1.1 充分条件和必要条件（课件）-高教版《数学 拓展模块上册》（2023修订版）《上好课》

1.1 充分条件和必要条件 1 学习目标 1．知道命题、命题的条件和结论、真命题和假命题、原命题和逆命题等概念； 2．能将给定命题写成“如果p，那么q”  的形式，并正确判断其真假； 3．能说出一个命题的逆命题，并判断其真假； 4．能根据命题的真假判断命题的条件是不是结论的充分条件，能 根据逆命题的真假判断原命题的条件是不是结论的必要条件． 复习导入 什么是命题？ 复习导入 关于命题的说法与表示。 1． 可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题． 2． 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题． 3． 命题通常是“若，则”形式，是命题的条件，是命题的结论． 4． 如果“若，则”是真命题，就说由推出，记作． 复习导入 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等； （3）平面上两条直线被第三条直线所截，若两直线平行，则同位角相等。 真命题 假命题 真命题 节约资源是我国的一项基本国策，照明用电同我们每个人息息相关，每个人都应该养成随手关灯、节约用电的好习惯． 如图所示为最简的照明实验电路，电路中各元器件状态正常．当开关A闭合时，灯B是否一定会亮呢？ 探索新知 当开关A闭合时，灯B会亮，因此“如果开关A闭合，那么灯B亮”就是可以判断真假的陈述句，且这是一个真命题, “开关A闭合”是条件，“灯B亮”是结论． 探索新知 一般地，若命题“如果p，那么q ”是真命题，即由p可以推出q，则称p是q的充分条件，记作p⇒q． 若命题“如果p，那么q”是假命题，即由p不能推出q，则称p不是q的充分条件，记作p⇏q ． 探索新知 p：开关A闭合； q：灯B亮． 因为“如果p那么q”是真命题，所以“开关A闭合”是“灯B亮”的充分条件． 探索新知 例1 指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为q的充分条件． （1）如果x是整数，那么x是有理数； （2）如果a=0，那么ab=0； （3）第一象限角都是锐角． 解 （1）条件p：x是整数；结论q：是有理数．因为当x是整数时，x一定是有理数，所以此命题是真命题，p是q的充分条件； 典型例题 例1 指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为q的充分条件． （1）如果x是整数，那么x是有理数； （2）如果a=0，那么ab=0； （3）第一象限角都是锐角． 解 （2）条件p：a=0 ；结论q：ab=0 ．因为当a=0 时，一定有ab=0，所以此命题是真命题，p是q的充分条件； 典型例题 例1 指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为q的充分条件． （1）如果x是整数，那么x是有理数； （2）如果a=0，那么ab=0； （3）第一象限角都是锐角． 解 （3）条件p：一个角是第一象限角；结论q：这个角是锐角 ．因为第一象限角构成的集合为{α|2kπ< α < +2kπ，k∈Z}，其中的角不一定是锐角，所以此命题是假命题， p不是q的充分条件． 典型例题 如果“灯B亮”，那么是否一定需要“开关A闭合”呢？ 探索新知 将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题． 命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”的逆命题为“如果灯B亮，那么开关A闭合”． 探索新知 一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真命题，则称p是q的必要条件，记作p⇐q． 若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件，记作p⇍q ． 探索新知 命题“如果灯B亮，那么开关A闭合”是真命题，所以“开关A闭合”是“灯B亮”的必要条件，即如果“灯B亮”，一定需要“开关A闭合”． 探索新知 例2 判断下列命题中的条件p是否为结论q的必要条件． （1）如果x+y为偶数，那么x、y 都是偶数； （2）如果α= ，那么sinα= ； （3）如果a=b，那么|a| = |b|． 解：（1）因为“如果x+y为偶数，那么x、y 都是偶数”的逆命题“如果x、y 都是偶数，那么x+y为偶数”是真命题，所以“x+y为偶数”是“x、y 都是偶数”的必要条件； 典型例题 例2 判断下列命题中的条件p是否为结论q的必要条件． （1）如果x+y为偶数，那么x、y 都是偶数； （2）如果α= ，那么sinα= ； （3）如果a=b，那么|a| = |b|． 解：（2）因为“如果α= ，那么sinα= ”的逆命题“如果sinα= ，那么α= ”是假命题，所以“α= ”不是“sinα= ”的必要条件； 典型例题 例2 判断下列命题中的条件p是否为结论q的必要条件． （1）如果x+y为偶数，那么x、y 都是偶数； （2）如果α= ，那么sinα= ； （3）如果a=b，那么|a| = |b|． 解：（3）因为“如果a=b，那么|a| = |b|”的逆命题“如果|a|=|b| ，那么a=b”是假命题，所以“a=b”不是“|a|=|b|”的必要条件． 典型例题 笔记 p⇒q，称p是q的充分条件． p⇐q，称p是q的必要条件． 前推后 充分 后推前 必要 １．指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为 q的充分条件． （1）如果x>2，那么|x|>2； 条件p：x＞2，结论 q：│x │ >2，p 是 q 的充分条件. （2）如果0，那么α是第一象限角； 条件p如果0，结论 q：α 是第一象限角，p 不是 q 的充分条件. 巩固练习 １．指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为 q的充分条件． （3）如果指数函数y=ax中的底数a>1，那么这个指数函数在R上是增函数； 条件p：指数函数y ＝ax 的底数 a＞1，结论 q：这个指数函数在 R 上是 增函数，p 是 q 的充分条件. （4）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等． 条件 p：两个三角形全等，结论 q：这两个三角形的面积相等，p 是 q 的充分条件. 巩固练习 2．指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为 q的必要条件． （1）如果a+2>b+2，那么a>b ； 条件p：a+2>b+1，结论 q：a>b，p 是 q 的必要条件. （2）如果一次函数f(x)=kx+b是R上的增函数，那么k>0； 条件p：一次函数f(x)=kx+b 是 R 上的单调递增函数，结论 q：k>0，p 是 q 的必要条件. 巩固练习 2．指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为 q的必要条件． （3）如果α，cosα= ； 条件p：α=60 °, 结论 q：cosα= p不是q的必要条件. （4）如果直线y=kx+b经过第二、三、四象限，那么k<0． 条件p：直线 y ＝kx＋b 的图像经过第二、三、四象限，结论 q：k<0，p不是q 的必要条件. 巩固练习 某大学2026年自主招生简章中规定，凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竟赛一等奖（含）以上者（简记为“满足竞赛条件”，下同），都可以报名参加该校的自主招生考试．根据这一信息，回答下列问题： （2）已知乙同学已经成功申请到了参加该大学2026年自主招生考试的资格，那么乙同学一定满足竞赛条件吗？ （1）已知甲同学满足竞赛条件，那么甲能申请参加该大学2026年的自主招生考试吗？ (1)能 (2)不一定 因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学2026年自主招生考试的充分条件，而不是必要条件，但是充分条件可以不止一个． 生活中还有很多类似的情况．请自行找出更多的例子吧！ 归纳汇总 作业布置 1.完成1.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ Lavf60.4.100 $$