2.1向量的概念（课件）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

2.1向量的概念 1 学习目标 1．通过位移、力等物理背景体会向量、相等向量、相反向量、平行（共线）向量和零向量等概念，能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量； 2．能利用有向线段表示向量，能举例说明向量的大小和方向． 3．通过画图表示向量、对比向量与数量的差异，培养直观想象能力和逻辑辨析能力． 4．感受向量在描述现实问题中的实用性，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣． 我国是海洋大国，海域辽阔、资源丰富．如图所示，某海洋科考船从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点．如果船S舰沿其他方向航行100 n mile，能不能到达B点呢？ 情境导入 可以看出，船从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点． 事实上，图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile ，航向东北方向． 物理学中，把“船沿东北方向航行100 n mile”称为船的位移． 情境导入 生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量． 在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量． 向量常用小写黑体英文字母a、b、c、…等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如、、 一些软件中也是用字母上方加箭头来表示向量 读一读 除了位移，生活中常见的向量还有速度、加速度、力等． 探索新知 向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|．模为1的向量称为单位向量． 规定：模为零的向量为零向量，记作0或 ．零向量的方向是任意的． 非零向量的方向如何表示呢？ 探索新知 以A为起点、B为终点的有向线段记作． 习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示． 平面中由两点 A、B所确定的线段 AB 有两个方向，即以点 A 为 起点、点 B 为终点的方向和以点 B为起点、点 A 为终点的方向． 一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段． 探索新知 图中的有向线段直观地表示了船的位移，其长度表示船位移的大小，其箭头指向表示船位移的方向． 探索新知 一般地，人们常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．这也是向量的几何表示． 探索新知 例1 2022年2月，我国成功举办了第24 届冬季奥林匹克运动会，并取得历史最好成绩．冰球是最受关注的项目之一．如左图所示是按1:1000比例尺绘制的甲运动员带球、传球的示意图，甲运动员从点A带球到了点B，然后将球传给了位于点C的乙运动员．尝试用有向线段分别表示冰球、甲运动员的位移，并指出它们的大小和方向（精确到1m）． 典型例题 解 如右图所示，用有向线段表示甲运动员的位移．在图中测量可得，|AB|≈2.5cm．因此，甲运动员位移的实际大小| |≈2.5cm×1000=25m，方向是正北． 用有向线段表示冰球的位移．在图中测量可得，|AC|≈2.1cm．因此，冰球位移的实际大小| |≈2.1cm×1000=21m，方向是正东． 典型例题 例2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量． 解 向量a：|a|2，东北方向； 向量b：|b|2，东北方向； 向量c：|c|，西南方向； 向量d：|d|，东北方向； 向量m：|m|，正北方向； 向量i：|i|，正东方向； 向量j：|j|，正北方向． 其中的单位向量有： i、 j． 典型例题 例2 中的下列四组向量，每组的两个向量之间有什么关系？ （1）i与j； （2）a与d； （3）a与b；（4）c与d． 典型例题 向量i与j的模相等，但是方向不同，它们是不同的向量． 向量a与d的模不相等，但是方向相同，它们也是不同的向量． 向量a与b不仅模相等,而且方向相同．考虑到向量是由大小和方向所确定的，我们把 a与b看作一样的向量． 向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系． 典型例题 一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量．向量a与b相等时，记a=b． 与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a． 规定：零向量的相反向量仍是零向量． 探索新知 进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行． 探索新知 一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量．当向量a与b平行时，记a∥b ． 规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a ． 探索新知 对于左图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l ．然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出 = a ， = c ， = d ，如右图所示．这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．因此，平行向量也称共线向量． 探索新知 例3 如图所示，点O为⏥ABCD对角线的交点． （1）写出向量的平行向量； （2）写出向量的相等向量； （3）写出向量的相反向量． 解 由平行四边形的性质可知,平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分． （1）因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以的平行向量有、 、 ； （2）因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量相等的向量只有； （3）因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反的向量，所以相反向量有． 典型例题 1.如图所示是中国共产党第一次全国代表大会纪念馆展厅参观示意图，小明按照示意图参观了纪念馆，请画出小明此次参观的位移． 巩固练习 巩固练习 解：位移指物体从初位置指向末位置的有向线段，只关注“起点在哪、终点在哪”，不关注物体实际运动的路径。 2.试判断下列说法是否正确． （1）两个单位向量一定是相等向量； （2）向量与向量相等； （3）方向分别为竖直向下和竖直向上的两个力是共线向量； （4）零向量与任一向量共线； （5）一人向左走5m的位移和向右走5m的位移是一对相反向量． 巩固练习 否 是 否 是 是 3. 在图中所示坐标纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N)． （1）方向正北、大小为20N的力，用向量表示； （2）方向正东、大小为50N的力，用向量表示． 巩固练习                                                                                                                                                                                                     巩固练习 “力”既有大小又有方向，是一个向量，所以线段长度表示大小 ，箭头表示方向. 向量与向量表示． 4. 按图中的比例尺，分别求出由A地到B、C两地的位移、 (长度精确到1km) ． 巩固练习 巩固练习 5. 如图所示，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、DF、EF．试写出下列向量． （1） 向量的共线向量； 解： 一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量（也叫共线向量）．所以，向量的共线向量有： 巩固练习 5. 如图所示，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、DF、EF．试写出下列向量． （2）与向量相等的向量； 解：一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量．所以，与向量相等的向量有： 巩固练习 5. 如图所示，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、DF、EF．试写出下列向量． （3）向量的相反向量． 解：与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量.所以，向量的相反向量有： 巩固练习 归纳汇总 作业布置 1.完成2.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ $$