专题01 等差数列（讲义）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块5数列的第1个专题：等差数列。本专题涵盖含有数列的概念、等差数列的概念、通项公式、等差中项等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 等差数列（讲义） 知识点 等差数列 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列．在数列中的每一个数都称为这个数列的项． 各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项，，第项． （2）表示方法：数列的一般形式为，可简记为是数列的第项，是项数. （3）数列的分类 ①有穷数列，即项数有限的数列． ②无穷数列，即项数无限的数列． （4）数列的通项公式 用项数来表示该数列相应项的公式称为数列的通项公式.一般地，数列的项是序号的函数. 注：①通项公式是以正整数集的子集为其定义域的函数，可记作（其中） ②并非所有的数列都有通项公式. ③数列的通项公式不一定唯一．比如，已知等比数列，其通项公式可写成或 ④除通项公式外，也可以由递推关系求数列的项. （5）数列的递推公式 用含有数列前面若干项的表达式来表示后面的某一项的公式，称为数列的递推公式，如.已知首项和递推公式，也就确定了数列. （6）数列的前项和公式 ①数列的前项和公式： ②数列的前项和与通项公式的关系：. 特别地，若也符合，则 2．等差数列 （1）等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.公差通常用小写字母表示，其数学表达式为或 （2）等差数列的通项公式 首项为，公差为的等差数列的通项公式可表示为 注：通项公式为关于的一元一次函数 （3）等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式为，特别地，当时，. 注：①已知中任意三个可求出另外两个，即“知三求二”. ②前项和公式为关于的一元二次函数，且无常数项，即 （4）等差中项 如果三个数成等差数列，那么称为与的等差中项.根据等差数列的概念，有，可以得到；反之，如果，那么是与的等差中项，即“”是“成等差数列”的充要条件. 注：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.若三个数成等差数列，我们常设这三个数为，这样有利于解题. （5）等差数列的四种判断方法 ①定义法：（是常数）. ②等差中项法： ③通项公式法：（是常数）. ④前项和公式法：（是常数） （6）等差数列的性质 ①若，则. 特别地，当时，则有 ②在等差数列中，抽取等距离的项组成的新数列仍然是等差数列．如仍然是等差数列. ③在等差数列中，每连续项之和构成的数列仍然是等差数列．如仍然是等差数列. 推论：若是等差数列的前项和，则数列,也成等差数列. 1．（2019山东真题）若等差数列的前7项和为70，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解得，所以 故选：D 2．（2022山东真题）已知等差数列，则该数列的公差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，而，从而. 故选：B 3．（2024山东真题）已知等差数列，则 【答案】 【解析】由题知，解得 故答案为： 4．（2024济南模拟）已知等差数列的公差为，是方程的根，前6项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：由题意知，由，得方程， 整理得，解得， 所以 方法二：由题意知，由，得方程10， 解得，所以 故选：D 5．（2024青岛模拟）在公差为的等差数列中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为等差数列的公差为， 所以， 又因为， 所以 故选：D 1．在等差数列中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为等差数列的前n项和为， 所以,也构成等差数列， 即，解得 故选：C 2．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，因为，所以 故选：A 3．已知数列的通项公式为，则该数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得，，从而 故选：C 4．若等差数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，且无常数项，即，所以 故选：D 5．在等差数列中，若，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题可得，又，所以. 故选：A 6．在等差数列中，若,，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 故选：B 7．设等差数列的前n项和为，若，，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该数列的公差为，则，解得， 所以， 所以当时，取最小值，故 故选：C 8．设是等差数列的前n项和，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意知 故选：C 9．在等差数列中，若前10项和，前20项和，则前30项和（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意知构成等差数列， 即成等差数列， 从而，解得 故选：C 10．在等差数列中，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D 11．已知等差数列的公差为2，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 从而 故选：A. 12．在等差数列中，已知是方程的两个根，则 . 【答案】 【解析】由根与系数的关系知，，所以 故答案为： 13．若等差数列中，，则 【答案】 【解析】由等差数列的性质可知，， 所以，所以 故答案为： 14．若等差数列的前9项和，则 . 【答案】 【解析】依题意得，所以 故答案为： 15．已知数列为等差数列，若，则 ． 【答案】 【解析】由等差数列的性质知，成等差数列， 设此数列的公差为，则， 所以， 从而 故答案为： 16．在等差数列中，已知公差为2，且，则 . 【答案】 【解析】依题意知公差， 则， 所以 故答案为： 17．已知等差数列的公差，且，，求该数列的通项公式. 【答案】见解析 【解析】因为， 所以是方程的两根， 因为公差， 所以，13， 从而， 所以数列的通项公式为 18．在等差数列中 （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和为，则当n为何值时，取得最大值，并求出此最大值. 【答案】见解析 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 则， 故， 所以. （2）由得， 且， 所以， 故时，取得最大值，最大值为36 19．已知数列的前n项和，求其通项公式并证明数列是等差数列. 【答案】见解析 【解析】当时，； 当时，，经检验，当时，也符合上式， 所以. 证明：为常数，所以为等差数列 20．已知数列满足，，数列的前n项和为，且 （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以 又当时，，所以， 当时，①. ②， 由①-②得，即， 所以是首项为1，公比为的等比数列，故 （2）由（1）得， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块5数列的第1个专题：等差数列。本专题涵盖含有数列的概念、等差数列的概念、通项公式、等差中项等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 等差数列（讲义） 知识点 等差数列 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列．在数列中的每一个数都称为这个数列的项． 各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项，，第项． （2）表示方法：数列的一般形式为，可简记为是数列的第项，是项数. （3）数列的分类 ①有穷数列，即项数有限的数列． ②无穷数列，即项数无限的数列． （4）数列的通项公式 用项数来表示该数列相应项的公式称为数列的通项公式.一般地，数列的项是序号的函数. 注：①通项公式是以正整数集的子集为其定义域的函数，可记作（其中） ②并非所有的数列都有通项公式. ③数列的通项公式不一定唯一．比如，已知等比数列，其通项公式可写成或 ④除通项公式外，也可以由递推关系求数列的项. （5）数列的递推公式 用含有数列前面若干项的表达式来表示后面的某一项的公式，称为数列的递推公式，如.已知首项和递推公式，也就确定了数列. （6）数列的前项和公式 ①数列的前项和公式： ②数列的前项和与通项公式的关系：. 特别地，若也符合，则 2．等差数列 （1）等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.公差通常用小写字母表示，其数学表达式为或 （2）等差数列的通项公式 首项为，公差为的等差数列的通项公式可表示为 注：通项公式为关于的一元一次函数 （3）等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式为，特别地，当时，. 注：①已知中任意三个可求出另外两个，即“知三求二”. ②前项和公式为关于的一元二次函数，且无常数项，即 （4）等差中项 如果三个数成等差数列，那么称为与的等差中项.根据等差数列的概念，有，可以得到；反之，如果，那么是与的等差中项，即“”是“成等差数列”的充要条件. 注：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.若三个数成等差数列，我们常设这三个数为，这样有利于解题. （5）等差数列的四种判断方法 ①定义法：（是常数）. ②等差中项法： ③通项公式法：（是常数）. ④前项和公式法：（是常数） （6）等差数列的性质 ①若，则. 特别地，当时，则有 ②在等差数列中，抽取等距离的项组成的新数列仍然是等差数列．如仍然是等差数列. ③在等差数列中，每连续项之和构成的数列仍然是等差数列．如仍然是等差数列. 推论：若是等差数列的前项和，则数列,也成等差数列. 1．（2019山东真题）若等差数列的前7项和为70，则（   ） A． B． C． D． 2．（2022山东真题）已知等差数列，则该数列的公差是（   ） A． B． C． D． 3．（2024山东真题）已知等差数列，则 4．（2024济南模拟）已知等差数列的公差为，是方程的根，前6项和，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024青岛模拟）在公差为的等差数列中，已知，则（   ） A． B． C． D． 1．在等差数列中，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的通项公式为，则该数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 4．若等差数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，若，则公差（    ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，若,，则（    ） A． B． C． D． 7．设等差数列的前n项和为，若，，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 8．设是等差数列的前n项和，已知，则（ ） A． B． C． D． 9．在等差数列中，若前10项和，前20项和，则前30项和（ ） A． B． C． D． 10．在等差数列中，已知，则（ ） A． B． C． D． 11．已知等差数列的公差为2，且，则（ ） A． B． C． D． 12．在等差数列中，已知是方程的两个根，则 . 13．若等差数列中，，则 14．若等差数列的前9项和，则 . 15．已知数列为等差数列，若，则 ． 16．在等差数列中，已知公差为2，且，则 . 17．已知等差数列的公差，且，，求该数列的通项公式. 18．在等差数列中 （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和为，则当n为何值时，取得最大值，并求出此最大值. 19．已知数列的前n项和，求其通项公式并证明数列是等差数列. 20．已知数列满足，，数列的前n项和为，且 （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$