第四章 三角函数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共8套。 本卷是第四章三角函数的单元测试卷，主要梳理和考查了角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、诱导公式、正（余）弦函数的图像和性质。 第四章 三角函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．等于（ ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（   ） A．“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点. B．函数y=cos x的图象与y=sin x的图象形状完全一样，而且位置也相同. C．函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同. D．函数y=cos x与y=cos(-x)的图象完全相同. 3．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对应的弧长为（ ） A． B． C． D． 5．的值为（　　） A． B． C． D． 6．若，则在第______________象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 7．已知，那么的值为（    ） A． B．2 C． D． 8．如图所示，一只蚂蚁从点出发，沿单位圆（半径为1）按顺时针方向爬行到达点Q，则点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若角终边上始终有一点，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知为第二象限的角，则的值为（ ） A． B． C． D． 11．设，则（    ） A． B． C． D． 12．函数，的图像与直线的交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．已知且，那么x的值是（    ） A． B． C．或 D．或 14．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 15．在中，为钝角，则点（ ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知，则 ． 17．已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为 ． 18．的值是 . 19．函数在上的最大值为 ． 20．若，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径． 22．（1）证明:. （2）已知 ，求的值. 23．已知，且是第二象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 24．已知的最大值为3，最小值为. (1)试求a，b的值； (2)当x取何值时，y取得最大值、最小值？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共8套。 本卷是第四章三角函数的单元测试卷，主要梳理和考查了角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、诱导公式、正（余）弦函数的图像和性质。 第四章 三角函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故选：B. 2．下列命题正确的是（   ） A．“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点. B．函数y=cos x的图象与y=sin x的图象形状完全一样，而且位置也相同. C．函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同. D．函数y=cos x与y=cos(-x)的图象完全相同. 【答案】D 【分析】利用正弦曲线和余弦曲线和它们的图像之间关系作答. 【详解】解:选项 A：取的五个点的横坐标分别为，错误; 选项 B：，所以的周期为2T,错误； 选项 C：∵，∴二者图象不同，关于轴对称，错误； 选项 D：∵，∴二者图象完全相同，正确. 故选：D. 3．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由特殊角的三角函数值及充分条件的定义即可得解. 【详解】当时，，即充分性成立； 当时，取，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 4．如图，2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对应的弧长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，根据条件求出半径，再由弧长公式求解即可. 【详解】过点作于点， 设圆的半径为，这个圆心角所对应的弧长为， 则，，， ，则， . 故选：B. 5．的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：A． 6．若，则在第______________象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】由诱导公式化简，再由三角函数的符号判断在第几象限即可. 【详解】因为， 由诱导公式可得，得， ，得，则在第二象限， 故选：B． 7．已知，那么的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式中的左边分子、分母同时除以余弦，转化为关于正切的方程，解方程求出． 【详解】将已给方程两边同时除以，得 ， 解得：，所以. 故选：D 8．如图所示，一只蚂蚁从点出发，沿单位圆（半径为1）按顺时针方向爬行到达点Q，则点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位圆上任意一点的坐标表示即可求解. 【详解】 单位圆上任意一点的坐标为， 由题意可知，， 所以点Q的坐标为，即， 故选：D. 9．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若角终边上始终有一点，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义，求出即可验证答案是否正确. 【详解】根据三角函数的定义可知， A中，错误， B中，错误， C中，错误， D中，正确， 故选：D. 10．已知为第二象限的角，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角的三角函数值的平方关系求解即可. 【详解】因为为第二象限角，所以， 所以. 故选：A. 11．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由同角三角函数关系求出，再利用诱导公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故选：A. 12．函数，的图像与直线的交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据两式相等求解，解的个数即交点个数. 【详解】由，可得：或， 可知所求交点的个数为2. 故选：C. 13．已知且，那么x的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】在坐标轴上绘制单位圆，同时绘制余弦线，交单位圆于第二和第三象限 ，连接交点与圆心所得两角即为满足条件的角. 【详解】观察图像可知，在范围内满足的角有两个，分别在第二和第三象限.    在上满足的角为.由，得第二象限内的角； 由，得第三象限内的角.∴在上满足的角为和. 故选：D. 14．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式有意义的条件可以得到，得到，对其求解得到x的取值范围，即可得到函数的定义域. 【详解】要使原函数有意义，则，即； 由正弦函数的图象和性质，可得到， 故函数的定义域是. 故选：B. 15．在中，为钝角，则点（ ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【答案】B 【分析】根据钝角的范围确定三角函数的正负即可解得. 【详解】在中，为钝角，则为锐角， 则，点在第二象限， 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知，则 ． 【答案】 【分析】将，化为，再根据诱导公式化简，再代数求解. 【详解】由得， . 故答案为：. 17．已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意根据扇形面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为，半径为， 所以扇形的面积为， 故答案为:. 18．的值是 . 【答案】 【分析】利用诱导公式将角转换成常见的特殊角再计算. 【详解】原式 . 故答案为：. 19．函数在上的最大值为 ． 【答案】/2.5 【分析】先由余弦函数的图像得到在区间上的取值范围，即可得到函数的最大值. 【详解】余弦函数在上的图像如图所示，    所以余弦函数在上的取值范围为， 所以在上的取值范围为， 在上的最大值为． 故答案为：. 20．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据可知，再根据同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）角度化弧度，然后利用弧长公式可求； （2）利用扇形周长和面积公式，结合二次函数性质与弧长公式可求． 【详解】（1）， ． （2）由已知得，扇形周长，，， 所以扇形面积 ，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，， 所以． 22．（1）证明:. （2）已知 ，求的值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求证. （2）利用诱导公式和同角三角函数的平方关系求解. 【详解】（1）根据同角三角函数的关系可知，，. . 即得证. （2）根据三角函数的诱导公式可知， .∵，故，得到. ∴. 又∵，∴. 即. 23．已知，且是第二象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据各象限三角函数的符号和同角三角函数间的关系即可解得. （2）根据诱导公式和余弦函数的奇偶性进行化简即可解得. 【详解】（1）因为，且是第二象限角， 所以， ； （2） . 24．已知的最大值为3，最小值为. (1)试求a，b的值； (2)当x取何值时，y取得最大值、最小值？ 【答案】(1) (2)当x的集合为时，y取得最大值；当x的集合为时，y取得最小值 【分析】（1）根据正弦函数的值域建立方程组，进而求得a，b的值． （2）当（）时，y取得最大（小）值，由此可求x的取值. 【详解】（1）的最大值为3，最小值为， . （2）由（1）知 当时，y取得最大值，此时x的集合为； 当时，y取得最小值，此时x的集合为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$