专题01 平面向量的概念及线性运算（讲义）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第1个专题：平面向量的概念及线性运算。本专题涵盖含有向量的概念、向量的加法、减法及数乘运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 平面向量的概念及线性运算（讲义） 知识点 平面向量的概念及线性运算 1．向量的概念 （1）向量：既有大小又有方向的量称为向量，如：力、速度、位移等． （2）数量：只有大小没有方向的量称为数量，如：身高、体重、鞋码等． （3）向量的表示． ①几何表示：一个向量可用有向线段（具有方向的线段）表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. 例如：用有向线段表示向量时，记作，如图，是始点，是终点． ②符号表示：印刷时可以使用加粗的斜体小写英文字母表示，如； 手写时应在字母上面加箭头，如 （4）向量的模：如果，那么线段的长度表示向量的模（或向量的大小），记作. 注：①向量的模. ②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小. （5）零向量、单位向量：长度为0的向量称为零向量，记作，零向量的方向是不确定（任意）的． 长度为1的向量称为单位向量，任意一个非零向量的单位向量为 （6）相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量，记作. （7）平行（共线）向量：方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量． 向量与平行，记作.平行向量又称为共线向量. 注：①表示平行或共线向量的有向线段所在的直线平行或重合. ②规定零向量与任意向量平行 2．向量的加法运算 （1）向量加法的三角形法则——首尾连，首指尾． 如图，已知向量，在平面上任取一点，作，则向量称为与的和（或和向量），记作，即 上述求两个向量和的法则，通常称为“向量求和的三角形法则”. （2）向量加法的平行四边形法则——同起点，不共线，对角线． 如图 已知两个不共线向量，在平面上任取一点，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线上的向量 （3）多个向量的求和法则——首尾连，首指尾． 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量就是这n个向量的和向量. （4）向量的加法满足如下运算律． 设向量，则 ①. ②（交换律）. ③ （结合律）. 3．向量的减法运算 （1）向量减法的三角形法则——同起点，指被减． 如图， 已知向量，在平面上任取一点，作，则，所以 由此可得，若把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量.这种求两个向量差的运算，称为向量的减法. （2）相反向量：与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．规定零向量的相反向量是零向量.显然，一个向量与其相反向量的和向量是零向量，即. 所以，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量. 4．数乘向量 （1）定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长度为 的方向：当>0时，与同方向；当<0时，与反方向. 当或时，或. 数乘向量的几何意义就是把向量沿着的方向或反方向放大或缩小. （2）数乘向量的运算满足如下运算律． 设，是实数，，是向量，则 ① ②. ③ 向量加法、减法和数乘向量的综合运算，通常称为向量的线性运算. （3）共线向量基本定理：若向量，则的充要条件是存在唯一实数，使 1．（2020山东真题）在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点（如图），设，则（   ） A． B． C． D． 2．（2021山东真题）下列命题中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若，则三点共线 3．（2022山东真题）在中，点D是边BC的中点，设，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024山东真题）三角形ABC的边长均为1，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024济南模拟）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．长度等于1个单位长度的向量称为单位向量 C．相等向量的起点必定相同 D．若，则 1．下列说法中正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量满足，则 2．若数轴上点分别对应，则向量的长度是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若，则四点构成平行四边形 C．若向量，则向量与的方向相同 D．与是两平行向量 4．下列说法中正确的是（    ） A．若向量与共线且与不为零向量，则存在实数，使 B．零向量是没有方向的向量 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 5．如图，在四边形中，若，则相等的向量是（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，且，则向量的方向（    ） A．与向量的方向相同 B．与向量的方向相反 C．与向量的方向相同 D．不能确定 7．在平行四边形中，若，则平行四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 8．如图，点P，Q是的边BC上的两点，且，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 9．如图，下列向量运算结果错误的是（ ） A． B． C． D． 10．在中，点D是边BC的中点，则（ ） A． B． C． D． 11．如图，在正方形中，点E是边DC的中点，点F是靠近点B的边BC上的一个三等分点，那么（ ） A． B． C． D． 12．“两个向量相等”是“两个向量的起点和终点都相同”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 13．已知，若M，P，Q三点共线，则实数 14．若为非零向量，则“是“共线”的 条件. （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 15．若菱形ABCD的边长为1，则等于 ． 16．计算： . 17．计算： . 18．已知向量不共线，若，求证：A，B，C 三点共线.. 19．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，，求： （1）当满足什么条件时，与 垂直？ （2）当满足什么条件时，？ 20．如图所示，在正六边形ABCDEF中，各对角线的交点为O，，，用分别表示 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第1个专题：平面向量的概念及线性运算。本专题涵盖含有向量的概念、向量的加法、减法及数乘运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 平面向量的概念及线性运算（讲义） 知识点 平面向量的概念及线性运算 1．向量的概念 （1）向量：既有大小又有方向的量称为向量，如：力、速度、位移等． （2）数量：只有大小没有方向的量称为数量，如：身高、体重、鞋码等． （3）向量的表示． ①几何表示：一个向量可用有向线段（具有方向的线段）表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. 例如：用有向线段表示向量时，记作，如图，是始点，是终点． ②符号表示：印刷时可以使用加粗的斜体小写英文字母表示，如； 手写时应在字母上面加箭头，如 （4）向量的模：如果，那么线段的长度表示向量的模（或向量的大小），记作. 注：①向量的模. ②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小. （5）零向量、单位向量：长度为0的向量称为零向量，记作，零向量的方向是不确定（任意）的． 长度为1的向量称为单位向量，任意一个非零向量的单位向量为 （6）相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量，记作. （7）平行（共线）向量：方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量． 向量与平行，记作.平行向量又称为共线向量. 注：①表示平行或共线向量的有向线段所在的直线平行或重合. ②规定零向量与任意向量平行 2．向量的加法运算 （1）向量加法的三角形法则——首尾连，首指尾． 如图，已知向量，在平面上任取一点，作，则向量称为与的和（或和向量），记作，即 上述求两个向量和的法则，通常称为“向量求和的三角形法则”. （2）向量加法的平行四边形法则——同起点，不共线，对角线． 如图 已知两个不共线向量，在平面上任取一点，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线上的向量 （3）多个向量的求和法则——首尾连，首指尾． 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量就是这n个向量的和向量. （4）向量的加法满足如下运算律． 设向量，则 ①. ②（交换律）. ③ （结合律）. 3．向量的减法运算 （1）向量减法的三角形法则——同起点，指被减． 如图， 已知向量，在平面上任取一点，作，则，所以 由此可得，若把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量.这种求两个向量差的运算，称为向量的减法. （2）相反向量：与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．规定零向量的相反向量是零向量.显然，一个向量与其相反向量的和向量是零向量，即. 所以，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量. 4．数乘向量 （1）定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长度为 的方向：当>0时，与同方向；当<0时，与反方向. 当或时，或. 数乘向量的几何意义就是把向量沿着的方向或反方向放大或缩小. （2）数乘向量的运算满足如下运算律． 设，是实数，，是向量，则 ① ②. ③ 向量加法、减法和数乘向量的综合运算，通常称为向量的线性运算. （3）共线向量基本定理：若向量，则的充要条件是存在唯一实数，使 1．（2020山东真题）在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点（如图），设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行四边形ABCD中，连接AC. 因为点E，F分别是AB，BC的中点， 所以， 因为 所以 故选：A 2．（2021山东真题）下列命题中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若，则三点共线 【答案】D 【解析】零向量的方向是任意的，A错误； 大小相等且方向相同的两个向量相等，所以两个单位向量不一定相等，B错误； 方向相反且大小相等的两个向量互为相反向量，C错误； 当，三点共线，D正确 故选：D 3．（2022山东真题）在中，点D是边BC的中点，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为D是BC中点，所以， 从而. 故选：C 4．（2024山东真题）三角形ABC的边长均为1，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以为单位向量； 因为，，所以不是单位向量； 因为，所以不是单位向量； 因为，所以不是单位向量 故选：A 5．（2024济南模拟）下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．长度等于1个单位长度的向量称为单位向量 C．相等向量的起点必定相同 D．若，则 【答案】B 【解析】当时，不一定平行，A错误； 长度等于1个单位长度的向量称为单位向量，B正确； 相等向量的起点不一定相同，C错误； 向量不能比较大小，D错误 故选：B 1．下列说法中正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量满足，则 【答案】C 【解析】对于A，单位向量的模相等，但是方向不一定相同，错误； 对于B，单位向量，错误； 对于C，零向量与任意向量平行，正确； 对于D，向量满足，但是的方向可以是任意的，错误 故选：C 2．若数轴上点分别对应，则向量的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数轴上点分别对应，则向量的长度即. 故选：C 3．下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若，则四点构成平行四边形 C．若向量，则向量与的方向相同 D．与是两平行向量 【答案】D 【解析】选项A中，单位向量方向可以不同，故不一定成立，错误； 选项B中，四点可能共线，此时不能组成四边形，错误； 选项C中，可以为方向相反的向量，错误； 相反向量是一对平行向量，D正确 故选：D 4．下列说法中正确的是（    ） A．若向量与共线且与不为零向量，则存在实数，使 B．零向量是没有方向的向量 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【答案】A 【解析】因为与为非零向量，且共线，所以存在实数，使，A正确； 零向量的长度为0，方向是任意的，B错误； 任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，C错误； 向量不能比较大小，D错误. 故选：A 5．如图，在四边形中，若，则相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在四边形中，， 所以四边形ABCD为平行四边形， 所以 故选：D 6．已知向量，且，则向量的方向（    ） A．与向量的方向相同 B．与向量的方向相反 C．与向量的方向相同 D．不能确定 【答案】A 【解析】若和方向相同，则它们的和的方向应该与（或）的方向相同； 若它们的方向相反，而的模大于的模，则它们的和的方向与的方向相同 故选：A 7．在平行四边形中，若，则平行四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】D 【解析】由知，邻边相等的平行四边形为菱形 故选：D 8．如图，点P，Q是的边BC上的两点，且，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A 9．如图，下列向量运算结果错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，正确. 故选：A 10．在中，点D是边BC的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点D是BC边上的中点， 所以 故选：C 11．如图，在正方形中，点E是边DC的中点，点F是靠近点B的边BC上的一个三等分点，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点E是DC的中点，点F是靠近点B的BC的一个三等分点， 所以 故选：D 12．“两个向量相等”是“两个向量的起点和终点都相同”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【解析】两个向量相等与起点和终点无关；两个向量的起点和终点都相同，则两向量的大小和方向都相同，即为相等向量，所以“两个向量相等”是“两个向量的起点和终点都相同”的必要不充分条件 故答案为：必要不充分 13．已知，若M，P，Q三点共线，则实数 【答案】 【解析】因为M，P，Q三点共线，所以， 由向量的共线定理，可设， 则， 则，解得 故答案为： 14．若为非零向量，则“是“共线”的 条件. （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】分别表示与同方向的单位向量，若，则有共线； 若共线，则是相等向量或相反向量，所以“”是“共线”的充分不必要条件 故答案为： 充分不必要 15．若菱形ABCD的边长为1，则等于 ． 【答案】 【解析】 故答案为： 16．计算： . 【答案】 【解析】 故答案为： 17．计算： . 【答案】 【解析】 故答案为： 18．已知向量不共线，若，求证：A，B，C 三点共线.. 【答案】见解析 【解析】 依题意， 设，则， 所以， 又因为有公共点A， 所以A，B，C三点共线. 19．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，，求： （1）当满足什么条件时，与 垂直？ （2）当满足什么条件时，？ 【答案】见解析 【解析】（1）若与垂直， 即平行四边形ABCD的两条对角线互相垂直， 则只需满足四边形ABCD为菱形， 故满足即可. （2）根据向量的线性运算法则， 可得表示平行四边形的两条对角线长度相等， 只需使得平行四边形ABCD为矩形， 所以满足垂直即可 20．如图所示，在正六边形ABCDEF中，各对角线的交点为O，，，用分别表示 【答案】见解析 【解析】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$