第三章 指数运算与指数函数-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第三章　指数运算与指数函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)=那么f(f(-1))的值是(　　) A.8　　　　B.7　　　　C.6　　　　D.5 2.函数y=的值域为(　　) A.(0,+∞)　　　　B.(0,1)∪(1,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞)　　　　D.(1,+∞) 3.已知10m=2,10n=3,则1=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D. 4.已知f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图象如图所示,a,b为常数,则(　　) A.a>1,b<0　　　　B.a>1,b>0　　　　C.0<a<1,b<0　　　　D.0<a<1,b>0 5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(-∞,2]　　　　B.[2,+∞)　　　　C.[-2,+∞)　　　　D.(-∞,-2] 6.某催化剂的活性指标K(单位:kgPP/gCat)与反应温度t(单位:℃)满足函数关系:K=eat+b(其中a,b为常数,e=2.718 28…是一个无理数).若该催化剂在20 ℃时的活性指标为11 kgPP/gCat,在40 ℃时的活性指标为83 kgPP/gCat,则该催化剂在50 ℃时的活性指标为(　　) A.125 kgPP/gCat　　　　B.225 kgPP/gCat C.245 kgPP/gCat　　　　D.250 kgPP/gCat 7.已知函数f(x)=-ax(a>1),则不等式f(2x2)+f(x-1)<0的解集为(　　) A.(-∞,-1)∪　　　　B. C.∪(1,+∞)　　　　D. 8.设函数f(x)的定义域为R,且f(x)=2f(x+1),当x∈(0,1]时,f(x)=2x,则满足f(x)≤的x的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.∪(4,+∞)　　　　D.∪(4,+∞) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A.=(a>0)　　　　B.=-(x>0) C.=(x>0,y>0)　　　　D.=(x>0) 10.已知函数f(x)=5|x|+5-|x|,则下列说法正确的是(　　) A. f(x)的图象关于y轴对称　　　　B. f(x)的单调递增区间为(-∞,0) C. f(x)的最小值为2　　　　D. f(a2+2)>f(2|a|) 11.已知函数f(x),若存在实数t,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意的实数x恒成立,则称f(x)为“D(t)函数”.下列说法正确的是(　　) A.若f(x)为“D(3)函数”,且f(3)=3,则f(6)=-9 B.若f(x)=x,则f(x)是“D(t)函数” C.若f(x)=ax(a>1)为“D(t)函数”,则t<0 D.若f(x)是“D(2)函数”,且当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则当x∈[2,3)时,f(x)=-2x-1+2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若代数式+有意义,则+=　　　　.  13.已知函数f(x)=-2ax+m+n(m>-2,n>0)的图象所过的定点在一次函数y=2x+1的图象上,则+的最小值为　　　　.  14.已知函数f(x)=若m<n,且f(m)=f(n),则mf(n)的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(1)计算:0.008 +π0-(+×3×; (2)已知a>0且a2x=3,求的值. 16.(15分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1). (1)若f(1)+f(-1)=,求f(2)+f(-2)的值; (2)若函数f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的差为,求实数a的值. 17.(15分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足f(1-a)=f(a-1),h(x)=ax. (1)求函数y=h(2x)-h(x)+1在区间[-2,2]上的值域; (2)若函数y=|h(x)+m|和y=|h(-x)+m|在区间[1,2 023]上的单调性相同,求实数m的取值范围. 18.(17分)设常数a∈R,已知f(x)=2a-x+2x. (1)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)当a=2时,求f(x)<f(x+1)的解集; (3)若存在x∈R,使f ≥4x+4-x+11成立,求证:≥6. 19.(17分)设a,b∈R,若对于函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则对于函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=. (1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称; (2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围. 答案全解全析 1.A　f(-1)=-2×(-1)+1=3,则f(f(-1))=f(3)=23=8. 2.B　函数y=的定义域为{x|x≠1},当x>1时,>0,所以>1; 当x<1时,<0,所以0<<1,所以函数y=的值域为(0,1)∪(1,+∞). 3.D　因为(1)2=103m-2n=103m×10-2n=×=23×3-2=,且1>0,所以==. 4.D　f(x)=ax+b=ab·ax,a>0,a≠1,结合题图可得ab>0,且f(x)单调递减,故0<a<1.当x=0时,f(0)=ab<1=a0,结合0<a<1知b>0. 5.B　由f(1)=a2=,得a=(负值舍去),因此f(x)=. 令u=|2x-4|,则f(x)=即y=.因为y=在R上单调递减,u=|2x-4|的单调递增区间是[2,+∞),所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞). 6.C　由题意可得11=e20a+b,83=e40a+b, 两式作差可得e40a-e20a-72=0,所以(e20a-9)(e20a+8)=0, 则e20a=9或e20a=-8(舍去),故e10a=3,b=2, 所以该催化剂在50 ℃时的活性指标为e50a+2=35+2=245(kgPP/gCat). 7.A　令u=ax,a>1,则函数f(x)=-ax即y=-u(u>0). u=ax在定义域内单调递增,y=-u在定义域内单调递减, 根据复合函数“同增异减”的单调性判断原则知f(x)在定义域内单调递减, 因为f(-x)=ax-=-f(x),f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为奇函数. 因为f(2x2)+f(x-1)<0,所以f(2x2)<-f(x-1)=f(1-x), 所以2x2>1-x,所以x∈(-∞,-1)∪. 8.C　设x∈(k,k+1](k∈N),则x-k∈(0,1],所以f(x-k)=2x-k, 由题意得f(x)=f(x-1),所以f(x)=f(x-2)=…=f(x-k)=2x-2k,x∈(k,k+1](k∈N). 当x∈(k,k+1](k∈N)时,若直线y=与y=f(x)的图象相交,则2k-2k<≤2k+1-2k,即2-k<≤21-k,解得2.5<k≤3.5,又k∈N,所以k=3,即在定义域R上,只有当x∈(3,4]时,直线y=与y=f(x)的图象相交,当x∈(3,4]时,f(x)=2x-6,令2x-6≤=,解得x≤,所以3<x≤, 作出f(x)的部分图象,如图, 结合图象可知,满足f(x)≤的x的取值范围是∪(4,+∞). 9.ACD　对于A,=·(=·==(a>0),故A正确; 对于B,==(x>0),故B错误; 对于C,=(x>0,y>0),故C正确; 对于D,=(=(==(x>0),故D正确. 10.ACD　对于A,f(x)的定义域为R,且f(-x)=5|-x|+5-|-x|=5|x|+5-|x|=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,A正确; 对于B,f(x)=5|x|+5-|x|=即f(x)=5x+5-x,x∈R, 根据对勾函数的性质可得函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,B不正确; 对于C,f(x)=5|x|+5-|x|≥2=2,当且仅当5|x|=5-|x|,即x=0时等号成立,故f(x)的最小值为2,C正确; 对于D,当x>0时,5|x|>1,f(x)=5|x|+5-|x|=5|x|+, 根据对勾函数的性质可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又a2+2>0,2|a|≥0,a2+2=a2+1+1≥2|a|+1>2|a|,所以f(a2+2)>f(2|a|),D正确. 11.ACD　对于A,若f(x)为“D(3)函数”,则f(x+3)+3f(x)=0, 当x=3时,f(6)+3f(3)=0, 因为f(3)=3,所以f(6)=-3f(3)=-9,故A正确; 对于B,假设f(x)是“D(t)函数”,则x+t+tx=0,即x(1+t)+t=0,此时不存在t满足该式对任意的实数x恒成立,假设不成立,故B错误; 对于C,f(x)=ax(a>1)为“D(t)函数”,即f(x+t)+tf(x)=ax+t+tax=ax·(at+t)=0对任意的实数x恒成立, 因为ax>0,at>0,所以at+t=0,即t=-at<0,则t<0,故C正确; 对于D,若f(x)是“D(2)函数”,则f(x+2)+2f(x)=0,即f(x+2)=-2f(x),对任意的实数x恒成立, 当x∈[2,3)时,x-2∈[0,1),所以f(x-2)=2x-2-1,则f(x)=-2f(x-2)=-2x-1+2,故D正确. 12.答案　1 解析　由题意可知∴1≤x≤2, ∴+=+=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1. 13.答案　 解析　令x+m=0,得x=-m,故函数f(x)的图象经过定点(-m,n-2),则n-2=-2m+1,所以2(m+2)+n=7,故[2(m+2)+n]=8++≥8+2=16, 当且仅当=,即m=-,n=时等号成立, 故+的最小值为. 14.答案　 解析　当x<1时,f(x)=3x+4单调递增,且f(x)<7, 当x≥1时,f(x)=3x-2单调递增,且f(x)≥1, 令3x+4=1,解得x=-1,令3x-2=7,解得x=2, 画出f(x)=的图象,如图, 若m<n,且f(m)=f(n),则3m+4=3n-2, 所以mf(n)=m(3n-2)=m(3m+4)=3-,-1≤m<1, 当m=-时,mf(n)=3-取得最小值,最小值为-, 又m=-1时,mf(n)=-1,m=1时,mf(n)=7, 故mf(n)=3-∈. 15.解析　(1)原式=(0.34+1-+×3××× =0.3+1-2+3×3×20=8.3.(6分) (2)∵a2x=3,∴a-2x=, ∴==a2x+1+a-2x=.(13分) 16.解析　(1)∵f(x)=ax,∴f(1)+f(-1)=a+=,(2分) 解得a=2或a=,(3分) 当a=2时,f(x)=2x,∴f(2)+f(-2)=22+2-2=,(5分) 当a=时,f(x)=,∴f(2)+f(-2)=+=,(7分) 故f(2)+f(-2)=.(8分) (2)当a>1时,f(x)=ax在[-1,1]上单调递增, ∴f(x)max-f(x)min=f(1)-f(-1)=a-a-1=,(10分) 化简得3a2-8a-3=0,解得a=-(舍去)或a=3.(11分) 当0<a<1时,f(x)=ax在[-1,1]上单调递减, ∴f(x)max-f(x)min=f(-1)-f(1)=a-1-a=,(13分) 化简得3a2+8a-3=0,解得a=-3(舍去)或a=.(14分) 综上,a的值为3或.(15分) 17.解析　(1)当0<a<1时,41-a=21,解得a=, 当a>1时,22a-1=4a-1,无解, 故a=.(2分) 所以h(x)=,则y=h(2x)-h(x)+1=-+1.(4分) 令t=,因为x∈[-2,2],所以t∈, 故y=-+1即y=t2-t+1=+,t∈,(6分) 当t=时,ymin=,当t=4时,ymax=13. 故函数y=h(2x)-h(x)+1在区间[-2,2]上的值域为.(8分) (2)函数h(x)=在R上单调递减,函数h(-x)=2x在R上单调递增. 由题意得函数y=+m与函数y=|2x+m|在区间[1,2 023]上同增或者同减.(10分) ①若两函数在区间[1,2 023]上均单调递增,则在区间[1,2 023]上恒成立, 故解得-2≤m≤-;(12分) ②若两函数在区间[1,2 023]上均单调递减,则在区间[1,2 023]上恒成立, 故该不等式组无解.(14分) 综上,实数m的取值范围是.(15分) 18.解析　(1)若a=0,则f(x)=2-x+2x,其定义域为R,且f(-x)=2x+2-x=f(x),所以f(x)为偶函数,(1分) 设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(+)-(+)=,(2分) 因为0≤x1<x2,所以1≤<,>1,则-<0,-1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,(4分) 结合偶函数图象的对称性可知函数f(x)在(-∞,0]内单调递减, 所以函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞)(或(0,+∞)).(5分) (2)若a=2,则f(x)=22-x+2x, 因为f(x)<f(x+1),所以22-x+2x<21-x+2x+1,(7分) 整理可得22x>2,则2x>1,解得x>,(9分) 所以f(x)<f(x+1)的解集为.(10分) (3)证明:f ≥4x+4-x+11,即+≥4x+4-x+11,(11分) 令t=2x+2-x,由(1)可知t≥20+20=2, 则+=·t,4x+4-x=t2-2,(13分) 所以·t≥t2+9(t≥2),所以≥t+(t≥2), 原问题等价于≥t+在[2,+∞)内有解,(15分) 又因为t+≥2=6,当且仅当t=,即t=3时,等号成立, 所以≥6,故得证.(17分) 19.解析　(1)证明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞), ∴g(-2-x)=. ∴g(x)+g(-2-x)=+=10,(3分) 即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立,∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(5分) (2)g(x)==5-,易知g(x)在上单调递增, ∴g(x)在上的值域为[-1,4]. 记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A. 若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,则A⊆[-1,4]. ∵当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1, ∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心(1,2).(7分) ①当≤0,即m≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递增,∴函数h(x)在[0,2]上单调递增. 易知h(0)=m+1.又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m, 则A=[m+1,3-m]. 由A⊆[-1,4],得解得m≥-1,又m≤0,∴-1≤m≤0.(10分) ②当0<<1,即0<m<2时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增.由对称性知,h(x)在上单调递增,在上单调递减. 结合对称性,知A=[h(2),h(0)]或A=.∵0<m<2,∴h(0)=m+1∈(1,3).又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m∈(1,3).易知当m∈(0,2)时,h=-+m+1∈(1,2).又h+h=4,∴h∈(2,3),∴当0<m<2时,A⊆[-1,4]恒成立.(13分) ③当≥1,即m≥2时,函数h(x)在[0,1]上单调递减.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递减,∴函数h(x)在[0,2]上单调递减. 易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m, 则A=[3-m,m+1]. 由A⊆[-1,4],得解得m≤3,又m≥2,∴2≤m≤3.(16分) 综上可知,实数m的取值范围为[-1,3].(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$