专题02 等比数列（讲义）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块5数列的第2个专题：等比数列。本专题涵盖含有等比数列的概念、通项公式、等比中项等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 等比数列（讲义） 知识点 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列的首项不为0，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个不等于0的常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．公比通常用字母表示，其数学表达式为或，因此判断一个数列是等比数列，只要证明为常数即可. 2．等比数列的通项公式 在等比数列中，首项为，公比为，通项公式为，其中与均不为0． 3．等比数列的前n项和公式 在等比数列中，首项为，公比为，等比数列的前n项和为. 当时，；当时， 4．等比中项 （1）一般地，若成等比数列，则称为与的等比中项． （2）一个等比数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项. （3）若在与中间插入一个常数，使成等比数列，则，即；反之，若，则，即成等比数列，因此“”是“成等比数列”的充要条件. 注：若已知三个数成等比数列，且已知三个数之积，可采用对称设法，即设此三个数分别为，以便简化计算. 5．等比数列的性质 （1）若，则.特别地，当时，则 （2）在等比数列中，抽取等距离的项组成的数列仍然是等比数列．如仍然是等比数列. （3）在等比数列中，每连续m项之和构成的数列仍然是等比数列．如仍然是等比数列. 推论：若是等比数列的前n项和，则数列也成等比数列. （4）在等比数列中，每连续m项之积构成的数列仍然是等比数列．如仍然是等比数列. 1．（2020山东真题）在等比数列中，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2021山东真题）在数列中，已知 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前90项和 3．（2023山东真题）若成等比数列，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2024山东真题）已知数列为等比数列且公比 （1）求数列的通项公式； （2）若数列，求数列的前6项和 5．（2024淄博模拟）已知等比数列的公比为q，且，，则为（   ） A． B． C． D． 1．若等比数列满足，则该等比数列的公比为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，且首项，则该数列的第5项为（    ） A． B． C． D． 3．设等比数列的公比为q，若，则为（    ） A． B． C． D． 4．在等比数列中，已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D．或 5．在等比数列中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知三个数成等比数列，其和为14，积为64，则这三个数为（    ） A． B．或 C． D．不能确定 7．已知四个正数，前三个成等比数列，其和为19，后三个成等差数列，其和为12，则这四个正数为（    ） A． B． C． D． 8．在等比数列中，已知，则该数列的通项公式（ ） A． B． C． D． 9．若等比数列满足，则数列的前n项和（ ） A． B． C． D． 10．设数列的前n项和，若为等比数列，则实数（ ） A． B． C． D． 11．已知等比数列的前n项和，则公比（ ） A． B． C． D． 12．在等比数列中，若，则 . 13．在等比数列中，若，，则 14．在等比数列中，已知，且为方程的两个根，则公比q的值为 . 15．设数列是等比数列，是的前n项和，对任意正整数n，有，又，则 ． 16．在等比数列中，已知前n项和，前2n项和，则该数列的前3n项和 . 17．在等比数列中，已知前3项和，前6项和 （1）求该数列的通项公式； （2）求该数列的第6项； （3）求该数列的前8项和. 18．在等比数列中，已知，，求公比q的值. 19．在数列中，是数列的前n项和，若,，求其通项公式. 20．已知数列的前n项和为，且 （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块5数列的第2个专题：等比数列。本专题涵盖含有等比数列的概念、通项公式、等比中项等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 等比数列（讲义） 知识点 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列的首项不为0，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个不等于0的常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．公比通常用字母表示，其数学表达式为或，因此判断一个数列是等比数列，只要证明为常数即可. 2．等比数列的通项公式 在等比数列中，首项为，公比为，通项公式为，其中与均不为0． 3．等比数列的前n项和公式 在等比数列中，首项为，公比为，等比数列的前n项和为. 当时，；当时， 4．等比中项 （1）一般地，若成等比数列，则称为与的等比中项． （2）一个等比数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项. （3）若在与中间插入一个常数，使成等比数列，则，即；反之，若，则，即成等比数列，因此“”是“成等比数列”的充要条件. 注：若已知三个数成等比数列，且已知三个数之积，可采用对称设法，即设此三个数分别为，以便简化计算. 5．等比数列的性质 （1）若，则.特别地，当时，则 （2）在等比数列中，抽取等距离的项组成的数列仍然是等比数列．如仍然是等比数列. （3）在等比数列中，每连续m项之和构成的数列仍然是等比数列．如仍然是等比数列. 推论：若是等比数列的前n项和，则数列也成等比数列. （4）在等比数列中，每连续m项之积构成的数列仍然是等比数列．如仍然是等比数列. 1．（2020山东真题）在等比数列中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A 2．（2021山东真题）在数列中，已知 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前90项和 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以， 所以 （2）因为， 所以， 所以数列是首项为0，公差为的等差数列，所以 3．（2023山东真题）若成等比数列，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】成等比数列，，解得， 在等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同，所以 故选：A 4．（2024山东真题）已知数列为等比数列且公比 （1）求数列的通项公式； （2）若数列，求数列的前6项和 【答案】见解析 【解析】（1）由题知，即， 解得（舍去），， 又· （2） 5．（2024淄博模拟）已知等比数列的公比为q，且，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：由等比数列的通项得，化简得， 所以，解得 方法二：因为，所以，所以，又，解得 故选：D 1．若等比数列满足，则该等比数列的公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意知，，从而. 故选：A 2．已知数列满足，且首项，则该数列的第5项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，且，故. 故选：A 3．设等比数列的公比为q，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意知， 故选：C 4．在等比数列中，已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由等比数列的通项公式得， 将方程组的上、下两式子相比消去，整理得， 解得或， 当时，，通项公式为； 当时，，通项公式为 故选：D 5．在等比数列中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意知，解得， 从而， 因为同号，所以 故选：A 6．已知三个数成等比数列，其和为14，积为64，则这三个数为（    ） A． B．或 C． D．不能确定 【答案】B 【解析】由题意设所求三个数为， 由题意知①，②， 由②得代入①，，整理得， 解得或， 当时，这三个数分别为； 当时，这三个数分别为， 故这三个数为或． 故选：B 7．已知四个正数，前三个成等比数列，其和为19，后三个成等差数列，其和为12，则这四个正数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意设这四个数分别为， 因为后三个数和为12，所以，解得， 又因为前三个数成等比数列且和为19， 所以，解得或， 所以这四个数分别为或， 因为这四个数为正数，所以舍去，即这四个正数为 故选：C 8．在等比数列中，已知，则该数列的通项公式（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，即， 解得或，因为，所以舍去，， 所以通项公式 故选：C 9．若等比数列满足，则数列的前n项和（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得，从而 故选：C 10．设数列的前n项和，若为等比数列，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且为等比数列， 所以,， 即，所以. 故选：C 11．已知等比数列的前n项和，则公比（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，则 故选：A. 12．在等比数列中，若，则 . 【答案】 【解析】方法一：因为，所以. 方法二：因为三个数成等差数列，所以为与的等比中项， 可得，解得. 故答案为： 13．在等比数列中，若，，则 【答案】 【解析】在等比数列中，，，仍成等比数列， 所以是与的等比中项，， 即，解得 故答案为： 14．在等比数列中，已知，且为方程的两个根，则公比q的值为 . 【答案】或 【解析】因为为方程的两个根， 所以根据一元二次方程的根与系数的关系得， 在等比数列中，，联立， 解得 或， 所以或 故答案为：或 15．设数列是等比数列，是的前n项和，对任意正整数n，有，又，则 ． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为q，因为对任意正整数n，有， 所以， 又因为， 所以， 解得，所以 故答案为： 16．在等比数列中，已知前n项和，前2n项和，则该数列的前3n项和 . 【答案】 【解析】由等比数列的性质知，成等比数列， 所以，解得 故答案为： 17．在等比数列中，已知前3项和，前6项和 （1）求该数列的通项公式； （2）求该数列的第6项； （3）求该数列的前8项和. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意知，且， 解得 ，从而有 （2）由（1）知，则 （3）由等比数列的前n项和公式可得， 18．在等比数列中，已知，，求公比q的值. 【答案】见解析 【解析】设等比数列的公比为， 所以， 由， 得即， 解得或 19．在数列中，是数列的前n项和，若,，求其通项公式. 【答案】见解析 【解析】因为， 所以，即， 所以， 数列从第二项起是等比数列，且，公比， 所以当时，， 所以 20．已知数列的前n项和为，且 （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】见解析 【解析】（1）证明：当时，，所以； 当时，由可得， 两式相减可得， 解得， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列． （2）由（1）可得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$