第一章 预备知识-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第一章　预备知识 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知命题p:∀x0∈R,-x0+≤0,则命题p的否定为(　　) A.∃x0∈R,-x0+>0　　　　B.∃x0∈R,-x0+≤0 C.∀x∈R,x2-x+≤0　　　　D.∀x0∈R,-x0+>0 2.若全集U=R,集合M=x≤0,N={y|y=x2+1},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|0<x<1}　　　　B.{x|0≤x<1} C.{x|0<x≤1}　　　　D.{x|0≤x≤1} 3.下列命题是真命题的是(　　) A.若x,y∈R且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1 B.∀x∈R,x<x2 C.a+b=0的充要条件是=-1 D.∃x∈R,x2+2≤0 4.给出下面三个推导过程: ①因为a,b是正实数,所以+≥2=2; ②因为a∈R,且a≠0,所以+a≥2=4; ③因为x,y∈R,xy<0,所以+=-≤-2=-2. 其中正确的推导为(　　) A.①②　　　　B.②③　　　　 C.①③　　　　D.①②③ 5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},则关于x的不等式>0的解集为(　　) A.{x|x<-2或x>1}　　　　B.{x|1<x<2} C.{x|x<-1或x>2}　　　　D.{x|-1<x<2} 6.已知2枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和大于8元,而1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和小于5元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是(　　) A.2枝玫瑰的价格高　　　　B.3枝康乃馨的价格高 C.价格相同　　　　D.不确定 7.已知a>1,b>,且2a+b=3,则+的最小值为(　　) A.1　　　　B.　　　　 C.9　　　　D. 8.已知集合A={a1,a2,…,an},任取1≤i≤j<k≤n,若ai+aj∈A,aj+ak∈A,ai+ak∈A中至少有一个成立,则n的最大值为(　　) A.3　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.9 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知a,b,c为实数,则下列判断中正确的是(　　) A.若<,则a<b　　　　 B.若ac>bc,则a>b C.若a>b,c>d,则a+c>b+d　　　　 D.若a<b<0,则> 10.下列说法中错误的有(　　) A.命题p:∃x∈R,x2+3x+4<0,则命题p的否定是∀x∈R,x2+3x+4>0 B.“|x|>|y|”是“x>y”的必要不充分条件 C.命题“∀x∈Z,x2>0”是真命题 D.“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根一负根”的一个充分不必要条件是“m<-1” 11.记max{a,b}=已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,则(　　) A.xy的最大值为18　　　　 B.x+2y的最大值为12 C.x+y的最小值为8-3　　　　 D.max{x+2,2y+2}的最小值为8 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知命题p:∀x∈R,x2+2x+a≥0,若命题p的否定为真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  13.已知集合A={1,3,a2},B={1,|a+2|},若A∪B=A,则实数a=　　　　.  14.当x>0时,关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,则b+的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合A=x≤0,B={x|2m+3≤x≤m+1}. (1)若m=-4,求A∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 16.(15分)已知a,b,c∈R且a>0,b>0,c>0. (1)若ab=1,求++的最小值; (2)若a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤. 17.(15分)有一份矩形的宣传单如图所示,其排版面积(图中矩形ABCD的面积)为P cm2,左、右两边都留有宽为a cm的空白,顶部和底部都留有宽为2a cm的空白. (1)若AB=20 cm,BC=30 cm,且该宣传单的面积不超过1 000 cm2,则a的最大值是多少? (2)若a=2,P=800,则当AB的长为多少时,宣传单的面积最小?最小的面积是多少? 18.(17分)已知函数y=ax2+x-a,a∈R. (1)若不等式y≥b-1的解集为{x|x≥1或x≤-2},求a+b的值; (2)若命题“∀x∈R,y>-2x2-3x+1-2a”为真命题,求实数a的取值范围; (3)若a<0,解关于x的不等式ax2+x-a>1. 19.(17分)若集合A具有以下性质: ①0∈A,1∈A; ②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A, 则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由; (2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A; (3)设集合A是“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A; 命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有∈A. 答案全解全析 1.A　 2.A　由≤0得解得0<x≤3,所以M={x|0<x≤3}, 由y=x2+1≥1,得N={y|y≥1}, 题图中阴影部分表示的集合为M∩(∁UN),即{x|0<x<1}. 3.A　对于A选项,假设x,y都不大于1,即x≤1且y≤1,由不等式的性质可得x+y≤2,与题设矛盾,假设不成立,故原命题为真命题; 对于B选项,当x=1时,x=x2,故原命题是假命题; 对于C选项,若a=b=0,则无意义,即a+b=0⇒/ =-1,故原命题是假命题; 对于D选项,∀x∈R,x2+2>0,故原命题是假命题. 4.C　①因为a,b是正实数,所以,是正实数,符合基本不等式的条件,又当且仅当a=b时取等号,故①中推导正确; ②a∈R,且a≠0不符合基本不等式的条件,所以②中推导错误; ③由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将+整体提出负号后,-,-均为正数,符合基本不等式的条件,又当且仅当|x|=|y|时取等号,故③中推导正确. 5.D　因为关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},所以关于x的方程ax-b=0的根为x=1,且a<0,所以a-b=0,即b=a, 故不等式>0,即>0,等价于<0,解得-1<x<2. 因此不等式>0的解集为{x|-1<x<2}. 6.A　设1枝玫瑰x元,1枝康乃馨y元,则即 设2x-3y=m(2x+y)+n(-x-y)=(2m-n)x+(m-n)y,所以解得所以2x-3y=5(2x+y)+8(-x-y)>5×8+8×(-5)=0,所以2x>3y,所以2枝玫瑰的价格高. 7.C　∵a>1,b>,且2a+b=3,∴a-1>0,2b-1>0,4(a-1)+(2b-1)=1, 故+=[4(a-1)+(2b-1)] =4+++1≥5+2=5+4=9, 当且仅当=,2a+b=3,即a=,b=时等号成立. 8.C　不妨设a1>a2>…>an,若集合A中的正数个数不小于4,取(i,j,k)=(1,2,3),可得a2+a3=a1,取(i,j,k)=(1,2,4),可得a2+a4=a1,此时a3=a4,不符合集合中元素的互异性,因此集合A中的正数至多有3个,同理,集合A中的负数至多有3个. 又考虑A={3,2,1,0,-1,-2,-3},符合题意,所以n的最大值为7. 9.ACD　对于A,因为<,且c2>0,所以a<b,故A正确; 对于B,当c<0时,若ac>bc,则a<b,故B错误; 对于C,若a>b,c>d,则a+c>b+d,故C正确; 对于D,若a<b<0,则>,故D正确. 10.ABC　对于A,命题p的否定为∀x∈R,x2+3x+4≥0,A中说法错误; 对于B,当x=-2,y=1时,|x|=2,|y|=1,满足|x|>|y|,但是x<y,反之,当x>y时,例如x=1,y=-2,此时|x|=1,|y|=2,|x|<|y|,所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,B中说法错误; 对于C,当x=0时,x∈Z,但x2=0,不满足x2>0,所以该命题是假命题,C中说法错误; 对于D,若方程x2-2x+m=0有一正根一负根,则Δ=4-4m>0,且m<0,所以m<0,因为m<-1⇒m<0,但m<0⇒/m<-1,所以“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根一负根”的一个充分不必要条件是“m<-1”,D中说法正确. 11.ACD　由题意得xy=30-(x+2y)≤30-2,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时等号成立,令t=,则解得0<t≤3,所以0<xy≤18,故A正确;x+2y=30-xy,所以12≤x+2y<30,故B错误;由x+2y+xy=30得x==-2,所以x+y=+(y+1)-3≥2-3=8-3,当且仅当=y+1,即y=4-1时,等号成立,故C正确;max{x+2,2y+2}=由反比例函数和一次函数的性质,可知当y=3时,其有最小值,且最小值为8,故D正确. 12.答案　a<1 解析　命题p的否定为∃x∈R,x2+2x+a<0, 因为命题p的否定为真命题,所以Δ=22-4a>0,解得a<1, 即实数a的取值范围是a<1. 13.答案　2或-5 解析　因为A∪B=A,所以B⊆A,所以|a+2|=3或|a+2|=a2, 当|a+2|=3时,a=-5或a=1, 若a=-5,则A={1,3,25},B={1,3},满足要求; 若a=1,则a2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去. 当|a+2|=a2时,a=-1或a=2, 若a=-1,则a2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去; 若a=2,则A={1,3,4},B={1,4},满足要求. 综上,a的取值为2或-5. 14.答案　4 解析　由题意可得a≠0, 当a<0时,由x>0可得ax-1<0, ∵关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,∴x2+bx-4≤0在(0,+∞)上恒成立, ∵函数y=x2+bx-4的图象是开口向上的抛物线,∴x2+bx-4≤0在(0,+∞)上不恒成立,故舍去; 当a>0时,若x>,则ax-1>0,此时x2+bx-4≥0,若0<x<,则ax-1<0,此时x2+bx-4≤0,即为函数y=x2+bx-4的图象与x轴交点的横坐标,∴+-4=0,解得b=4a-, ∴b+=4a+≥2=4,当且仅当4a=,即a=时等号成立,故b+的最小值为4. 15.解析　(1)A=x≤0=x-4≤x<-,(2分) 当m=-4时,B={x|2m+3≤x≤m+1}={x|-5≤x≤-3},(3分) 所以A∩B={x|-4≤x≤-3}.(5分) (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以B⫋A.(7分) ①当B=⌀时,2m+3>m+1,解得m>-2,成立;(9分) ②当B≠⌀时,2m+3≤m+1,即m≤-2, 则解得-≤m<-.(12分) 综上,实数m的取值范围为m-≤m<-或m>-2.(13分) 16.解析　(1)因为ab=1,a>0,b>0, 所以++=+=a+b+≥4,(4分) 当且仅当即a=b=1时取等号. 所以++的最小值为4.(7分) (2)证明:因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc, 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac,当且仅当a=b=c时等号成立,(9分) 将a+b+c=1两边平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1, 所以ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac≤1,(13分) 所以ab+bc+ac≤,当且仅当a=b=c=时取等号.(15分) 17.解析　(1)由宣传单的面积不超过1 000 cm2,可得(20+2a)(30+4a)≤1 000,(3分) 化简得2a2+35a-100≤0,即(2a-5)(a+20)≤0,(5分) 解得-20≤a≤,(7分) 又a>0,所以0<a≤,故a的最大值为.(8分) (2)设AB=x cm(x>0),则BC= cm,设宣传单的面积为S cm2,(10分) 则S=(x+4)=8x++832≥832+2=1 152,(13分) 当且仅当8x=,即x=20时取等号.(14分) 所以当AB的长为20 cm时,宣传单的面积最小,最小的面积是1 152 cm2.(15分) 18.解析　(1)由不等式y≥b-1的解集为{x|x≥1或x≤-2}, 可得方程ax2+x-a-b+1=0的根为-2和1,且a>0,(2分) 由根与系数的关系可得-2+1=-,-2×1=,(4分) 解得a=1,b=2,所以a+b=3.(5分) (2)若该命题为真命题,则(a+2)x2+4x+a-1>0在x∈R上恒成立,(6分) 当a=-2时,显然不满足条件,(7分) 当a≠-2时,可得解得a>2.(9分) 综上,a的取值范围为(2,+∞).(10分) (3)由题得ax2+x-a-1>0,即(x-1)<0,(11分) 当1<-1-,即-<a<0时,不等式的解集为x1<x<-1-;(13分) 当1=-1-,即a=-时,不等式的解集为⌀;(14分) 当1>-1-,即a<-时,不等式的解集为x-1-<x<1.(16分) 综上,-<a<0时,不等式的解集为x1<x<-1-;a=-时,不等式的解集为⌀;a<-时,不等式的解集为x-1-<x<1.(17分) 19.解析　(1)集合B不是“好集”. (1分) 理由:假设集合B是“好集”. 因为-1∈B,1∈B,所以由“好集”的性质得-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾.所以集合B不是“好集”.(3分) 有理数集Q是“好集”.(4分) 理由:因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(6分) (2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A. 若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.(8分) (3)命题p,q均为真命题.理由如下:(9分) 任取x,y∈A,当x,y中有0或1时,显然xy∈A. 当x,y均不为0,1时,由定义可知x-1,,∈A,所以-∈A, 即∈A,所以x(x-1)∈A.(11分) 由(2)可得x(x-1)+x∈A,即x2∈A.同理可得y2∈A.(13分) 若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A.若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A. 所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,所以∈A.(15分) 由(2)可得=+∈A,所以xy∈A. 综上可知,xy∈A,即命题p为真命题.(16分) 若x,y∈A,且x≠0,则∈A,所以=y·∈A,即命题q为真命题.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$