2.1向量的概念（同步练习）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 拓展模块上册》 2.1 向量的概念 一、单选题 1．有下列物理量：①质量②温度③角度④弹力⑤风速．其中可以看成是向量的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】向量含有两个要素：大小和方向， ①质量②温度③角度，没有方向只有大小，故不是向量； ④弹力⑤风速，即有方向又有大小，是向量. 可以看成是向量的有2个. 故选：B. 2．下列说法中正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【分析】由向量的定义逐项判断即可得解. 【详解】不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确； 向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确. 故选：D. 3．有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的定义，相等向量，零向量的概念即可求解. 【详解】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题； 对于②，在平行四边形中，是大小相等，方向相反的向量，即，故②是假命题； 对于③，显然若，，则，故③是真命题； 对于④，根据零向量的有关规定可知，零向量都是相等的，故④是真命题. 综上，假命题的个数为2个. 故选：B． 二、填空题 4．在平行四边形中，相等的向量有 组． 【答案】4 【分析】根据平行四边形的性质，结合相等向量的概念即可解答. 【详解】已知平行四边形的对边平行且相等， 所以在平行四边形中，，共4组. 故答案为：4. 5．如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形. （1）图中所标出的向量（不含）与共线的有 ；（2）图中所标出的向量（不含）与相等的有 ；（3）图中所标出的向量（不含）与模相等的有 . 【答案】；；，，，. 【分析】由共线向量、相等向量的定义即可得解. 【详解】（1）∵四边形为正方形，为等腰直角三角形. ∴，且A，B，E三点共线， ∴与，共线. （2）∵，且与方向相同， ∴. （3）∵， ∴. 故答案为：；；，，，. 6．如图所示，已知，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有 . 【答案】 【分析】结合图形，分模长为2或3的向量求解. 【详解】满足条件的向量有以下几类： 模长为2的向量有：. 模长为3的向量有：. 故答案为： 三、简答题 7．向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗？ 【答案】不一样 【分析】根据“平行”的不同概念分析即可. 【详解】不一样，向量中的“平行”包括向量所在直线共线和平行，分为方向相同和方向相反，而平面几何中的“平行”指两条直线平行，没有方向. 四、解答题 8．已知分别为各边的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量相等的向量. 【答案】；；． 【分析】根据相等向量的定义，结合三角形中位线定理，即可求解. 【详解】∵分别为各边的中点， ∴，，，，，， ∴；；． 一、单选题 1．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的方向、大小以及正六边形的性质求解即可. 【详解】设正六边形的边长为，依次分析各选项： 对于A，由正六边形的性质可得与平行且相等，则有，故A正确； 对于B，由正六边形的性质可得与平行，即，故B正确； 对于C，在正六边形中，与均过中心，则有，即有，故C正确； 对于D，在正六边形中，，则，故D错误． 故选：D. 2．下列说法正确的是（   ） A．向量就是直线平行于直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据向量共线、相等的定义以及零向量的定义分析求解即可. 【详解】对于A，向量包含直线平行直线或直线与直线重合两种情况，选项A错误； 对于B，相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，选项B错误； 对于C，零向量长度等于0，选项C正确； 对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以错误． 故选：C. 3．下列命题正确的是（   ） A．向量与是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行 【答案】C 【分析】根据相等向量、共线向量、零向量的定义，逐一分析判断即可. 【详解】对于选项A：，即向量与方向相反，所以向量与不是相等向量，故A错误； 对于选项B：两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，即共线的单位向量不一定是相等向量，故B错误； 对于选项C：因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确； 对于选项D：两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误， 故选：C. 二、填空题 4．有下列说法： ①若，则一定不与共线； ②若，则； ③共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法有 ．（填序号） 【答案】② 【分析】根据平行向量，相等向量的概念进行分析即可. 【详解】对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以与有共线的可能，故①不正确; 对于②，，则，且与方向相同，，则，且与方向相同，所以与方向相同且模相等，故，故②正确; 对于③，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可能是所在直线互相平行的向量，故③不正确. 故答案为：②. 5．点在线段上，且，则 ， . 【答案】; 【分析】设，根据题中条件，表示出，，进而可求出结果. 【详解】因为， 设，则， ∴， ∴. 6． 三点共线 （答案不唯一）. 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据给定条件，利用共线向量写出结论作答. 【详解】解： 三点共线∥， 或者 三点共线∥. 故答案为： 三、解答题 7．一辆消防车从A地到地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到达地，然后从地沿北偏东方向行驶6km到达地，从地又向南偏西行驶2km才到达地． (1)在如图所示的坐标系中画出； (2)求地相对于地的位移． 【答案】(1)作图见解析 (2)北偏东，6km 【分析】（1）根据题目条件，在坐标系上画出即可. （2）根据向量相等的性质求解即可. 【详解】（1）向量，如图所示． （2）由题意知，则四边形为平行四边形. 所以，则地相对于A地的位移为“北偏东，”． 8．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量； （2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量； （3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量． 【详解】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示． （2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示． （3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示． 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 【答案】A 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量以及相等向量的定义求解即可. 【详解】选项A.向量与都是单位向量，则它们的模都为1，但它们的方向可能不同，错误. 选项B.零向量与任意向量都共线，正确. 选项C.两个共线向量一定平行，正确. 选项D.相等向量一定共线. 故选：A. 2．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件和相等向量的概念判断即可. 【详解】当时，，的方向不确定，所以不一定，故充分性不成立， 当时，向量，大小相等，则有，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选:B. 3．下列说法正确的是（    ） A．若与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．若向量，则 C．若，则 D．非零向量平行时，向量所在直线平行或重合 【答案】D 【分析】结合共线（平行）向量与零向量的定义，举反例排除ABC，同时判断D. 【详解】对于A，若与是共线向量， 则可能仅仅是，例如A，B，C，D是平行四边形的四个顶点，故A错误； 对于B，当时，满足，但不成立，故B错误； 对于C，当时，满足，但不一定成立，故C错误； 对于D，由非零向量平行的定义可知，D选项正确. 故选：D. 二、填空题 4．如图所示，在菱形中，，则下列说法中正确的是 （填序号）． ①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身） ②图中所标出的向量中与的模相等的向量有5个（不含本身） ③的长度恰为长度的倍 ④与不共线 【答案】①②③ 【分析】根据向量相等、共线以及向量的模的定义进行分析求解. 【详解】在菱形中，，且方向相同，，且其他向量与向量不平行，故①正确； 又，是正三角形，，故②正确； 由平面几何知，故③正确； 因为，所以与共线，故④不正确． 故答案为：①②③. 5．有下列说法：①向量和向量长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量是有向线段；④向量大于向量；⑤若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.其中，正确的说法是 （只填序号）. 【答案】① 【分析】由向量的要素、相反向量、平行（共线）向量的定义逐项判断即可得解. 【详解】由相反向量的定义可知，向量和向量长度相等，故①正确； 平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误； 向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误； 向量不能比较大小，故④错误； 共线向量只要求方向相同或相反即可，并不能说明四点共线，故⑤错误； 共线的向量，若起点不同，则终点可以相同，也可以不同，故⑥错误. 故答案为：①. 三、解答题 6．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量. （2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解. 【详解】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 7．如图所示，在等腰中，，，其顶点能构成多少个向量？试写出这些向量并求出它们的模． 【答案】6个，答案见解析 【分析】根据向量及向量的模的定义即可求解. 【详解】由题意得，．该等腰三角形的顶点能构成6个向量，分别为、、、、、，它们的模分别是、、、、、． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高教版《数学 拓展模块上册》 2.1 向量的概念 一、单选题 1．有下列物理量：①质量②温度③角度④弹力⑤风速．其中可以看成是向量的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 3．有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．在平行四边形中，相等的向量有 组． 5．如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形. （1）图中所标出的向量（不含）与共线的有 ；（2）图中所标出的向量（不含）与相等的有 ；（3）图中所标出的向量（不含）与模相等的有 . 6．如图所示，已知，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有 . 三、简答题 7．向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗？ 四、解答题 8．已知分别为各边的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量相等的向量. 一、单选题 1．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．向量就是直线平行于直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量 3．下列命题正确的是（   ） A．向量与是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行 二、填空题 4．有下列说法： ①若，则一定不与共线； ②若，则； ③共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法有 ．（填序号） 5．点在线段上，且，则 ， . 6． 三点共线 （答案不唯一）. 三、解答题 7．一辆消防车从A地到地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到达地，然后从地沿北偏东方向行驶6km到达地，从地又向南偏西行驶2km才到达地． (1)在如图所示的坐标系中画出； (2)求地相对于地的位移． 8．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 2．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列说法正确的是（    ） A．若与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．若向量，则 C．若，则 D．非零向量平行时，向量所在直线平行或重合 二、填空题 4．如图所示，在菱形中，，则下列说法中正确的是 （填序号）． ①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身） ②图中所标出的向量中与的模相等的向量有5个（不含本身） ③的长度恰为长度的倍 ④与不共线 5．有下列说法：①向量和向量长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量是有向线段；④向量大于向量；⑤若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.其中，正确的说法是 （只填序号）. 三、解答题 6．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 7．如图所示，在等腰中，，，其顶点能构成多少个向量？试写出这些向量并求出它们的模． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$