第一章集合 1.2集合之间的关系课件-2026届年甘肃省职教高考数学一轮复习

1．2　集合之间的关系 第1章　集　　合 第1页，共49页 1．子集、真子集、集合相等的概念 (1)对于两个集合A与B，如果集合A中的______________都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，这时集合A叫作集合B的________，记作A⊆B(或B⊇A). 任何一个元素 子集 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 (2)如果________且________，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A). (3)如果________且________，我们就说集合A与B________，记作A＝B. A⊆B A≠B A⊆B B⊆A 相等 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 2．子集的性质 (1)________是任何集合的子集，即∅⊆A. (2)___________都是它本身的子集，即A⊆A. (3)子集、真子集都有传递性，即若A⊆B，B⊆C，则________. (4)若非空集合A有n个元素，则集合A的子集个数为________. 空集 任何集合 A⊆C 2n 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 3．真子集的性质 (1)空集是任何非空集合的真子集． (2)真子集具有传递性(若A⫋B，B⫋C，则A⫋C). (3)若非空集合A有n个元素，则集合A的真子集个数为________，且有________个非空真子集． 2n－1 2n－2 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 【注意】　(1)子集和真子集的区别： 子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等．也就是说，若A⊆B，则A⊆B或者A＝B.真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等．也就是说，若A⫋B，则A⊆B且A≠B. (2)集合的包含关系和实数的大小关系有相似之处，符号⊆和≤有相似之处，⫋和<有相似之处，开口都指向“较大的一边”. 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 4．子集、真子集关系图 名称 表示符号 意义 性质 示意图 子集 A⊆B (或B⊇A) 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素 (1)A⊆A； (2)∅⊆A； (3)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； (4)A⊆B且B⊆A，则A＝B 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 名称 表示符号 意义 性质 示意图 真子集 A⫋B (或B⫌A) A⊆B且A≠B，(B中至少有一个元素不属于A) (1)∅⫋A(A为非空集合)； (2)若A⫋B且B⫋C，则A⫋C 集合相等 A＝B A⊆B且B⊆A，则A＝B A⊆B且B⊆A 续表 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 知识要点 典例解析 同步精练 知识要点 【例1】　判断下列关系是否正确： (1){a}⊆{a}； (2){1，2，3}⊆{3，2，1}； (3)∅⫋{0}； (4)0∈{0}； (5)∅∈{0}； (6)∅＝{0}； (7)∅⫋{0，1，2}； (8){1}⫋{x|x≤5}． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【解】　(1)(2)(3)(4)(7)(8)正确，(5)(6)错误． 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【点拨】　(1)任何一个集合都是它本身的子集，因此，{a} ⊆{a}正确；(2){1，2，3}＝{3，2，1}，故{1，2，3}⊆{3，2，1}正确；(3)空集是任何非空集合的真子集，∅⫋{0}正确；(4){0}中只有一个元素0，0∈{0}正确；(5)∅与{0}是两个集合，不能用“∈”连接；(6)∅中没有任何元素，而{0}中有一个元素，二者不相等；(7)空集是任何非空集合的真子集，∅⫋{0，1，2}正确；(8)因为1<5，所以1∈{x|x≤5}，所以{1}⫋{x|x≤5}正确． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】　用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空： (1){5，6，7，8}________{6，7}； ⫌ 【提示】 (1)集合{6，7}的元素都是集合{5，6，7，8}的元素，并且集合{5，6，7，8}的元素5和8不是集合{6，7}的元素，因此{5，6，7，8}⫌{6，7}； 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】　用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空： (2)n________{n}； ∈ 【提示】 (2)n是元素，{n}是由元素n组成的集合，因此n∈{n}； 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】　用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空： (3)N________Q； ⫋ 【提示】 (3)自然数都是有理数，但是无限循环小数不是自然数，因此N⫋Q； 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】　用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空： (4)0________∅； ∉ 【提示】 (4)空集是不含任何元素的集合，因此0不属于∅； 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练1】　用符号“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“＝”填空： (5){2}________{x|x－2＝0}． ＝ 【提示】 (5)解方程x－2＝0得x＝2，解集用列举法表示为{2}，因此{2}＝{x|x－2＝0}． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例2】　已知{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d，e}，求满足条件的集合A的个数． 【点拨】　若集合P中有m个元素，集合Q中有n个元素，且P⊆Q，则满足P⊆M⫋Q的集合M共有2n－m－1个． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　∵{a，b}⊆A， ∴A中必有元素a，b． 又∵A⫋{a，b，c，d，e}， ∴A是{a，b，c，d，e}的真子集， ∴集合A可能为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，共7个． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练2】　已知{3，4，5}⊆M⫋{1，2，3，4，5}，求满足条件的集合M的个数，并列出集合M的所有可能情况． 解：∵{3，4，5}⊆M，∴M中必有元素3，4，5. 又∵M⫋{1，2，3，4，5}， ∴M是{1，2，3，4，5}的真子集． ∴集合M可能为{3，4，5}，{1，3，4，5}，{2，3，4，5}，共3个． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例3】　设集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a. 【点拨】　因为A中含有两个元素，而B的元素最多一个，根据B⊆A这一条件，可知B是A的真子集，所以B有三种可能，在解题过程中很容易丢掉B＝∅的情况． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【解】　若B⊆A，即B是A的子集， 则表明集合B的元素都是集合A的元素． ∵A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，B⊆A， ∴方程ax－1＝0无解或其解为－1或3. ∴a＝0或－a－1＝0或3a－1＝0， 即a＝0或a＝－1或a＝ 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练3】　设集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⫋A，求实数a. 解：∵A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}， ∴集合A中只有1一个元素． 又B⫋A， ∴B中不能含有任何元素，即方程ax－1＝0无解． ∴a＝0. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例4】　已知集合A＝{－2，2 026，x2－1}，B＝{0，2 026，x2＋3x}，且A＝B，则x的值为(　　) A．1或－1 B．0 C．－2 D．－1 【点拨】　直接应用集合相等则集合中的元素完全相同来解决问题． ∵A＝B，即集合A和集合B中的元素完全相同， ∴x2－1＝0且x2＋3x＝－2，解得x＝－1. D 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练4】　已知集合A＝{3，2 026，x2－2x＋1}，B＝{0，2 026，x2＋2x}，且A＝B，则x的值为(　　) A．1或－3 B．0 C．－2 D．1 【提示】 ∵A＝B，即集合A和集合B中的元素完全相同，∴x2－2x＋1＝0，且x2＋2x＝3，解得x＝1. D 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例5】　若集合A＝{x|x≤1}，则(　　) A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}⊇A 【点拨】　0是元素，A是集合，所以应该是{0}⊆A. B 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练5】　若集合B＝{x||x|＝－2}，则(　　) A．{2}⊆B B．{0}⊆B C．∅＝B D．0⊆B 【提示】 |x|＝－2的解集是∅，0是元素，B是集合，所以应该是∅＝B. C 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例6】　(2024年甘肃省分类考试)已知集合A＝{X，Y，Z}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【点拨】　若一个非空集合的元素有n个，则子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.故选B. B 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练6】　(2023年甘肃省分类考试)已知集合A＝{a，b，c}，则集合A的真子集的个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【提示】 A＝{a，b，c}有a，b，c三个元素，真子集的个数为23－1＝7. C 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【例7】　已知集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|－1<x<6}，则A∩B＝(　　) A．{x|－4<x<6} B．{x|－1<x<4} C．{x|－1<x<6} D．{x|－1≤x≤4} 【点拨】　此题考查含绝对值不等式的解法和求交集的运算．由于集合A＝{x||x|<4}＝{x|－4<x<4}，所以A∩B＝{－1 <x<4}． B 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 【变式训练7】　已知集合A＝{x||x|≤3}，B＝{x|－1<x<8}，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<8} B．{x|－1<x≤3} C．{x|－3<x<8} D．{x|－1≤x≤3} 【提示】 由于集合A＝{x||x|≤3}＝{x|－3≤x≤3}， B＝{x|－1<x<8}，所以A∩B＝{－1<x≤3}． B 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 例6 变6 例7 变7 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 典例解析 知识要点 典例解析 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 1．下列说法中，正确的是(　　) ①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{1，2，0}； ③∅⊆{0}； ④0∉∅； ⑤{0}∩∅＝∅. A．①②④⑤ B．②③ C．①③④⑤ D．②③④⑤ D 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 2．设集合A＝{(x，y)|xy<0}，B＝{(x，y)|x>0且y<0}，则正确的是(　　) A．A∪B＝B B．A∩B＝∅ C．A⊇B D．A⊆B C 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 3．已知集合M⊆{2，3，5}，则这样的集合M共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 4．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}满足A⫋B，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2} A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 5．若集合Y＝{x|x2－9＝0}，则集合Y的真子集个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 6．已知集合P＝{x|x≤4}，则(　　) A．π∉P B．π⫋P C．π∈P D．{π}⫌P C 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 7．满足{2}⊆B⊆{1，2，3，5}的集合B的个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 8．若A⊆B，B⊆C，则必有(　　) A．A⊆C B．C⊆A C．∅∈A D．A＝C A 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 二、填空题 9．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A， 则实数m的值是___________． 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 10．若集合A⫋B，A⫋C，B＝{0，1，2，3}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A是_______________________． ∅或{0}或{2}或{0，2} 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 11．设集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＞m}，且A⫋B，则实数m的取值范围是___________． {m|m≤－1} 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 12．已知A＝{x|x∈N且x<4}，则A的子集个数是________． 16 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 13．{正方形}________{菱形}． ⫋ 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 14．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0＜x＜4}，则集合M与N的关系是________． M ⫋N 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 三、解答题 15．设集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|x＋3≥2}．试判断集合A与B的关系． 解：由题意，得集合A＝{－1，3}，集合B＝{x|x≥－1}， 故A⫋B. 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 16．已知集合P＝{x|x2＋2x－8＝0}，Q＝{x|mx－1＝0}．若Q⫋P，求实数m的值． 解：由题意，得集合P＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，Q⫋P， ①若Q＝∅，则m＝0； 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 ②若Q≠∅，则m≠0，Q＝{x|mx－1＝0}＝ ， 则 ＝－4或 ＝2，解得m＝－ 或m＝ 综上所述，m＝0或m＝－ 或m＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 第页，共49页 1．2　集合之间的关系 同步精练 典例解析 同步精练 知识要点 谢谢观看 $$