2.1向量的概念（教案）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块上册》 第1章 平面向量 2.1向量的概念 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块上册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 《向量的概念》是中等职业教育数学拓展模块上册的重要起始内容，是后续学习向量的线性运算、向量的坐标表示、向量的应用等知识的基础。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通代数与几何的桥梁。 本小节主要介绍向量的实际背景、向量的概念、向量的几何表示、向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量等基本概念。这些概念是整个向量理论的基石，对于学生理解向量的本质、掌握向量的运算以及后续用向量解决几何和物理问题都具有至关重要的作用。 五、学情分析 学生在初中及中职前期的数学学习中，已经接触过“数量”（如长度、质量、时间等只有大小的量）的概念，这是理解向量的基础。但对于“既有大小又有方向的量”是初次系统学习。中职学生形象思维能力较强，抽象思维能力相对薄弱。他们对具体、直观的事物更容易理解，对纯粹的理论推导和抽象概念可能会感到枯燥。部分学生数学基础相对薄弱，学习兴趣可能不高，需要通过生动的实例和贴近生活的应用来激发其学习积极性。他们更关注知识的实用性和可操作性。从“数量”到“向量”是学生认知上的一次飞跃，理解“方向”的重要性并将其融入到量的表示和运算中是难点。对于“向量可以平移”、“平行向量与共线向量的关系”等概念也容易产生混淆。 六、教学目标 1．通过位移、力等物理背景体会向量、相等向量、相反向量、平行（共线）向量和零向量等概念，能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量； 2．能利用有向线段表示向量，能举例说明向量的大小和方向． 3．通过画图表示向量、对比向量与数量的差异，培养直观想象能力和逻辑辨析能力． 4．感受向量在描述现实问题中的实用性，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣． 七、教学重点 1.向量的概念（既有大小又有方向的量）。 2.向量的几何表示和符号表示。 八、教学难点 1.对向量“方向”属性的理解。 2.平行向量（共线向量）、相等向量概念的理解及辨析（特别是对“共线”的理解）。 九、教学方法 1.情境导入法：通过生活实例（如风力、位移）对比“距离”与“位移”，引出向量概念，建立直观认知。 2.直观演示法：用几何画板动态展示向量箭头（长度、方向变化），演示平行、单位向量等，强化几何直观。 3.合作探究法：设计问题（如“向量与数量的区别”“用向量描述教室路径”），小组探究后汇报，促进主动思考。 4.类比对比法：列表对比向量与数量、物理矢量的异同，构建知识关联，避免混淆。 5.分层练习法：基础题（判断向量）、进阶题（画单位向量）、应用题（航行方向），逐步深化，满足差异化需求。 6.互动反馈法：随机提问、身体动作游戏、实时练习反馈，保持参与度，及时纠正错误。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 情境导入 我国是海洋大国，海域辽阔、资源丰富．如图所示，某海洋科考船从A点沿东北方向航行100nmile到达B点．如果船S舰沿其他方向航行100nmile，能不能到达B点呢？ 教师提出问题，引发思考；学生分析回答。 创设情境设置问题引导学生发现并抽象出向量相关知识渗透课程 思政 探索新知 可以看出，船从A点出发沿其他方向航行100nmile不能到达B点． 事实上，图中带箭头的线段AB包含两个 要素：航程100nmile，航向东北方向． 物理学中，把“船沿东北方向航行100nmile”称为船的位移． 生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量． 在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量．向量常用小写黑体英文字母a、b、c等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如a、b、c、…一些软件中也是用字母上方加箭头来表示向量． 向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|．模为1的向量称为单位向量． 规定：模为零的向量为零向量，记作0或0．零向量的方向是任意的． 非零向量的方向如何表示呢？ 平面中由两点A、B所确定的线段AB有两个方向，即以点A为起点、点B为终 点的方向和以点B为起点、点A为终点的 方向． 一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段． 以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB． 习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示． “情境与问题”中，有向线段直观地表示了船的位移，其长度表示船位移的大小，其箭头指向表示船位移的方向． 一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．这也是向量的几何表示． 教师讲解说明、演示。学生领会，分析。 结合实际生活说明向量与数量的区别，介绍了向量的符号表示 典型例题 例12022年2月，我国成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，并取得历史最好成绩．冰球是最受关注的项目之一．如图所示是按1:1000比例尺绘制的甲运动员带球、传球的示意图，甲运动员从点A带球到了点B，然后将球传给了位于点C的乙运动员．尝试用有向线段分别表示冰球、甲运动员的位移，并指出它们的大小和方向（精确到1m）． （1） （2） 解：如图（2）所示，用有向线段A--→表示甲运动员的位移．在图中测量可得，|AB|≈2.5cm．因此，甲运动员位移的实际大小 |AB|≈2.5cm×1000=25m，方向是正北．-→ 用有向线段A--→表示冰球的位移．在图中测量可得，|AC|≈2.1cm．因此，冰球位移的实际大小|A--→|≈2.1cm×1000=21m，方向是正东． 例2如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量． 解向量东北方向； 向量东北方向； 向量西南方向； 向量东北方向； 向量m：|m|=2，正北方向； 向量i：|i|=1，正东方向； 向量j：j||=1，正北方向； 其中的单位向量有：i、j． 教师提问引导，讲解强调，学生交流思考。 例1巩固向量的概念及要素强化向量的直观表达，通过作图等方式体会向量的几何特征 例2强化了向量的两个要素及单位向量等概念 情境导入 探究与发现 例2中的下列四组向量,每组的两个向量之间有什么关系？ （1）i与j；（2）a与d； （3）a与b；（4）c与d． 教师提出问题，引导，学生思考讨论。 提出新概念，引发学生持续思考。 探索新知 向量i与j的模相等，但是方向不同，它们是不同的向量． 向量a与d的模不相等，但是方向相同，它们也是不同的向量． 向量a与b不仅模相等，而且方向相同．考虑到向量是由大小和方向所确定的，我们把a与b看作一样的向量． 向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系． 一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量．向量a与b相等时，记a=b． 与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作-a． 规定：零向量的相反向量仍是零向量． 进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行． 一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量．当向量a与b平行时，记a∥b． 规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a． 提示 对于左图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l．然后，在l上任取一点O，并在l上 分别作出OA=a、OC=c、OD=d，如右图所示．这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．因此，平行向量也称共线向量． 分析上面的问题 通过平移向量直观形象地显示平行向量也就是共线向量 典型例题 例3如图所示，点O为ABCD对角线的交点． （1）写出向量似的平行向量； （2）写出与向量相等的向量； （3）写出向量的相反向量． 解由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分． （1）因为平行向量是方向相同或相反的 两个非零向量，所以的平行向量有、、； （2）因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量相等的向量只有； （3）因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反的向量，所以的相反向量有、． 及时归纳总结三者之间的区别与联系，提醒学生分析平行向量是思考要全面 巩固练习 练习1.1 1． 如图所示是中国共产党第一次全国代表大会纪念馆展厅参观示意图，小明按照示意图参观了纪念馆，请画出小明此次参观的位移． 2．试判断下列说法是否正确． （1）两个单位向量一定是相等向量； （2）向量与向量相等； （3）方向分别为竖直向下和竖直向上的两个力是共线向量； （4）零向量与任一向量共线； （5）一人向左走5m的位移和向右走5m的位移是一对相反向量． 3．在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N)． （1）方向正北、大小为20N的力，用向量表示； （2）方向正东、大小为50N的力，用向量表示． 4．按图中的比例尺，分别求出由A地到 B、C两地的位移(长度精确到1km)． (第3题)(第4题) 5．如图所示，D、E、F分别是ΔABC各边的中点，连接DE、DF、EF．试写出下列向量． （1）向量的共线向量； （2）与向量相等的向量； （3）向量的相反向量． 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成2.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 向量的概念 数量：只有大小 (身高、体重) 向量：既有大小又有方向 （定义）(力、位移) 几何表示：有向线段 (起点、方向、长度) 记为： (A为起点，B为终点) 向量的模：向量的大小，记为 || 零向量：长度为0的向量，记为→0，方向任意。 单位向量：长度为1个单位的向量。 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量。 (零向量与任一向量平行) 相等向量：长度相等且方向相同的向量。 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 学生基本理解和掌握了本节课的核心概念，通过课堂提问和练习反馈，对于“方向”的理解，以及“平行向量”与“共线向量”的辨析，学生的理解程度不错。新知探究环节的逻辑性和节奏适宜，练习的梯度和针对性准确。时间分配合理。学生在课堂上的参与度高。对于学生易错的概念，下次教学中可以采用更直观的教具或动画演示。可以增加一些让学生动手画图、操作的环节，加深对向量几何意义的理解。作业的设计可以更具层次性和趣味性。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$