2.2.1向量的加法运算和减法运算（同步练习）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 拓展模块上册》 2.2.1 向量的加法运算和减法运算 一、单选题 1．如图，正六边形中，（   ） A．0 B． C． D． 2．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．化简以下各式：①；②；③；④．结果为零向量的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，则可以表示为从向量的 指向向量的 的向量． 5．定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法．，即减去一个向量相当于加上这个向量的 ． 6． . 三、计算题 7．已知菱形的边长为2， (1)化简向量； (2)求向量的模. 8．化简下列式子：（1）； （2）． 一、单选题 1．设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，且不与重合，则等于（    ） A． B． C． D． 2．下列四个式子中可以化简为的是（   ） ①；②；③；④． A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 3．在平行四边形中，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图， ． 5．设表示向北走4千米，表示向东走4千米，则表示的意义是 . 6．已知正方形的边长为1，，则 ． 三、计算题 7．化简： (1)． (2)． 四、证明题 8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且试判断四边形ABCD的形状，并证明． 一、单选题 1．在平行四边形中，设M为线段的中点，N为线段上靠近A的三等分点，，则向量（   ） A． B． C． D． 2．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 3．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么 ； . 5．如图，在正六边形中，与相等的向量有 . ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 三、解答题 6．如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，F为线段AC上的一点，且，记． (1)用向量表示﹔ (2)用向量表示． 7．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风吹向西偏北，风速为4，这时气象台报告实际风速为2，试求风的实际方向和汽车速度大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高教版《数学 拓展模块上册》 2.2.1 向量的加法运算和减法运算 一、单选题 1．如图，正六边形中，（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，结合向量的加法法则运算即可. 【详解】正六边形中，，则． 故选：B. 2．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法法则即可解答. 【详解】由图可知，，所以. 故选：C. 3．化简以下各式：①；②；③；④．结果为零向量的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则即可求解. 【详解】①； ②； ③； ④． 所以结果为零向量的个数是有4个. 故选：D. 二、填空题 4．几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，则可以表示为从向量的 指向向量的 的向量． 【答案】终点；终点 【分析】根据向量减法的几何意义填空即可. 【详解】几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量． 故答案为：终点；终点. 5．定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法．，即减去一个向量相当于加上这个向量的 ． 【答案】相反向量 【分析】根据向量的减法的概念填空即可. 【详解】定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法．，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 故答案为：相反向量. 6． . 【答案】 【分析】根据向量的加法法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 三、计算题 7．已知菱形的边长为2， (1)化简向量； (2)求向量的模. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解即可； （2）根据平面向量的平行四边形法则与三角形法则化简求解即可 【详解】（1） （2）由向量的平行四边形法则与三角形法则， 8．化简下列式子：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用向量加减法的运算法则，化简向量的线性表达式即可. 【详解】（1）原式． （2）原式. 一、单选题 1．设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，且不与重合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的加法的平行四边形法则即可得解. 【详解】因为为除了的任意一点，点是线段的中点，也是线段的中点， 所以， 故选：. 2．下列四个式子中可以化简为的是（   ） ①；②；③；④． A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】由向量的加法和减法的运算法则计算即可. 【详解】，所以①正确， 与不可以化为，所以②③错误， ，所以④正确 故可以化简为的是①和④. 故选：A． 3．在平行四边形中，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法法则和减法法则逐项分析即可. 【详解】在平行四边形中， ，A正确， ，B正确， ，C错误， ，，，D正确. 故选：C. 二、填空题 4．如图， ． 【答案】 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】原式 . 故答案为：. 5．设表示向北走4千米，表示向东走4千米，则表示的意义是 . 【答案】向东北方向走千米 【分析】利用向量的平行四边形法则求出合向量后结合实际意义即可求解. 【详解】因为表示向北走4千米，表示向东走4千米，所以表示既向向北走4千米，又向东走4千米，即向东北方向走千米. 故答案为：向东北方向走千米. 6．已知正方形的边长为1，，则 ． 【答案】2 【分析】由向量减法法则和几何意义进行运算，并求得向量的模. 【详解】如图，延长到E，使，则， ． 故答案为：2. 三、计算题 7．化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的加法法则和减法法则计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． 四、证明题 8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且试判断四边形ABCD的形状，并证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析. 【分析】根据题意结合平面向量的减法法则得出，即可得解. 【详解】四边形是平行四边形，证明如下： ， ，即． 且， 四边形是平行四边形． 一、单选题 1．在平行四边形中，设M为线段的中点，N为线段上靠近A的三等分点，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合题意和图像求解即可. 【详解】由题意作出图形：    在平行四边形中，M为的中点，则 又为线段上靠近A的三等分点，则， ， 故选：B. 2．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算，向量的相等及向量的模的定义即可得解. 【详解】∵在四边形中，. ∴.且. ∴四边形为平行四边形． ∵. ∴. ∴四边形的对角线长度相等. ∴平行四边形为矩形． 故选：. 3．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用向量相等与加法的几何意义判断C，从而得解. 【详解】A：当，且时，，，故A不成立； B：当，且时，，故B不成立； C：因为与方向相反，则与方向相同，所以，故C成立； D：当，且时，，故D不成立. 故选：C. 二、填空题 4．如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么 ； . 【答案】；. 【分析】根据四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则求解. 【详解】因为，所以四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： ； . 故答案为：；. 5．如图，在正六边形中，与相等的向量有 . ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 【答案】①④ 【分析】根据向量加减法运算结合相等向量的定义即可求解. 【详解】由题意得，如图所示， 在正六边形中，四边形是平行四边形， 则，所以①正确； 与方向不同，所以②错误； 与方向不同，所以③错误； ，所以④正确； ，所以⑤错误； 与方向不同，所以⑥错误； 在正六边形中，四边形为平行四边形， 则，所以⑦错误； 综上，①④正确. 故答案为：①④. 三、解答题 6．如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，F为线段AC上的一点，且，记． (1)用向量表示﹔ (2)用向量表示． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，利用已知条件，据图即可求解. 【详解】（1）解:由题可知:,,,所以. （2）解:. 7．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风吹向西偏北，风速为4，这时气象台报告实际风速为2，试求风的实际方向和汽车速度大小． 【答案】风的实际方向是吹向正北方向，汽车速度的大小为 ． 【分析】根据向量加法的平行四边形法则求解. 【详解】风速计和风向标测的风速记为，用表示；汽车速度记为，用表示， 以作平行四边形，气象台报告实际风速记为， 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知， 表示向量的有向线段是的对角线． ∵4，， ， ∴． 在中，（）． ∴风的实际方向是吹向正北方向，汽车速度的大小为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$