素养提升小题训练16：函数最值与范围问题-2026届高三数学一轮复习

素养提升小题训练16：函数最值与范围问题 （高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一.单选题 1.，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】当时，，对其求导可得. 因为恒成立，所以在上单调递增. 此时. ，，则，故在上函数值的取值范围为. 当时，，的值域是，所以的值域是. 因为既不存在最大值也不存在最小值，所以且，即且. 选项A：由且，不能推出，例如，时，，所以A选项错误. 选项B：前面已推出，所以B选项正确. 选项C：由且，不能得出，例如，时，，所以C选项错误 选项D：由且不能得出，例如，时，，所以D选项错误. 故选：B. 2. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，， ∴，令， ∴在上单调递增，∴，即，∴， 令，则，当时，，单调递减； 当时，，单调递增；∴， ∴的最小值为，故选：B. 3. 已知函数，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】法1：因为，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，， 当时，， 所以，， 因此当时，取得最小值. 法2：因为，所以在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 因此与函数符号相同， 原不等式等价于上恒成立， 因此，设点，则点直线上， 因此. 法3：因为，所以在上单调递增，零点为0， 又因为单调递增，零点为， 因此，当且仅当时取等号. 法4：设，则恒成立， 因为，所以为函数的极小值点，因此， 又，所以， 当时，， 由解法1知，当时，，即， 当时，，即，满足题意. 因此，下同解法1. 法5：设，则恒成立， 因为，所以为函数的极小值点， 因此，又，所以， 由解法1知在上单调递增，且，因此，下同解法1. 故选：D. 4. 已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由点不在函数的图象上，得，则， 设过点的直线与的图象相切于点，， 切线方程为，则， 整理得，令，依题意，函数只有一个零点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使仅有一个零点，当且仅当， 解得或，所以实数的取值范围为 故选：C 5. 已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为恒成立，所以和有两个相同正根.对于方程，两边同乘得. 由一元二次方程性质，有两个不同正根，则，且，. 由可得，可得. 根据对数运算法则，所以，即. 令，对求导，. 令，即，解得. 当时，，递增； 当时，，递减. 所以在处取最大值，. 综上， 最大值为. 故选：B. 6.如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1，高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设该几何体的内接圆柱的底面半径为，则其高为，该内接圆柱的体积为， 法一:因为， 令，解得，当时，； 当时，，所以当时体积有最大值．故选A． 法二:设,则则其高为，该内接圆柱的体积为当且仅当等号成立. 二、多选题 7. 已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. D. 【答案】AC 【解析】由题意知在上单调递增，又在上的值域为， 所以，所以，是方程的两个根， 设，则，是方程的两个根， 因为，所以，所以方程有2个不相等的正根，， 所以，解得，故A正确，B错误. 由基本不等式，可得， 所以，故C正确； ， 因为，所以，故D错误. 故选：AC. 8.已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 所以可化为， 即；令， 则有对于定义域内任意，都有， 所以在上单调递减，所以在上，； 因为，所以，即， 因为，所以，即； 令，，当时，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 可化为，，因为所以； 由，可知当时，，当时，， 根据在上的单调性以及的正负情况， 有：若，则在上恒成立，所以， 即在上恒成立；令，则， ，解得，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递增减， 所以时，取得最大值，，所以； 因为，，均满足题意，不合题意，所以ACD正确，B错误. 故选：ACD. 9. 已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】对于选项AB：因为，可知有2个不同实根， 则，且，即，故A正确，B错误； 对于选项C：可得，故C正确； 对于选项D：因为， 构建 若，即，即， 且，则， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：ACD. 三、填空题 10. 设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为_________. 【答案】 【解析】设函数在点处的切线为，函数在点处的切线为， 因为，则， 因为，所以，所以， 而，所以， 依题意可知，对，总，使得， 所以，所以且，解得 所以实数的最小值为故答案为： 11. 函数的最小值为_________． 【答案】2 【详解】令，则，令，解得， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 故，则. 因为，所以 当且仅当时等号成立，因此的最小值为2． 故答案为：. 12. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为_________. 【答案】 【解析】由已知，每个瓶子的利润为，，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以当时，函数取得最大值， 即当半径为时，利润最大； 故答案为：． 13. 已知函数，过点作与y轴平行的直线交函数的图象于点P，过点P作图象的切线交x轴于点B，则面积的最小值为__________. 【答案】 【解析】函的导数为， 由题意可令，解得，可得， 即有切线的斜率为，切线的方程为， 令，可得，即， 在直角三角形中，，， 则面积为，， 因为，所以函数为偶函数， 不妨取，则 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 即有处取得极小值，且为最小值， 所以面积的最小值为． 故答案为：． 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为______. 【答案】##0.5 【解析】当时，；当时，， 当时，；当时，； 若恒成立，则必须，即， 所以， 所以当，时，取到最小值. 故答案为： 试卷第8页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升小题训练16：函数最值与范围问题 （高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一.单选题 1.，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4. 已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6.如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1，高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7. 已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. D. 8.已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 9. 已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的取值范围为 三、填空题 10. 设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为_________. 11. 函数的最小值为_________． 12. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为_________. 13. 已知函数，过点作与y轴平行的直线交函数的图象于点P，过点P作图象的切线交x轴于点B，则面积的最小值为__________. 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为______. 试卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$