2.5.2 圆与圆的位置关系学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 一、学习目标 1.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系. 2.进一步体会用代数方法处理几何问题的思想方法. 二、重难点 重点：圆与圆的位置关系. 难点：圆的方程的应用. 三、自主预习 1.圆与圆的位置关系： （1）两圆相交，有 个公共点； （2）两圆相切，包括外切与 ，只有一个公共点； （3）两圆相离，包括 与 ，没有公共点. 2.两圆方程的公共解的个数判断它们之间的关系： （1）两圆 有两组公共解； （2）两圆相切有 组公共解； （3）两圆 没有公共解. 四、应用举例 例1 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系. 解法1：将圆与圆的方程联立， 得到方程组， ①-②得 由③得. 把上式代入①，并整理得.④ 方程④的根的判别式， 所以方程④有两个不相等的实数根. 把分别代入方程③得到. 因此圆与圆有两个公共点，这两个圆相交. 解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径. 把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径. 圆与圆的连心线的长为. 圆与圆的两半径之和，两半径长之差. 因为，即，所以圆与圆相交（如图），它们有两个公共点A，B. 例2 已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由，得，. 设点M的坐标为， 由，得， 化简得，即. 所以点M的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆. 因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，， 又，所以点M的轨迹与圆O相交. 五、课堂练习 （一）课本练习 1.已知圆，圆，判断圆与圆的位置关系. 2.已知圆，圆，证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程. （二）课本习题 1.求经过点以及圆与交点的圆的方程. 2.求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程. 3.求经过点，且与圆相切于点的圆的方程. 4.如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合.若A轮的直径为200 cm，B轮的直径为120 cm，C轮的直径为250 cm，且.试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm）. 六、课后练习 1.已知圆，圆，则圆，的位置关系为( ) A.内含 B.外切 C.相交 D.外离 2.圆与圆的公切线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知P是圆上一点，Q是圆上一点，则的最小值为( ) A.1 B. C.2 D. 4.已知圆，点，，在圆M上存在点P，使得，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.已知点P，Q分别为圆与圆上的任意一点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知圆，直线，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B.当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为( ) A. B. C. D. 7.已知圆，A，B为圆O上两个动点，且，M为弦AB的中点，，，当A，B在圆O上运动时，始终有为锐角，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.（多选）与圆的公切线的方程可能为( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知圆和圆，下列说法正确的是( ) A.两圆的公共弦所在直线的方程为 B.圆O上有2个点到直线的距离为 C.两圆有两条公切线 D.点E在圆O上，点F在圆M上，的最大值为 10.（多选）若点P在圆上，点Q在圆上，则下列说法正确的有( ) A.的最小值为0 B.的最大值为7 C.两个圆心所在直线的斜率为 D.两个圆的相交弦所在直线的方程为 11.已知圆与圆交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M的半径最小时圆M的方程为___________. 12.已知圆，圆.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得，则实数a的取值范围为__________. 13.圆的方程为，圆的圆心为点. （1）若圆与圆外切，求圆的方程； （2）若圆与圆交于A，B两点，且，求圆的方程. 14.如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线PQ，Q为切点，且. （1）求证：. （2）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试求出半径最小的圆的方程. 答案及解析 三、自主预习 1.两 内切 外离 内含 2.相交 一 相离 五、课堂练习 （一）课本练习 1.答案：外切 解析：圆，圆心坐标为，半径； 圆，即圆，圆心坐标为，半径 所以，， 所以两圆相外切. 2.答案： 解析：圆的标准方程为， 所以圆心为，半径； 圆的标准方程为， 所以圆心为，半径. 两圆圆心距，，， 所以，圆和圆相交. 将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为. （二）课本习题 1.答案： 解析：解法一：如答图，联立方程组 解此方程组，得或 两圆交点分别为或. 线段BM的中点坐标是， 直线BM的斜率. 线段BM的垂直平分线的方程是. 线段AB的垂直平分线的方程是(x轴). 因此，把代入，得. 圆心C的坐标是. 半径长. 以C为圆心的圆的方程为，即. 解法二：设经过圆与交点的圆的方程为.① 把点的坐标代入①，得. 解得. 把代入①，并化简得. 所以经过圆与交点的圆的方程为. 2.答案： 解析：解法一：如答图，设圆和圆相交于点A，B. 解方程组 得或 所以. 因此，弦AB的垂直平分线的方程是. 将与联立，解得 所求圆心C的坐标是. 点C与点A的距离. 所求圆的方程为， 即. 解法二：设经过圆和圆交点的圆的方程为， 即. 其圆心坐标是. 因为圆心在直线上， 所以. 解得. 所以所求圆的方程为， 即. 3.答案： 解析：如答图，把圆C的方程化成标准形式，得. 圆心C的坐标是，半径长是. 直线CN的方程为. MN的中点坐标是，斜率是. 线段MN的垂直平分线的方程是， 即. 联立与，解得. 所以所求圆的圆心F的坐标是. 因为， 所以经过点，且与圆相切于点的圆的方程是. 4.答案：见解析 解析：以A为原点，直线AB为x轴，建立如答图所示的直角坐标系. 由已知，得. 点C在以B为圆心，以圆C与圆B的半径和185为半径的圆上，方程为. 又点C在直线AC上，上式与联立，解得. 所以点C的坐标为(183.5，183.5). A，C两齿轮中心的距离. 六、课后练习 1.答案：C 解析：圆，化为，圆心为，半径为；圆，化为，圆心为，半径为.两圆心距离为，因为，所以圆与圆相交.故选C. 2.答案：B 解析：两圆的圆心分别为，，半径分别为，，圆心距， 所以，所以两圆相交，有2条公切线.故选B. 3.答案：B 解析：因为，，所以，且两圆的半径分别为，，，即两圆外离，所以的最小值为.故选B. 4.答案：C 解析：如图，构造圆，当圆O与圆M有公共点P时，，即圆O与圆M的关系可以为相切或相交，所以解得.故选C. 5.答案：B 解析：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则圆心距，所以两圆外离，所以.故选B. 6.答案：B 解析：圆的圆心为，半径，当点P与圆心的距离最小时，切线长PA，PB最小，此时四边形PAOB的面积最小，直线l，则直线PO的方程为.联立解得，，以线段OP为直径的圆的方程为，即.将该圆的方程与圆O的方程相减，得直线AB的方程为.故选B. 7.答案：A 解析：如图，连接OM，CD.则，所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上.设线段CD的中点为N，则，且.因为当A，B在圆O上运动时，始终有为锐角，所以以O为圆心，1为半径的圆与以N为圆心，2为半径的圆外离，故，解得或，即a的取值范围为.故选A. 8.答案：CD 解析：圆O的圆心为，半径为，圆M的圆心为，半径， 由题意得，圆O与圆M的半径之和为，半径之差为0，因为，所以圆O与圆M相交. 由题意得，因为圆O与圆M的半径相等，所以公切线的斜率为2. 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或.故选CD. 9.答案：BCD 解析：因为圆，所以圆心，半径为， 因为圆，可化为，所以圆心，半径为.对于A，两圆的方程作差得，即，所以两圆公共弦所在的直线方程为，故A错误； 对于B，圆心到直线的距离为，则， 所以圆O上有2个点到直线的距离为，故B正确； 对于C，因为，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故C正确； 对于D，，故D正确.故选BCD. 10.答案：BC 解析：根据题意，圆，其圆心，半径. 圆，即，其圆心，半径. 圆心距，两圆外离，则的最小值为，最大值为，故A错误，B正确. 对于C，已知圆心，圆心，则两个圆心所在直线的斜率，C正确. 对于D，因为两圆外离，所以不存在相交弦，D错误.故选BC. 11.答案： 解析：两圆公共弦AB所在的直线方程为，又A，B两点平分圆N的圆周，直线AB经过圆心，把点N的坐标代入直线方程可得. 又，. 圆M的半径， 当时，圆M半径最小，此时，，故所求圆M的方程为. 12.答案： 解析：由题意，得，，又，，所以四边形OAPB为正方形.所以，所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为.若圆M上存在点P，则圆与圆有公共点，所以，所以，所以. 13.答案：（1） （2）或 解析：（1）因为圆的方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为2. 又因为圆的圆心为点，所以圆心距为. 又圆与圆外切，所以所求圆的半径为， 所以圆的方程为. （2）设圆的方程为. 因为圆的方程为， 所以两圆的方程相减得两圆公共弦AB所在直线的方程，为. 圆心到直线AB的距离为，解得或. 故圆的方程为或. 14.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：连接OP. 为圆O的切线， . 在中，.又， ，即， 整理，得，. （2）由（1）知，则点P在直线上移动. 圆心O到直线的距离， 即. 若以点P为圆心作圆，使它与圆O有公共点， 则半径最小的圆与圆O相外切， 此时圆的半径，. 由得即取最小值时，， 所求圆的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$