1.2充要条件（课件）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

1.2 充要条件 1 学习目标 1．能根据命题及其逆命题的真假判断命题中所给条件与结论之间的逻辑关系； 2．知道判断 p 是 q 的什么条件，既要通过命题的真假判断 p 是不是 q 的充分条件，还要通过逆命题的真假判断 p 是不是 q 的必要条件，养成严谨的数学思维习惯； 3．能利用充要条件解决一些生活和生产实践中的简单实际问题，培养和提升逻辑推理等核心素养． 情境导入 周末，乐乐和爸爸在公园晨练，遇到他的同事，爸爸向同事介绍：“这是我的女儿”，那么，乐乐还需要介绍：“这是我的爸爸”吗？为什么？ 爸爸介绍“这是我女儿”（A），可推出“乐乐是爸爸的孩子”，从乐乐的视角，“这是我爸爸”（B）.所以爸爸说A，同事能由A推出B（父女关系 ），所以无需重复介绍 . 如图所示电路中，“开关A闭合”与“灯B亮”还有什么关系呢？ 布置作业 命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”是真命题 逆命题“如果灯B亮，那么开关A闭合”也是真命题 所以“开关A闭合”既是“灯B亮”的充分条件，也是“灯B亮”的必要条件． 情境导入 一般地，若命题“如果p, 那么q”是真命题， 其逆命题“如果q，那么p”也是真命题， 即p⇒q且p⇐q，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，也称p与q等价，记为p⇔q ． 探索新知 “情境与问题”中“开关A闭合”是“灯B亮”的充要条件． 探索新知 “这是我女儿（A）”是“这是我爸爸（B）”的充要条件. 探索新知 想一想： 我们学过的定理中，有没有定理和逆定理都是真命题的？ 设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c. 勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2. 在勾股定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的__________条件; “a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的__________条件. 充分 必要 探索新知 我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？ 设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c. 勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形. 在勾股定理的逆定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的__________条件; “a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的__________条件. 必要 充分 探索新知 勾股定理及其逆定理有何关系？ 勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形. “若p，则q” “若q，则p” 互为逆命题. 1.将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 2. 原命题与逆命题都是真命题. 探索新知 经过刚才的探索，你得到什么结论？ “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的充要条件. 口诀： 前推后，充分； 后推前，必要； 前后互推，充要. 例1 判断下列命题中的条件p是否为结论q的充要条件． （1）如果x=2，那么x²=4； （2）如果a>b，那么2a>2b ． 解 （1）“如果 x=2，那么 x²=4”是真命题，其逆命题“如果 x²=4，那么 x=2”是假命题，因此“x=2”不是“x²=4”的充要条件； （2）因为“如果a>b，那么2a>2b ” 是真命题，其逆命题“如果2a>2b ，那么a>b”也是真命题，所以“a>b”是“2a>2b ”的充要条件． 典型例题 例2 下列命题中的条件是结论的什么条件？ （1）如果x²-3x+2=0，那么x=1； 解：（1）命题“如果x²-3x+2=0，那么x=1”是假命题，其逆命题“如果 x=1，那么x²-3x+2=0”是真命题，所以“x²-3x+2=0 ”是“x=1”的必要条件，但不是充分条件（简称“必要不充分件”）； 典型例题 例2 下列命题中的条件是结论的什么条件？ （2） 如果x是有理数，那么x是实数； 解：（2）命题“如果x是有理数，那么x是实数”是真命题，其逆命题“如果 x是实数，那么x是有理数”是假命题，因此“x是有理数”是“x是实数”的充分条件，但不是必要条件（简称“充分不必要条件”）； 典型例题 例2 下列命题中的条件是结论的什么条件？ （3） 如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切； 解：（3）“如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切”是真命题，其逆命题“如果直线与圆相切，那么圆心到直线的距离等于圆的半径”也是真命题，因此“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件； 典型例题 例2 下列命题中的条件是结论的什么条件？ （4） 如果 α＞β，那么sinα＞sinβ ． 解：（4）“如果 α＞β，那么sinα＞sinβ ”是假命题，其逆命题“如果sinα＞sinβ ，那么α＞β”也是假命题，所以“α＞β”既不是“sinα＞sinβ ”的充分条件，也不是“sinα＞sinβ ”的必要条件（简称“既不充分也不必要条件”）． 典型例题 想一想：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 定义：“四边形的两组对边分别平行” ①“四边形的两组对角分别相等” ③“四边形的一组对边平行且相等” ②“四边形的两组对边分别相等” ④“四边形的对角线互相平分” 根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义 四边形是平行四边形 新知应用 16 想一想：写出“两个三角形全等”的几个充要条件. ①“两个三角形的三边相等” ③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等” ②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等” ④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等” 两个三角形全等 新知应用 17 ①“两个三角形的三边成比例” ③“两个三角形的其中两角相等” ②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等” 两个三角形相似 想一想：写出“两个三角形相似”的几个充要条件. 新知应用 1.判断下列各题中的p是否为q的充要条件． （1）p：函数f(x)=(a-1)x+1是R上的增函数，q：a>1； （2）p：三棱锥P-ABC是正三棱锥，q：三棱锥P-ABC 的底面是正三角形； （3） p：sinA= ，q： cosA= （4） p：x>3， ，q： x>2 ． 巩固练习 是 不是 不是 不是 2.写出下列各题中条件与结论之间的逻辑关系． （1）“x²=y²” 是“x=y” 的 ； （2）“a∈N” 是“a∈Z” 的 ； （3）“0<a<1” 是“函数y=logax在(0,+∞)上单调递减的 ． 巩固练习 必要不充分 充分不必要 充要条件 3.设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ） ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 【答案】 4.使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） . .或 . .或 【答案】 巩固练习 5.已知 (1)当为何值时，是的充要条件？ 解：(1)∵是的充要条件， ∴，此时 ∴当时，是的充要条件. 巩固练习 5.已知 (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ 解：(2)∵是的充分不必要条件， ∴， ∴. ∴当时， ∴是的充分不必要条件. • • • • • 巩固练习 5.已知 (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(3)∵是的必要不充分条件， ∴， ∴. ∴当时，是的必要不充分条件. • • • • • 巩固练习 5.已知 (1)当为何值时，是的充分不必要条件？ 解：(1)若是的充分不必要条件， 即但，亦即是的必要不充分条件， ∴，∴. ∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件. • • • • • 巩固练习 5.已知 (2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(2)若是的必要不充分条件， 即但，亦即是的充分不必要条件， ∴， ∴.∴当时， ∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件. • • • • • 归纳汇总 作业布置 1.完成1.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ $$