专题03 等差数列与等比数列综合（讲义）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块5数列的第3个专题：等差数列与等比数列综合。本专题涵盖含有数列与函数、数列与不等式、数列的实际应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 等差数列与等比数列综合（讲义） 知识点 等差数列与等比数列综合 1．数列的综合应用 （1）等差数列和等比数列的综合 等差数列与等比数列相结合的综合问题主要是应用等差、等比数列的通项公式、前项和公式，建立关于两个基本量，即首项和公差或公比的方程组，以及解决等差中项、等比中项等问题． （2）数列和函数 数列是特殊的函数，等差数列的通项公式和前项和公式分别是关于的一次函数和二次函数，等比数列的通项公式和前项和公式在公比不等于1的情况下是公比的指数型函数，可以根据函数的性质解决一些数列问题. （3）数列和不等式 以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题，体现了在知识交汇点上命题的特点.这类问题一般通过数列求通项以及求和去解决一个不等式问题，这里的不等式通常是关于正整数的不等式，可以通过比较法、基本不等式法或数学归纳法解决. 2．数列的实际应用 数列在现实生活中有着非常广泛的应用，很多实际问题都可以转换为数列问题，然后用数列的相关知识解决.在解题时，首先要读懂题意，搞清楚各个数量之间的关系，然后利用数列中相应的量表示，并列出相应的等式，最后解方程（组）求出未知量. （1）在等差数列模型中，每次增加的量相同． （2）在等比数列模型中，每次增加的比例相同． 注：复利计息存款：本息之和＝本金（1＋利息）存期 3．解答数列应用题的基本步骤 解答数列应用题的基本步骤： ①审题-仔细阅读材料，认真理解题意. ②建模-将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. ③求解-求出该问题的数学解. ④还原-将所求结果还原到实际问题中. 4．数列应用题常见模型 等差数列模型 如果增加（或减少）的量是一个固定量，那么该模型是等差数列模型，增加（或减少）的量就是公差 等比数列模型 如果后一个量与前一个量的比值是一个固定的数，那么该模型是等比数列模型。这个固定的数就是公比 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，即随着项的变化而变化，那么应考虑与之间的递推关系，或前n项和与之间的递推关系 1．（2019山东真题）某城市2018年底人口总数为50万，绿化面积为35万平方米．假定今后每年人口总数比上一年增加万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的5％，并且每年均损失万平方米的绿化面积（不考虑其他因素）． （1）到哪一年年底，该城市人口总数达到60万（精确到1年）？ （2）假如在人口总数达到60万并保持平稳、不增不减的情况下，到哪一年年底，该城市人均绿化面积达到平方米（精确到1年）？ 2．（2020山东真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里，若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里？ 3．（2021山东真题）在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分30斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分的斤数依次成等差数列，问每人各分多少斤.”那么甲所分小米的斤数是（   ） A． B． C． D． 4．（2022山东真题）如图，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接 各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这n个新构成的三角形的边长依次记作 （1）求的值； （2）若的边长小于，求n的最小值 5．（2023山东真题）如图，从A到B修筑一段公路需要50车石料，石料厂S到A的距离是1000米，现用一辆车依次把石料从S运送到施工路段，第1车石料卸在A处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，，···的位置，运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，···，第50车往返路程记作米. （1）求该车运送第20车石料往返的路程； （2）求该车所有往返的路程之和 1．已知数列的通项公式为且的项的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前n项和为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？”其意思为：“现有甲、乙、丙、丁、戊五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱与丙、丁、戊三人所得的钱相等，问每人各得多少钱？”则根据题意，乙得（    ）钱？ A． B． C． D． 5．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（    ） A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 6．某种细胞在培养过程中，每30min分裂一次（1个分裂成2个），经过5h后，这种细胞由1个繁殖成（    ）个. A． B． C． D． 7．某林场要在占地的荒山上植树，第1年植树，以后每年比上一年多植树，若要将荒山全部绿化完毕需要年，则（    ） A． B． C． D． 8．某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，则这个剧院总共有（ ）个座位 A． B． C． D． 9．某人收到一条短消息后用2min通过手机发给两个好友，这两个人又用同样的时间和方式将消息发给各自两个好友，如此下去，18min后知道这条消息的人数为（ ） A． B． C． D． 10．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ） A． B． C． D． 11．若实数成等比数列，则函数的图象与轴的交点个数为（ ） A． B． C． D．不能确定 12．已知在等比数列中等差数列的前n项和为，且则 . 13．某剧场共有18排座位，如果第一排有16个座位，往后每一排比前一排多2个座位，那么该剧场座位的总数为 14．某市2017年共有15000辆燃油公交车，为了节能减排，有关部门计划从2018年开始每年投入电动公交车，2018年投入128辆，以后每年的投入比上一年增加50％，则该市2024年应该投入 辆电动公交车. 15．为了治理沙漠，某林场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种，以后每一年比上一年多栽种，那么10年后，该农场共栽种植被 ． 16．已知等差数列满足： （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列的各项均为正数，为其前n项和，若，求. 17．已知数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式： （2）求证：. 18．某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需要路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10％（即这辆车每年减少它的价值的10％，当年折旧的费用为该年花费在该车上的费用）．使用多少年后，该单位花费在该车上的费用达36万元？并说明理由. 19．某化肥厂第一年产量为8万吨，若该厂在5年内每年的产量都比前一年的产量增长20％，求5年内该厂的总产量（精确到0.1万吨）. 20．用分期付款的方式购买一台价值3150元的冰箱，如果购买时先付款1150元，余款分20次付完，以后每月付款100元加上欠款利息．如果月利息为1％，那么第10个月要付多少元？总共要付多少元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块5数列的第3个专题：等差数列与等比数列综合。本专题涵盖含有数列与函数、数列与不等式、数列的实际应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 等差数列与等比数列综合（讲义） 知识点 等差数列与等比数列综合 1．数列的综合应用 （1）等差数列和等比数列的综合 等差数列与等比数列相结合的综合问题主要是应用等差、等比数列的通项公式、前项和公式，建立关于两个基本量，即首项和公差或公比的方程组，以及解决等差中项、等比中项等问题． （2）数列和函数 数列是特殊的函数，等差数列的通项公式和前项和公式分别是关于的一次函数和二次函数，等比数列的通项公式和前项和公式在公比不等于1的情况下是公比的指数型函数，可以根据函数的性质解决一些数列问题. （3）数列和不等式 以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题，体现了在知识交汇点上命题的特点.这类问题一般通过数列求通项以及求和去解决一个不等式问题，这里的不等式通常是关于正整数的不等式，可以通过比较法、基本不等式法或数学归纳法解决. 2．数列的实际应用 数列在现实生活中有着非常广泛的应用，很多实际问题都可以转换为数列问题，然后用数列的相关知识解决.在解题时，首先要读懂题意，搞清楚各个数量之间的关系，然后利用数列中相应的量表示，并列出相应的等式，最后解方程（组）求出未知量. （1）在等差数列模型中，每次增加的量相同． （2）在等比数列模型中，每次增加的比例相同． 注：复利计息存款：本息之和＝本金（1＋利息）存期 3．解答数列应用题的基本步骤 解答数列应用题的基本步骤： ①审题-仔细阅读材料，认真理解题意. ②建模-将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. ③求解-求出该问题的数学解. ④还原-将所求结果还原到实际问题中. 4．数列应用题常见模型 等差数列模型 如果增加（或减少）的量是一个固定量，那么该模型是等差数列模型，增加（或减少）的量就是公差 等比数列模型 如果后一个量与前一个量的比值是一个固定的数，那么该模型是等比数列模型。这个固定的数就是公比 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，即随着项的变化而变化，那么应考虑与之间的递推关系，或前n项和与之间的递推关系 1．（2019山东真题）某城市2018年底人口总数为50万，绿化面积为35万平方米．假定今后每年人口总数比上一年增加万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的5％，并且每年均损失万平方米的绿化面积（不考虑其他因素）． （1）到哪一年年底，该城市人口总数达到60万（精确到1年）？ （2）假如在人口总数达到60万并保持平稳、不增不减的情况下，到哪一年年底，该城市人均绿化面积达到平方米（精确到1年）？ 【答案】见解析 【解析】（1）由题意知，自2018年起，每年人口总数构成等差数列， 其中首项，公差，通项公式为 设第n项，解得， 因为，所以， 所以， 即到2025年底，该城市人口总数达到60万． （2）由题意知，自2018年起，每年的绿化面积构成等比数列， 其中是2018年底的绿化面积， 是2019年底的绿化面积， 是2020年底的绿化面积，， 依此类推，则是年底的绿化面积，， 又因为， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 即到2028年底，该城市人均绿化面积达到0.9平方米 2．（2020山东真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里，若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里？ 【答案】见解析 【解析】因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列. 设该数列为，第一天走的路程数为首项，公差为， 则， 因为， 所以， 解得，则 即该男子第5天走了140里． 3．（2021山东真题）在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分30斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分的斤数依次成等差数列，问每人各分多少斤.”那么甲所分小米的斤数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设该等差数列为， 则，即， 解得， 所以甲所分的小米的斤数是8． 故选：C 4．（2022山东真题）如图，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接 各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这n个新构成的三角形的边长依次记作 （1）求的值； （2）若的边长小于，求n的最小值 【答案】见解析 【解析】（1）由题可知， 的边长为，故， 以此类推，， 所以, （2）由（1）可知，边长可构成首项，公比的等比数列， 故边长， 令，得， 解得，则n的最小值为10 5．（2023山东真题）如图，从A到B修筑一段公路需要50车石料，石料厂S到A的距离是1000米，现用一辆车依次把石料从S运送到施工路段，第1车石料卸在A处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，，···的位置，运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，···，第50车往返路程记作米. （1）求该车运送第20车石料往返的路程； （2）求该车所有往返的路程之和 【答案】见解析 【解析】（1）把记作， 则该车运送第20车石料往返的路程数是， 因为在数列中，从第2项起，每一项与前一项的差都等于， 所以为等差数列，其中，公差， 则米， 所以该车运送第20车石料往返的路程是3 900米． （2）由（1）可知，所有往返的路程数之和，是数列的前50项和 所以米， 所以该车所有往返的路程之和为222500米 1．已知数列的通项公式为且的项的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列， 令， 由，解得，此时函数单调递增； 由，解得，此时函数单调递减. 对于来说，最小值只能是或中的最小值. 所以最小， 所以，解得. 故选：B 2．已知等差数列的前n项和为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， 因为等差数列的前n项和可看作是关于n的二次函数且， 所以对称轴方程为 又因为， 所以，解得 故选：B 3．已知等差数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d， 则 ，解得， 所以 所以 所以 所以 所以时恒成立， 所以m的最小值为 故选：C 4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？”其意思为：“现有甲、乙、丙、丁、戊五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱与丙、丁、戊三人所得的钱相等，问每人各得多少钱？”则根据题意，乙得（    ）钱？ A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊的钱数依次为，公差为d. 根据题意有，得， 又，即，解得， 则. 故选：D 5．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（    ） A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 【答案】B 【解析】由题意知， 从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为d， 因为冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸， 所以，解得， 所以芒种日影长为 (寸)=2尺5寸 故选：B 6．某种细胞在培养过程中，每30min分裂一次（1个分裂成2个），经过5h后，这种细胞由1个繁殖成（    ）个. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D 7．某林场要在占地的荒山上植树，第1年植树，以后每年比上一年多植树，若要将荒山全部绿化完毕需要年，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意， ， 由得，解得或（舍去） 故选：B 8．某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，则这个剧院总共有（ ）个座位 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意知每排座位数成等差数列， 则， 则， 故这个剧院总共有1020个座位 故选：C 9．某人收到一条短消息后用2min通过手机发给两个好友，这两个人又用同样的时间和方式将消息发给各自两个好友，如此下去，18min后知道这条消息的人数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意知18分钟后知道这条消息的人数是， 所以18分钟后知道这条消息的人数为1023 故选：C 10．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得，所以第二天织布的尺数为 故选：C 11．若实数成等比数列，则函数的图象与轴的交点个数为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【解析】因为实数成等比数列，所以， 又， 因为正负无法判断，故函数的图象与轴的交点个数不能确定 故选：D 12．已知在等比数列中等差数列的前n项和为，且则 . 【答案】 【解析】等比数列中，， 所以 等差数列中，，即， 则 故答案为： 13．某剧场共有18排座位，如果第一排有16个座位，往后每一排比前一排多2个座位，那么该剧场座位的总数为 【答案】 【解析】由题意得，每排座位数构成以16为首项，以2为公差的等差数列， 则 故答案为： 14．某市2017年共有15000辆燃油公交车，为了节能减排，有关部门计划从2018年开始每年投入电动公交车，2018年投入128辆，以后每年的投入比上一年增加50％，则该市2024年应该投入 辆电动公交车. 【答案】 【解析】由题意可知，该市逐年投入的电动公交车的数量成等比数列， 则， 所以， 即2024年应该投入辆公交车 故答案为： 15．为了治理沙漠，某林场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种，以后每一年比上一年多栽种，那么10年后，该农场共栽种植被 ． 【答案】 【解析】由题意可知，每年栽种的植被数构成等差数列， 则， 所以， 即10年后，该农场共栽种植被 故答案为： 16．已知等差数列满足： （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列的各项均为正数，为其前n项和，若，求. 【答案】见解析 【解析】（1）因为等差数列满足， 所以， 所以， （2）因为等比数列的各项均为正数，为其前n项和，, 所以， 解得或 (舍）， 故 17．已知数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式： （2）求证：. 【答案】见解析 【解析】（1）由， 当时，，则 当时，， 两式相减得， 即 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以 （2）证明：由（1）知 当时，, 当时，，所以 所以 所以当时， 综上， 18．某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需要路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10％（即这辆车每年减少它的价值的10％，当年折旧的费用为该年花费在该车上的费用）．使用多少年后，该单位花费在该车上的费用达36万元？并说明理由. 【答案】见解析 【解析】用表示该单位第n年花费在轿车上的费用， 则， 依此类推可得 ， 令，得，即， 注意到，取值验证，当时，， 所以， 所以使用4年后，花费在该车上的费用达36万元 19．某化肥厂第一年产量为8万吨，若该厂在5年内每年的产量都比前一年的产量增长20％，求5年内该厂的总产量（精确到0.1万吨）. 【答案】见解析 【解析】由题意知，每年的产量构成等比数列，前n项和为， 其中，公比， 因此 故这五年内的总产量约为59.5万吨 20．用分期付款的方式购买一台价值3150元的冰箱，如果购买时先付款1150元，余款分20次付完，以后每月付款100元加上欠款利息．如果月利息为1％，那么第10个月要付多少元？总共要付多少元 【答案】见解析 【解析】因为每月付款100元加上欠款利息，月利息为1％， 所以每月所欠款利息构成数列， 则， 所以为等差数列，， 所以第10个月所欠款利息为元， 所以第10个月要付款（元）， 总共要付款元， 即第10个月要付111元，总共要付3360元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$