专题02 平面向量的内积（练习题）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第2个专题：平面向量的内积。本专题涵盖含有向量内积的定义、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 平面向量的内积（练习题） 一、选择题 1．在中，若，则此三角形为（ ）三角形 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．等腰 2．已知向量，均为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知单位向量，的夹角为，且向量与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 5．已知在三角形ABC中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量与满足，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（ ） A． B． C．或 D． 8．已知，若，则为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，已知，则 10．在中，已知，，则等于 . 三、解答题 11．已知 （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求. 12．已知 （1）若，的夹角为，求； （2）若，求 一、选择题 1．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知非零向量满足，若，则等于（ ） A． B． C． D． 3．对于非零向量，，“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，在直角三角形中，，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知向量，的夹角为45°，且，，则 7．在中，若，则 等于 8．边长为1的等边三角形ABC中，设，，，则 9．若平行四边形ABCD满足，，则该四边形一定是 . 10．已知向量，的夹角为，且，则向量与向量的夹角是 . 三、解答题 11．已知平面向量，满足，且，求向量与夹角的正弦值 12．在边长为2的菱形ABCD中，，E为BC的中点，求的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第2个专题：平面向量的内积。本专题涵盖含有向量内积的定义、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 平面向量的内积（练习题） 一、选择题 1．在中，若，则此三角形为（ ）三角形 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．等腰 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以是锐角， 则是锐角三角形 故选：C 2．已知向量，均为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，均为单位向量，且， 所以， 所以 故选：A 3．已知单位向量，的夹角为，且向量与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 因为向量与垂直， 所以，解得 故选：B 4．已知向量，满足，，，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 因为， 所以，即与的夹角是． 故选：C 5．已知在三角形ABC中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与的夹角为，所以 故选：C 6．已知向量与满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 7．已知，且，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】因为， 所以或， 故或 故选：C 8．已知，若，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， 所以 化简得，解得 故选： A 二、填空题 9．在中，已知，则 【答案】 【解析】 故答案为： 10．在中，已知，，则等于 . 【答案】 【解析】由， 得，，， 所以 故答案为： 三、解答题 11．已知 （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求. 【答案】见解析 【解析】（1）当时，若，同向，则 若，反向，则 （2）当时， （3）当时， 12．已知 （1）若，的夹角为，求； （2）若，求 【答案】见解析 【解析】（1）， （2）因为， 即 ， 解得 一、选择题 1．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， 故 所以 故选：A 2．已知非零向量满足，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 又因为为非零向量，所以 故选：A 3．对于非零向量，，“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】因为， 所以 故选：C 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以 故， 因为， 所以，即与的夹角是． 故选：B 5．如图所示，在直角三角形中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A 二、填空题 6．已知向量，的夹角为45°，且，，则 【答案】 【解析】，的夹角为45°， 所以 所以 则 故答案为： 7．在中，若，则 等于 【答案】 【解析】 作向量，由 知，是等边三角形， 所以， 所以 故答案为： 8．边长为1的等边三角形ABC中，设，，，则 【答案】 【解析】在三角形ABC中，， 所以 故答案为： 9．若平行四边形ABCD满足，，则该四边形一定是 . 【答案】菱形 【解析】由，即得四边形ABCD是平行四边形， 由得， 故平行四边形的对角线垂直，所以四边形ABCD是菱形 故答案为：菱形 10．已知向量，的夹角为，且，则向量与向量的夹角是 . 【答案】 【解析】由题意得， 设向量与向量的夹角是， 则， 故 ， 再由，可得 故答案为： 三、解答题 11．已知平面向量，满足，且，求向量与夹角的正弦值 【答案】 【解析】因为 所以， 又， 所以 12．在边长为2的菱形ABCD中，，E为BC的中点，求的值 【答案】见解析 【解析】如图所示，设向量， 则，， ，， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$