1.1.1 空间向量及其线性运算 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§1.1.1 空间向量及其线性运算 考法1：空间向量的概念理解 【例1.1.】 给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【例1.2.】 （多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【例1.3.】 （多选）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考法2：空间向量的线性运算 【例2.1.】 在空间四边形中，点在棱上，且，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 在长方体中，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 （多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【例2.5.】 如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则 （用来表示） 考法3： 共线向量定理及其推论的应用 【例3.1.】 如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【例3.2.】 设是不共线的两个向量． (1)若，证明：A，B，C三点是否共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【例3.3.】 如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 考法4：共面向量定理及其推论的应用 【例4.1.】 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（   ） A．2 B．0 C． D．1 【例4.2.】 在下列条件中，点与点，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 在四面体中，点满足，若四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 （多选）以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 下列条件中，一定使空间四点，，，共面的是（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 考法5：空间向量的线性运算在立体几何中的应用 【例5.1.】 如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：． 【例5.2.】 如图，在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：平面BCD. 【例5.3.】 如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA､PB､PD.点E､F､G､H分别为PAB､PBC､PCD､PDA的重心.，求证： （1）E､F､G､H四点共面； （2）平面EFGH平面ABCD. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.1.1 空间向量及其线性运算 考法1：空间向量的概念理解 【例1.1.】 给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 【例1.2.】 （多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 【例1.3.】 （多选）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果. 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD.    【例1.4.】 给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、零向量与单位向量、空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 考法2：空间向量的线性运算 【例2.1.】 在空间四边形中，点在棱上，且，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】作出图象，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】解：连接，   . 故选：B. 【例2.2.】 在长方体中，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】利用空间向量的加法法则进行求解. 【详解】因为为线段的中点，所以, 所以， 因为长方体中，， 所以，即. 故选：C. 【例2.3.】 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】先表示出，根据可求出结果. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C. 【例2.4.】 （多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】由空间向量的加法运算法则对选项一一判断即可得出答案. 【详解】易知四边形EFGH为平行四边形，所以 ，故A不成立； ，故B成立； ，故C成立； ，故D成立. 故选：BCD.      【例2.5.】 如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则 （用来表示） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】由及及，即可化简求解. 【详解】由， 故答案为：. 考法3： 共线向量定理及其推论的应用 【例3.1.】 如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间共线向量定理的推论及应用、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； （2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； 【详解】（1）由题意，，， 故 , , 故，由于有公共点A， 故A、、三点共线； （2）由题意，点是平行四边形的中心， 故 ， 故 ,因为有公共点D， 故、、三点共线． 【例3.2.】 设是不共线的两个向量． (1)若，证明：A，B，C三点是否共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证.. （2）利用共线向量定理列式计算即得. 【详解】（1）证明：由， 得， ， 因此向量与共线，且有公共点， 所以，B，C三点共线. （2）由与共线得存在实数，使得， 即，而向量与不共线，则，解得，， 所以实数k的值为. 【例3.3.】 如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 考法4：共面向量定理及其推论的应用 【例4.1.】 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（   ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量四点共面的性质有，即可求参. 【详解】由题意，四点共面，又， 所以，即. 故选：C 【例4.2.】 在下列条件中，点与点，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据共面可得出，据此可排除ABD，只有C满足. 【详解】若点与点，，共面，则共面， 从而存在实数使得， 即， ， ， 而AD选项都不满足，故AD错误； 对B，由，可得， 因为，所以B错误； 对C，可得， 化简可得，满足， 故选：C 【例4.3.】 在四面体中，点满足，若四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得. 【详解】因四点共面，且， 由空间向量基本定理，可得，解得. 故选：C. 【例4.4.】 （多选）以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对A：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点P、M、A、B共面，A正确； 对B：若，且，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B正确； 对C：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不一定共面，C错误； 对D：若，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确； 故选：ABD. 【例4.5.】 下列条件中，一定使空间四点，，，共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据四点共面的结论，即可判断. 【详解】对于A选项，，，所以点与，，三点不共面； 对于B选项，，，所以点与，，三点不共面； 对于C选项，，，所以点与，，三点不共面； 对于D选项，，，所以点与，，三点共面． 故选：D 【例4.6.】 已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由题设条件推得，再由四点共面可求得 【详解】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 考法5：空间向量的线性运算在立体几何中的应用 【例5.1.】 如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用、空间位置关系的向量证明 【分析】利用空间向量共线定理证明. 【详解】证明：． 因为，， 所以， ， ． 又因为P为中点， 所以， 从而与为共线向量． 因为直线MN与BP不重合， 所以． 【例5.2.】 如图，在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：平面BCD. 【答案】证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间位置关系的向量证明 【分析】根据给定条件，结合空间向量线性运算用表示向量，即可推理作答. 【详解】证明：在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，且点Q在线段AC上，AQ=3QC， 则 ， 而，因此平行于平面，而平面， 所以平面. 【例5.3.】 如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA､PB､PD.点E､F､G､H分别为PAB､PBC､PCD､PDA的重心.，求证： （1）E､F､G､H四点共面； （2）平面EFGH平面ABCD. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、判定空间向量共面、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可得，再由共面向量定理即可得证； （2）由空间向量的线性运算可得、，进而可得MQEG、MNEF，再由面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）∵E､F､G､H分别是所在三角形的重心. ∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R所得四边形为平行四边形， 且有，，，. ∵四边形MNQR为平行四边形， 则 . ∴由共面向量定理得E､F､G､H四点共面； （2）由（1）知，∴MQEG， 由平面ABCD，平面ABCD，从而EG平面ABCD， 又，∴MNEF， 由平面ABCD，平面ABCD，从而EF平面ABCD， 又∵EG∩EF=E，平面EFGH, ∴平面EFGH平面ABCD. 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