专题02 平面向量的内积（讲义）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第2个专题：平面向量的内积。本专题涵盖含有向量内积的定义、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 平面向量的内积（讲义） 知识点 平面向量的内积 1．两个向量的夹角 已知两个非零向量和，在平面内任取一点O，作，如图，则为向量和的夹角，记作.规定： 当时，和同向； 当时，和反向； 当时，称和垂直，记作 2．向量的内积（数量积或点积） 已知两个非零向量和，它们的夹角为，数量称为和的内积（数量积或点积），记作，即. 两个向量和的内积是一个实数，规定：零向量与任意向量的内积为0． 3．向量的内积运算律 对于任意向量，任意实数，有： （1）（交换律）. （2）（数乘结合律）. （3）（分配律）. 4．两个向量内积的重要性质 设和为两个非零向量，则有下列常用的性质： （1）垂直的条件：. （2）当和同向时，；当和反向时，. （3）模长公式：或· （4）夹角公式： （5） 1．（2018山东真题）已知两个非零向量，的夹角为锐角，则（   ） A． B． C． D． 2．（2022山东真题）已知向量，的方向相反，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024山东真题），，且，则 . 4．（2024青岛模拟）已知向量和满足，且向量与的夹角为， 则 . 5．（2024济南模拟）已知向量和满足，且向量与的夹角为，求 1．已知正三角形ABC的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 2．已知在三角形ABC中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量与满足，且，则与夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量与满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量与的夹角满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．在锐角三角形ABC中，下列关于向量夹角的说法中正确的是（    ） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角 7．下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知向量，满足，，，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 9．在中，若，则此三角形为（ ）三角形 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．等腰 10．已知，且，则（ ） A． B． C．或 D． 11．已知向量，均为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 12．已知单位向量，的夹角为，且向量与垂直，则实数 . 13．若向量满足，，，则向量与的夹角是 14．在中，若，则等于 . 15．如果，那么 ． 16．已知，若，则为 . 17．若，则等于 . 18．已知向量，，且，若，求： （1）向量与夹角的大小； （2） 19．已知向量，满足，且向量与的夹角为．求： （1）； （2）； （3）. 20．已知向量，满足，且求： （1）向量与夹角的大小； （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第2个专题：平面向量的内积。本专题涵盖含有向量内积的定义、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 平面向量的内积（讲义） 知识点 平面向量的内积 1．两个向量的夹角 已知两个非零向量和，在平面内任取一点O，作，如图，则为向量和的夹角，记作.规定： 当时，和同向； 当时，和反向； 当时，称和垂直，记作 2．向量的内积（数量积或点积） 已知两个非零向量和，它们的夹角为，数量称为和的内积（数量积或点积），记作，即. 两个向量和的内积是一个实数，规定：零向量与任意向量的内积为0． 3．向量的内积运算律 对于任意向量，任意实数，有： （1）（交换律）. （2）（数乘结合律）. （3）（分配律）. 4．两个向量内积的重要性质 设和为两个非零向量，则有下列常用的性质： （1）垂直的条件：. （2）当和同向时，；当和反向时，. （3）模长公式：或· （4）夹角公式： （5） 1．（2018山东真题）已知两个非零向量，的夹角为锐角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为夹角为锐角，所以，则 故选：A 2．（2022山东真题）已知向量，的方向相反，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，向量，的夹角为，所以 故选：C 3．（2024山东真题），，且，则 . 【答案】9 【解析】因为， 所以， 故 故答案为：9 4．（2024青岛模拟）已知向量和满足，且向量与的夹角为， 则 . 【答案】 【解析】 故答案为： 5．（2024济南模拟）已知向量和满足，且向量与的夹角为，求 【答案】见解析 【解析】， ； 1．已知正三角形ABC的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与的夹角为， 故 故选：C 2．已知在三角形ABC中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与的夹角为，所以 故选：C 3．已知非零向量与满足，且，则与夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以，又因为， 所以 故选：D 4．已知向量与满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 5．已知向量与的夹角满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知， 故选：D 6．在锐角三角形ABC中，下列关于向量夹角的说法中正确的是（    ） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角 【答案】C 【解析】如图，对于A，与的夹角为，为钝角，错误； 对于B，与的夹角为，为钝角，错误； 对于C、D，与 的夹角等于，为锐角，C正确，D错误 故选：C 7．下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，若或，故不一定成立，错误； 对于②，成立，正确； 对于③，与共线，与共线，两向量不一定相等，错误； 对于④，，正确. 故选：B 8．已知向量，满足，，，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 因为， 所以，即与的夹角是． 故选：C 9．在中，若，则此三角形为（ ）三角形 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．等腰 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以是钝角， 则是钝角三角形 故选：A 10．已知，且，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】因为， 所以或， 故或 故选：C 11．已知向量，均为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，均为单位向量，且， 所以， 所以 故选：D 12．已知单位向量，的夹角为，且向量与垂直，则实数 . 【答案】 【解析】， 因为向量与垂直， 所以，解得 故答案为： 13．若向量满足，，，则向量与的夹角是 【答案】 【解析】， 因为， 所以，即与的夹角是 故答案为： 14．在中，若，则等于 . 【答案】 【解析】与始点不同，故与的夹角不是60°，而是其补角120°， 所以 故答案为： 15．如果，那么 ． 【答案】 【解析】由可得，且， 所以 故答案为： 16．已知，若，则为 . 【答案】 【解析】依题意， 所以 化简得，解得 故答案为： 17．若，则等于 . 【答案】 【解析】 故答案为： 18．已知向量，，且，若，求： （1）向量与夹角的大小； （2） 【答案】见解析 【解析】 （1）设与的夹角为， 由已知得， 所以， 又因为， 所以. （2）因为， 所以 19．已知向量，满足，且向量与的夹角为．求： （1）； （2）； （3）. 【答案】见解析 【解析】（1） （2） （3） 20．已知向量，满足，且求： （1）向量与夹角的大小； （2） 【答案】见解析 【解析】（1）， 解得， 因为，所以 （2）由题意得， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$