证，直观易于学生理解,提出向量减法的几何意义 典型例题 例4如图（1）所示，已知向量a、b，求作向量a—b. 解如图（2）所示，在平面上任取一点O， 作=a，=b，则向量BA为所求的差向量，即=a-b． 帮助学生进一步体会向量减法的几何意义 巩固练习 1.如图所示，分别求作下列情形下的向量a+b． 2.如图所示，已知向量a、b、c，则 （1）a+b=； （2）b+c=； （3）a+b+c=． 3.化简． （1） （2） （3） 4. 为落实“绿水青山就是金山银山”的理念，某地区积极开展退耕还林、退耕还湖工作．某中等职业学校无人机操控与维护专业的学生利用无人机实拍实习的机会，拍摄制作反映当地该项工作的纪录片．该同学操控无人机从A地出发，先向东飞行2km到达退耕还林的B地，再向北飞行到2km到达退耕还湖的C地，以记录相关素材．请求出无人机的位移. 练习2.2.2略 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成2.2.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 向量的加法运算和减法运算 向量加法：求两个向量和的运算 三角形法则：首尾相接，由首至尾 平行四边形法则：同起点，对角线 向量减法：起点相同，指向被减 图略 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 学生理解了向量加减法的定义和几何意义，并能够熟练运用三角形法则和平行四边形法则进行作图和运算。情境创设能有效激发学生兴趣，演示、提问、讨论等互动环节充分调动了学生的参与性，多媒体（如PPT动态演示向量的合成与分解）的运用恰当、有效；板书设计清晰、有助于学生理解和记忆。各环节的时间分配合理。改进方向：可以考虑引入更多与生活实际相关的向量加法减法例子，增强数学的应用性。对于抽象思维能力较弱的学生，是否可以提供更多动手操作的机会，如利用橡皮筋、直尺等工具进行向量合成的模拟。在例题和练习的设计上，可以更具层次性，满足不同学生的需求。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$