专题01 平面向量的概念及线性运算（练习题）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第1个专题：平面向量的概念及线性运算。本专题涵盖含有向量的概念、向量的加法、减法及数乘运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 平面向量的概念及线性运算（练习题） 一、选择题 1．已知六个命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②表示相等向量的两个有向线段，若始点相同，则其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④向量与平行，则与方向相同或相反；⑤向量与的长度相等；⑥若，则. 其中，真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①假命题，向量可以用有向线段表示，但并不是有向线段；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明方向相同或相反；④假命题，若两个向量中有一个是零向量，其方向不确定；⑤真命题；⑥假命题，若，结论不一定成立（零向量与任何向量都平行） 故选：B 2．已知四个命题：①；②向量与方向相同或相反，则；③若，都是单位向量，则；④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量. 其中，真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①正确；②正确；③错误，因单位向量只是长度为1，方向不一定相同；④正确，因为南偏西与北偏东方向相反，故为共线向量 故选：C 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式 故选：A 4．在矩形ABCD中，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 故选：D 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A 6．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C 7．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 故选：B 8．在矩形ABCD中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在矩形ABCD中，由可得， 因为， 故， 所以 故选：A 二、填空题 9．对于非零向量，“”是“”的 条件 【答案】充分不必要 【解析】对于非零向量，若，则，所以由向量共线定理可知； 若，则，所以不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件 故答案为： 充分不必要 10．化简： . 【答案】 【解析】 故答案为： 11．在中，点D为边BC的中点，则 . 【答案】 【解析】 故答案为： 三、解答题 12．在边长为1的正三角形ABC中，求： （1）的值； （2）的值 【答案】见解析 【解析】（1） （2） 一、选择题 1．如图所示，在菱形ABCD中，若. ①与相等的向量只有一个（不含） ②与的模相等的向量有9个（不含） ③的模恰为模的倍； ④与不平行 其中，真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故①正确； 根据菱形的性质结合，可知对角线AC与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有共9个向量，故②正确； 易得，的模恰为模的倍，故③正确； 向量与的方向是相反的，是平行向量，故④不正确 故选：C 2．已知点O为内一点，若，则点O一定是的（ ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】C 【解析】，说明点O是外接圆的圆心，是外心 故选：C 3．设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知，，，故C正确； 当不共线时，可得也不共线，故A、B、D项不正确. 故选：C 4．已知四边形ABCD 满足，且，则四边形ABCD是（ ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【解析】与平行且相等，故四边形ABCD是平行四边形， 又，所以四边形ABCD是矩形 故选：C 5．有四个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若向量满足，则 其中，真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于①，由相等向量的定义可知时，则有，所以①正确； 对于②，当时，则有，所以②错误； 对于③，当时，的方向不一定相同，所以③错误； 对于④，当向量满足时，有或，所以④错误 故选：A 6．设向量不平行，若向量与平行，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量与平行， 所以，即， 解得 故选：D 二、填空题 7．已知点O是正方形ABCD的中心，若，其中，则 【答案】 【解析】， 所以，因此 故答案为： 8．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为 【答案】矩形 【解析】因为,所以四边形ABCD是平行四边形， 又，所以平行四边形ABCD的对角线相等， 因此该四边形是矩形 故答案为：矩形 9．已知，则的最大值是 . 【答案】 【解析】当同向时，最大，所以 故答案为： 10．已知，则的最小值是 . 【答案】 【解析】当反向时，最小，所以 故答案为： 11．如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式中错误的是 ①； ②；③；④ 【答案】④ 【解析】由数乘向量的定义可以得到①、②、③都是正确的，只有④错误 故答案为：④ 三、解答题 12．如图，四边形OADB是以为邻边的平行四边形，C为OD，AB的交点，且，用表示以下向量： （1）；（2）；（3） 【答案】见解析 【解析】 （1） （2） （3） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第1个专题：平面向量的概念及线性运算。本专题涵盖含有向量的概念、向量的加法、减法及数乘运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 平面向量的概念及线性运算（练习题） 一、选择题 1．已知六个命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②表示相等向量的两个有向线段，若始点相同，则其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④向量与平行，则与方向相同或相反；⑤向量与的长度相等；⑥若，则. 其中，真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 2．已知四个命题：①；②向量与方向相同或相反，则；③若，都是单位向量，则；④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量. 其中，真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．在矩形ABCD中，，则（    ）. A． B． C． D． 5．（    ） A． B． C． D． 6．（    ） A． B． C． D． 7．化简：（    ） A． B． C． D． 8．在矩形ABCD中，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．对于非零向量，“”是“”的 条件 10．化简： . 11．在中，点D为边BC的中点，则 . 三、解答题 12．在边长为1的正三角形ABC中，求： （1）的值； （2）的值 一、选择题 1．如图所示，在菱形ABCD中，若. ①与相等的向量只有一个（不含） ②与的模相等的向量有9个（不含） ③的模恰为模的倍； ④与不平行 其中，真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 2．已知点O为内一点，若，则点O一定是的（ ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 3．设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知四边形ABCD 满足，且，则四边形ABCD是（ ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 5．有四个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若向量满足，则 其中，真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 6．设向量不平行，若向量与平行，则实数（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知点O是正方形ABCD的中心，若，其中，则 8．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为 9．已知，则的最大值是 . 10．已知，则的最小值是 . 11．如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式中错误的是 ①； ②；③；④ 三、解答题 12．如图，四边形OADB是以为邻边的平行四边形，C为OD，AB的交点，且，用表示以下向量： （1）；（2）；（3） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$