第二十一章 一元二次方程 单元复习练习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 单元复习练习 姓名： 班级： 一、适用人群 适用于正在学习该章节的九年级学生，可帮助巩固一元二次方程相关知识，提升解题能力。 二、内容构成 1.选择题：涵盖方程根的求解、有实数根时参数取值范围、增长率等多种知识点，考查基础知识理解与运用。 2.填空题：围绕配方、根与系数关系、判别式等核心内容出题，需准确填写相关数值。 3.解答题：包括解方程（不同类型方程用相应解法）、证明与求值（证明方程有实数根及根据条件求值）、实际问题应用（如面积、销售利润问题，需列方程求解）。 三、使用方法 1.自我检测：学完章节后独立完成练习，通过选择、填空题初步检测各知识点掌握情况，发现漏洞。 2.巩固提升：认真分析解答题思路与知识点，按要求解答，完成后对照答案解析核对，理解正确解法与自身错误，加深知识理解与掌握。 3.复习总结：单元复习时，回顾错题及重点题目，总结解题技巧与规律，强化对单元知识的整体把握。 一、选择题 1．方程 x（x+5）=0 的根是（　　） A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=﹣5 2．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 3．某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（　　） A． B． C． D． 4．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 5．淇淇初一时的体重是，到初三时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为（　　） A． B． C． D． 6．小颖在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（　　） A． B． C． D． 7．一元二次方程化成一般式后，其常数项为，则二次项、一次项分别是（　　） A．4， B．， C．，6 D．， 8．若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 9．若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D．5 二、填空题 11．若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为　 　． 12．设是方程的两个实数根，则的值为　 　． 13．已知方程的两根分别为和，则　 　． 14．已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则 ＋ ＝　 　. 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 16．一个矩形的两邻边长分别是方程的的两根，则矩形的面积等于　 　； 三、解答题 17．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．已知关于的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 19．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 20．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根。 21．如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 22．一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤． （1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：方程x(x+5)=0 可得x=0或x+5=0 解得：=0，或=-5. 故选：D. 【分析】基于"若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0"这一数学原理，把原方程拆分成两个简单的一元一次方程求解. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根 所以， 解得： 因为，即 故的取值范围是且， 故选：． 【分析】结合一元二次方程的定义(二次项系数非零)与根的判别式(时有实数根)，联立求解k的范围. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为为， 根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 故答案为：A． 【分析】设平均每次降价的百分率为为，根据“经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元”列出方程，再求解即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∵， 解得：． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝， ∴， ∴m＝3． 故答案为：A. 【分析】根据根与系数的关系结合得到，即可得出关于m的方程，解出后即可得出m的值，再由根的判别式Δ＞0，即可确定m的值． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：设她的体重平均每年的增长率为，则她初二时的体重是，初三时的体重是， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 她的体重平均每年的增长率为， 故答案为：B． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，根据题意准确找到等量关系是解题关键. 设她的体重平均每年的增长率为，则她初二时的体重是，初三时的体重是，根据“到初三时，体重增加到”可得到方程：，解得x的值即可得出答案． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：根据表格可知，当时，；当时， 所以当时，一个解的范围是 故方程的其中一个解的整数部分是 故选：． 【分析】利用函数值符号变化确定方程解的区间，通过表格中x=1和x=2时函数值的正负，判断方程解的范围，进而确定整数部分. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵一元二次方程化为一般形式， ∴二次项、一次项分别是． 故答案为：B． 【分析】首先把原方程整理成一般形式，进一步根据方程 二次项、一次项 的定义，即可得出答案。 8．【答案】D 【解析】解：∵一元二次方程的根为，是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故答案为：D． 【分析】根据求根公式可得出a，b，c的值，即可求出对应的一元二次方程。 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得， ∴选项D中的5不符合题意， 故答案为：D． 【分析】 根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可解答． 10．【答案】D 【解析】【解答】设有x个球队参加比赛， 依题意得：， 即： 故答案为：D． 【分析】设有x个球队参加比赛，那么每个球队均需要打（x−1）场球，故可得出x（x-1）场球，但是这样每两个球队互打的那一场就都算了两次，故而得出总场数为，即可得出方程，即. 11．【答案】10 【解析】【解答】解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 【分析】根据配方法原方程可整理为：．即可得出n的值为：10. 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题关键. 一元二次方程根与系数的关系：对于一元二次方程的两个根为，，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数据可得：，，代入数据进行计算即可得出答案． 13．【答案】 【解析】【解答】解： 根据一元二次方程的两根分别为和， 可知a=1，b=-2，c=-4， 则， 故答案为：-4. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知：，确定a，b，c，代入即可得. 14．【答案】-2 【解析】【解答】解：根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝−1， 所以 ＋ ＝ ＝-2. 故答案为：-2. 【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝-1，将待求式变形为，据此计算. 15．【答案】且k≠0 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且，即， 解得且． 故答案为：且k≠0． 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可。 16．【答案】6 【解析】【解答】解：∵， ∴或， 解得：， ∴矩形相邻的两边分别为：2和3， ∴矩形的面积为：； 故答案为：6． 【分析】 根据一元二次方程的解法：由方程得到两个一次方程解得，结合矩形面积公式计算，即可解答． 17．【答案】（1）解：； ， ， （2）解：； ， ， ， （3）解：； ， 原方程无实数根 （4）解：， ， ， ， 【解析】【分析】针对不同类型的一元二次方程，选择合适的方法求解即可， （1）选择因式分解法，提出公因式，然后求解即可； （2）移项后提出公因式，选择因式分解法求解； （3）首先根据根的判别式小于零，确定一元二次方程的根的个数； （4）利用公式法，确定a，b，c，然后利用求根式求解即可. 18．【答案】（1）证明： ， 无论取什么实数值，， ， 无论取什么实数值，方程总有实数根； （2）解：， ，， ，恰好是这个方程的两个实数根，设，， 当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长； 当、为腰时，，此时，故此种情况不存在． 综上所述，的周长为． 【解析】【分析】（1）先计算△，化简得到，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论； （2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论当、为腰和当、为腰时列式计算，依据三角形三边关系进行取舍，最后计算周长. 19．【答案】（1）解：由题意有， 整理得， 解得， 实数的取值范围是 （2）解：由两根关系，得，， ， ， ， 解得或 【解析】【分析】(1) 由题意知，方程有实数根，所以根的判别式，并据此得出实数m的取值范围； (2)利用根与系数关系建立方程，通过代入和化简得到关于m的一元二次方程，然后求解该方程并根据题目条件选择合适的解. 20．【答案】证明：∵=（k+3)2-4×1×（2k+2)=k2+6k+9-8k-8=k2-2k+1=(k-1)2≥0， ∴ 无论取何值，方程总有实数根。 【解析】【分析】首先求出 关于的一元二次方程 的根的判别式为（k-1)2，根据偶次方根的非负性，可得出≥0，进而可得出结论 无论取何值，方程总有实数根。 21．【答案】（1）设的长为米，则，根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵墙的最大可用长度为米， ∴， ∴， ∴，即的长为米； （2）不能围成面积为平方米的花圃． 理由如下： 根据题意，得，整理，得． ∵， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 【解析】【分析】（1）27米的篱笆围成了3条宽和一条长，设AD=X，根据图形有三条宽，一条长，所以长为27-3x，根据面积=长×宽=54，列方程即可求解； （2）根据面积长×宽=90，列方程，通过确定方程无根，可得不能围成面积为 90平方米的花圃． 22．【答案】（1）解：∵以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤， ∴当将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元时，每天的销售量为：（100+200x）斤． （2）解：由题意列方程得： ， 解得：，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：水果店需将每斤的售价降低1元． 【解析】【分析】（1）根据每天的销售量=降价前的销售量+降价后增加的量即可用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）根据每天销售“官地洼”甜瓜获得的利润＝每斤的利润×每天的销售量可列关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要每天至少售出280斤即可求解． （1）∵以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤， ∴当将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元时，每天的销售量是斤． （2）依题意得： ， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：水果店需将每斤的售价降低1元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$