第6章 统计学初步-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（湘教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第6章　统计学初步 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.要完成下列两项调查:(1)某社区有100户高收入家庭,210户中等收入家庭,90户低收入家庭,从中抽取100户调查有关消费者购买力的某项指标;(2)从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查其学习情况.应采用的抽样方法分别是(　　) A.(1)用简单随机抽样,(2)用分层抽样 B.(1)(2)都用简单随机抽样 C.(1)用分层抽样,(2)用简单随机抽样 D.(1)(2)都用分层抽样 2.总体由编号为01,02,…,30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体,选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(　　) 1712　1340　3320　3826　1389　5103　7417　7637 1304　0774　2119　3056　6218　3735　9683　5087 A.20　　　　B.26　　　　C.17　　　　D.03 3.某校高一、高二、高三的学生人数分别为800,750,650,为了解学生的视力情况,现用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调查,若样本中高二年级学生的人数为30,则这次调查的样本容量为(　　) A.88　　　　B.90　　　　C.92　　　　D.94 4.一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分.若样本中数据在[0.2,0.8)内的频率为0.75,则样本中的数据在[0.4,0.8)内的个数为(　　) A.225　　　　B.295　　　　C.235　　　　D.305 5.有一组样本数据x1,x2,…,x6(其中x1是最小值,x6是最大值)的平均数为,方差为s2,中位数为x',则(　　) A.2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的平均数为2 B.2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的方差为s2 C.2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的中位数为2x'+1 D.2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的极差为x6-x1 6.某省普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考).其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数,由高到低进行排序,评定为A,B,C,D,E五个等级.某高中2022年参加“选择考”的总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍,为了更好地分析该校学生“选择考”的水平,统计了该校2020年和2022年“选择考”的成绩等级结果,得到统计图,如图所示.针对该校“选择考”情况,2022年与2020年相比较,下列说法正确的是(　　) 　 A.获得A等级的人数减少了　　　　B.获得B等级的人数增加了1.5倍 C.获得D等级的人数减少了一半　　　　D.获得E等级的人数相同 7.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有1 000辆汽车通过该站,现随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析,根据分析的结果制作的频率分布直方图如图所示,据此估计该时段内汽车通过该站的车速数据的中位数、平均数分别为(　　) A.85,85　　　　B.85,84.6　　　　C.84,85　　　　D.84,84.6 8.若某同学连续三次考试的名次(第一名记为1,第二名记为2,以此类推,且可以有名次并列的情况)均不超过3,则称该同学为班级的尖子生.根据下列甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据,推断一定不是尖子生的是(　　) A.甲同学:平均数为2,中位数为2　　　　B.乙同学:平均数为2,方差小于1 C.丙同学:中位数为2,众数为2　　　　D.丁同学:众数为2,方差大于1 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图,月度同比指的是与去年同期相比,图中纵坐标为增速百分比.就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言,以下说法正确的是(　　) A.12个月的月度同比增速百分比的中位数为1% B.12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0 C.图中前6个月的月度同比增速百分比的波动比后6个月大 D.共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值 10.在某知识竞赛中,对某校的2 000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],若同一组中数据用该组区间中间值作为代表,则下列说法中正确的是(　　) A.考生竞赛成绩的平均分为72.5分 B.若60分以下视为不及格,则这次知识竞赛的及格率为75% C.分数在区间[60,70)内的频率为0.2 D.用样本量比例分配的分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本,则成绩在区间[70,80)内的应抽取30人 11.已知互不相同的30个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,设剩下的28个样本数据的方差为,平均数为;去掉的两个数据的方差为,平均数为;原样本数据的方差为s2,平均数为,若=,则下列说法正确的是(　　) A.= B.15s2=14+ C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D.剩下28个数据的第22百分位数不等于原样本数据的第22百分位数 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.数据20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22的第70百分位数为　　　　.  13.某同学欲参加学校运动会的两百米赛跑.已知该同学在赛前的五次训练中,两百米跑耗时分别为26 s,24 s,27 s,25 s,23 s,若该同学在比赛前再进行两次加训,且加训后的平均成绩不变,七次训练所耗时长的方差不超过2,则第一次加训两百米跑耗时(单位:s)的取值范围为　　　　　　　　.  14.在对某中学高一年级学生身高的调查中,采用分层抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生20人,其平均数和方差分别为170和10,抽取了女生30人,其平均数和方差分别为160和15,则总样本的方差为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)某校高中年级举办科技节活动,开设A,B两个会场,其中每个同学只能去一个会场,且25%的同学去A会场,剩下的同学去B会场.已知A,B会场所去的学生的年级及比例情况如下表: 会场 高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x,y,z,利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本. (1)求x∶y∶z的值; (2)若抽到的B会场的高二学生有75人,求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数. 16.(15分)某稻谷试验田试种了A,B两个品种的水稻各10亩,并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表,记A,B两个品种各10亩产量(单位:10 kg)的平均数分别为和,方差分别为和. A产量/10 kg 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64 B产量/10 kg 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70 (1)分别求这两个品种产量(单位:10 kg)的极差和中位数; (2)求,,,; (3)依据以上计算结果进行分析,推广种植A品种还是B品种水稻更合适. 17.(15分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量数据得到频率分布直方图如图所示. (1)补全频率分布直方图; (2)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表,据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2; (3)当一件产品的质量指标值位于(80,122.5)时,认为该产品为合格品,求样本中的产品为合格品的频率. 18.(17分)一个经销鲜花产品的微店为保障售出的百合花品质,每天从某鲜花基地空运固定数量的百合花,若当天销售的百合花有剩余,则免费分赠给第二天购花的顾客,若当天销售的百合花数量不足,则从本地鲜花供应商处进货.今年四月的前10天,微店百合花的售价为2元每枝,某鲜花基地空运来的百合花每枝进价为1.6元,本地鲜花供应商处的百合花每枝进价为1.8元,微店这10天的订单中百合花的日需求量(单位:枝)依次为251,255,231,243,263,241,265,255,244,252. (1)求今年四月前10天订单中百合花日需求量的众数和平均数,并完成频率分布直方图; (2)预计四月的后20天,订单中百合花日需求量的频率分布与四月前10天相同,百合花进货价格与售价均不变,请根据(1)中频率分布直方图判断,微店每天从某鲜花基地空运250枝还是255枝百合花,才能使四月后20天百合花的销售总利润更大.(同一组中的需求量数据用该组区间的组中值作代表) 19.(17分)某市为了制订合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样,获得200户居民的年用水量(单位:t)数据,按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组,绘制成频率分布直方图(如图所示). (1)求频率分布直方图中t的值; (2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过m t,求m的值; (3)已知该市有100万户居民,规定:每户居民年用水量不超过50 t的正常收费,若超过50 t,则超出的部分每吨收1元水资源改善基金,请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数.(每组数据以所在区间的中点值为代表) 答案与解析 1.C 2.D　选出来的个体编号依次为12,13,20,26,03,所以选出来的第5个个体的编号为03. 3.A　设样本容量为x,则=,解得x=88. 4.C　因为数据在[0.2,0.8)内的频率为0.75,所以数据在[0.2,0.8)内的频数为600×0.75=450, 故样本中数据在[0.4,0.8)内的个数为450-95-120=235. 5.C　对于A,由平均数的性质得2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的平均数为2+1,错误; 对于B,由方差的性质得2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的方差为22×s2=4s2,错误; 对于C,2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的中位数为2x'+1,正确; 对于D,2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的极差为2(x6-x1),错误. 6.B　设2020年参加“选择考”的总人数为a(a>0),则2022年参加“选择考”的总人数为2a. 2020年评定为A,B,C,D,E五个等级的人数分别为0.28a,0.32a,0.30a,0.08a,0.02a; 2022年评定为A,B,C,D,E五个等级的人数分别为0.48a,0.80a,0.56a,0.12a,0.04a. 由此可知获得A等级的人数增加了,故A错误; 由于=1.5,所以获得B等级的人数增加了1.5倍,故B正确; 获得D等级的人数增加了,故C错误; 获得E等级的人数增加了1倍,故D错误. 7.B　易知中位数在[80,90)内,设为t,则0.1+0.2+×0.4=0.5,解得t=85.平均数的估计值为频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的和,即65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.24+105×0.06=84.6. 8.D　甲同学名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,由中位数为2得三次考试名次均不超过3,故甲是尖子生;乙同学名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,由方差小于1得三次考试名次均不超过3,故乙是尖子生;丙同学名次数据的中位数为2,众数为2,说明三次考试中至少有两次名次为2,故丙可能是尖子生;丁同学名次数据的众数为2,说明某两次名次为2,设剩余一次名次为x,经验证,当x=1,2,3时,方差均小于1,故x>3,故丁一定不是尖子生. 9.AC　由题中折线图可得12个月的月度同比增速百分比(%)由小到大依次为-11.1,-6.7,-5.9,-3.5,-1.8,-0.5,2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7. 对于A,12个月的月度同比增速百分比(%)的中位数为=1,故A正确; 对于B,因为×[(-11.1)+(-6.7)+(-5.9)+(-3.5)+(-1.8)+(-0.5)+2.5+2.7+3.1+3.5+5.4+6.7]=-<0, 所以12个月的月度同比增速百分比(%)的平均值小于0,故B错误; 对于C,由题中折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动,然后渐渐趋于稳定,后6个月的波动整体较小, 所以前6个月的月度同比增速百分比的波动比后6个月大,故C正确; 对于D,-≈-0.47,大于-0.47的有2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7,共有6个, 所以共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值,故D错误. 10.AC　对于A,平均分为0.05×45+0.15×55+0.2×65+0.3×75+0.2×85+0.1×95=72.5(分),正确; 对于B,大于60分的频率为(0.02+0.03+0.02+0.01)×10=0.8, 所以这次知识竞赛的及格率为80%,错误; 对于C,分数在区间[60,70)内的频率为0.02×10=0.2,正确; 对于D,分数在区间[70,80)内的频率为0.03×10=0.3,所以成绩在区间[70,80)内的应抽取0.3×200=60人,错误. 11.ABD　对于A,剩下的28个样本数据的和为28,去掉的两个数据的和为2,原样本数据的和为30,所以28+2=30,因为=,所以=,故A正确; 对于B,设x1<x2<x3<…<x29<x30,=[++…+], 因为==,所以=[+], 所以28+2=+++…++=30s2, 所以15s2=14+,故B正确; 对于C,剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数,故C错误; 对于D,30×22%=6.6,所以原数据的第22百分位数为从小到大排列后的第7个,28×22%=6.16,所以剩下28个数据的第22百分位数为从小到大排列后的第7个, 因为去掉了最小值,且各数据互不相同,则剩下28个数据的第22百分位数不等于原样本数据的第22百分位数,故D正确. 12.答案　28 解析　把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35, 因为有12个数据,12×70%=8.4,不是整数,所以数据的第70百分位数为第9个数,即28. 13.答案　[25-,25+] 解析　前五次训练中,两百米跑的平均耗时为=25(s). 所以若设第一次加训两百米跑的耗时为x s,则第二次加训两百米跑的耗时为(50-x)s, 则七次训练中,两百米跑耗时的方差s2=≤2, 解得25-≤x≤25+.故x∈[25-,25+]. 14.答案　37 解析　由题意得总样本的平均数为×170+×160=164, 故总样本的方差为×[10+(170-164)2]+×[15+(160-164)2]=37. 15.解析　(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c, 则去A会场的学生人数为0.25(a+b+c), 去B会场的学生人数为0.75(a+b+c),(3分) 则对应人数如表: 会场 高一 高二 高三 A会场 0.125(a+b+c) 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c) B会场 0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c) 0.075(a+b+c) 则x∶y∶z=0.425(a+b+c)∶0.475(a+b+c)∶0.1(a+b+c)=17∶19∶4.(6分) (2)依题意得,n×0.75×0.5=75,解得n=200,(8分) 故抽到的A会场的学生人数为50,(10分) 抽到的A会场高一年级人数为50×50%=25,高二年级人数为50×40%=20,高三年级人数为50×10%=5.(13分) 16.解析　(1)由题表中数据可知,A品种的产量(单位:10 kg)从小到大排列为50,60,63,63,63,64,71,75,76,85,故A品种的极差为85-50=35,中位数为=63.5;(2分) B品种的产量(单位:10 kg)从小到大排列为56,60,62,62,63,68,70,75,76,78,B品种的极差为78-56=22,中位数为=65.5.(4分) (2)由题意得==67,(6分) ==67,(8分) =×[(60-67)2+(63-67)2+…+(64-67)2]=88,(10分) =×[(56-67)2+(62-67)2+…+(70-67)2]=51.2.(12分) (3)结合(2)知A,B两个品种水稻的产量平均数一样,但是B的方差较小,较稳定,所以推广B品种水稻更合适.(15分) 17.解析　(1)由频率分布直方图得[95,105)对应的频率为1-(0.006+0.026+0.022+0.008)×10=0.38,(3分) 由此补全频率分布直方图如图: (6分) (2)=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100,(8分) s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+02×0.38+102×0.22+202×0.08=104.(11分) (3)质量指标值位于(80,122.5)的频率为×0.006×10+(0.026+0.038+0.022)×10+×0.008×10=0.95.(14分) 故样本中的产品为合格品的频率为0.95.(15分) 18.解析　(1)四月前10天订单中百合花日需求量的众数为255枝,(1分) 平均数为×(251+255+231+243+263+241+265+255+244+252)=250(枝).(3分) 频率分布直方图如图: (5分) (2)设订单中百合花日需求量为a枝,由(1)中频率分布直方图知,a的可能取值为235,245,255,265,相应的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2, 故后20天中a的值为235,245,255,265时相应的天数分别为2,6,8,4.(7分) ①若空运250枝百合花,则 当a=235时,当日利润为235×2-250×1.6=70(元), 当a=245时,当日利润为245×2-250×1.6=90(元), 当a=255时,当日利润为255×2-250×1.6-5×1.8=101(元), 当a=265时,当日利润为265×2-250×1.6-15×1.8=103(元), 则20天的总利润为70×2+90×6+101×8+103×4=1 900(元).(11分) ②若空运255枝百合花,则 当a=235时,当日利润为235×2-255×1.6=62(元), 当a=245时,当日利润为245×2-255×1.6=82(元), 当a=255时,当日利润为255×2-255×1.6=102(元), 当a=265时,当日利润为265×2-255×1.6-10×1.8=104(元), 则20天的总利润为62×2+82×6+102×8+104×4=1 848(元).(15分) 因为1 900>1 848,所以每天从某鲜花基地空运250枝百合花,才能使四月后20天百合花的销售总利润更大.(17分) 19.解析　(1)由题中频率分布直方图得10×(0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1,解得t=0.015.(3分) (2)由题中频率分布直方图得, 前4组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22=0.48,前5组频率之和为0.48+0.24=0.72,所以40<m<50,(9分) 由=,解得m=45.(12分) (3)由题可知在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]内的居民年用水量(单位:t)分别取55,65,75,85为代表,则他们的年用水量分别超出5 t,15 t,25 t,35 t,(14分) 则106×(0.15×5+0.07×15+0.03×25+0.03×35)=3.6×106(元), 所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数为3.6×106元.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$