2.2.1向量的加法运算和减法运算（课件）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

2.2.1向量的加法运算和减法运算 1 学习目标 1. 理解向量加法、减法的定义，能准确说出三角形法则和平行四边形法则的核心内容. 2. 熟练运用三角形法则、平行四边形法则作出两个向量的和向量与差向量，掌握向量减法转化为加法的运算. 3. 通过观察物理情境（如力的合成与分解、位移叠加），经历从具体到抽象的过程，提升抽象概括能力. 4.感受向量在描述现实问题中的工具性，体会数学与物理等学科的联系，激发学习数学的兴趣. 我们知道，数可以进行加法和减法运算．那么,向量之间是否也可以进行加法和减法运算呢？ 情境导入 F1 F2 F E O O E 观察受力分析图 F1 F2 F E O O E 橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同样的,橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点. 思考:合力F与力F1、F2有怎样的关系？ 力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力. 情境导入 通过对力、位移等向量的研究发现，向量可以进行加法和减法及数乘等运算． 向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称向量的线性运算． 导入 向量的加法运算 6 家住昆明的小张打算自驾去成都旅游，出发前查看交通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，所以改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都．小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A 、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地． 试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移、的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移有什么关系？ 可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都．因此我们可以把位移看作两次位移与的和． 情境导入 一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次作 = a， = b，得到一个△ABC，称向量为向量a与向量b的和，也称为向量a与向量b的和向量，记作a+b,如图所示．即 a+b= = + ． 探索新知 求两个向量的和的运算称为向量的加法． 上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则． 探索新知 当非零向量平行时,在平面上任取一点A，依次作 = a， = b，得到一个新的向量，称向量为向量a与向量b的和，记作a+b ． 规定： a+b=0+a=a； a+(−a)=0. 探索新知 由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如右图所示． 探索新知 例1 如图所示，在⏥ABCD中，用向量、 表示向量． 解 根据向量加法的三角形法则可知， = +． 又因为⏥ABCD中， = ，所以， = + ． 典型例题 一般地，给定两个非零向量与，以线段AB和AD为邻边作⏥ABCD，则向量就是向量与和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则． 探索新知 可以验证，向量的加法满足以下运算律： a+b=b+a；(交换律) a+(b+c)=(a+b)+c ．(结合律) 探索新知 例2 已知向量a、b，如图（1）所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b ． （1）运用三角形法则.如图（2）所示，在平面内任取一点O，作 = a， = b ．则 = + =a+b ． 解 典型例题 例2 已知向量a、b，如图（1）所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b ． （2）运用平行四边形法则．如图（3）所示，作在平面内任取一点E，作 = a， = b ．以 连接EG，则 = + =a+ b． 解 典型例题 例3 一艘渡轮要从南岸到北岸，它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北．若水流速度的大小为12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度． 解 如图所示，表示船在静水中的速度，为水流速度．以AB、AC为邻边作，由向量加法的平行四边形法则可知，是渡轮的实际航行速度． 在Rt△ABC中， ||==13 ． 又tan∠CAD= = ，利用计算器得∠CAD=22°37’ ． 因此，渡轮实际航行的速度大小是13km/h，方向为北偏东22°37’ ． 典型例题 向量的减法运算 18 我们知道，减去一个数相当于加上这个数的相反数，即 x−y= x +(−y)，这是实数的减法． 那么如何定义向量的减法呢？ 问题导入 设a、b是两个向量，类似于实数的减法，可以用向量的加法定义向量的减法．即 a−b=a +(−b)， 也就是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 如图所示， 向量a = ，b = ，则 a−b = − = +(− )= + = ． 探索新知 向量a−b称为向量a与b的差，也称a−b为向量a与向量b的差向量．求两个向量差的运算称为向量的减法． 探索新知 试利用 − = 说出向量减法的几何意义． 探索新知 例1 如图(1)所示，已知向量a 、b，求作向量a−b． 解 如图(2)所示，在平面上任取一点O，作 =a ，=b ， 则向量为所求的差向量，即 =a−b． 典型例题 2. 如图所示，已知向量a、b、c，则 （1）a+b= ； （2）b+c= ； （3）a+b+c= ． 巩固练习 3.化简． （1） （2） （3） 巩固练习 4.为落实“绿水青山就是金山银山”的理念，某地区积极开展退耕还林、退耕还湖工作．某中等职业学校无人机操控与维护专业的学生利用无人机实拍实习的机会， 拍摄制作反映当地该项工作的纪录片．该同学操控无人机从A地出发，先向东飞行2km到达退耕还林的B地，再向北飞行到2km到达退耕还湖的C地，以记录相关素材． 请求出无人机的位移 ． 巩固练习 解：位移的大小2 2. 填空． （1） = ； （2） （3） （4） − 巩固练习 3.已知，如图所示，试用向量和分别表示向量、、 巩固练习 归纳总结 作业布置 1.完成2.2.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ $$