6.1.1复数的概念 课件-2025-2026学年高二下学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

第六章　复数 6.1　复数的概念和意义 6.1.1　复数的概念 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 1．理解复数的有关概念，掌握复平面内复数的几何意义． 2．会求复数的模，能判断两个复数是否相等、是否互为共轭复数． 3．会对两个复数做加、减和乘法运算，了解复数加法和减法的几何意义．　　　　　　　　　　　　　　 4．会在复数范围内求解实系数一元二次方程． 本章从一元二次方程的求解中引入了虚数单位，给出了复数的概念，并对数系做了进一步的扩张．主要内容是复数的概念，复数的运算和复数的应用．学习的重点是复数的模，共轭复数，复数相等，复数的加法、减法和乘法运算，复数的几何意义，复数加法和减法的几何意义，实系数一元二次方程的解法．学习时要重视基础，力求基本概念清楚、基本运算熟练，避免解过难、过繁的题目． 序号 学习目标 1 了解虚数单位引入的必要性，理解数系扩充的过程． 2 掌握复数的代数形式，理解实部、虚部、虚数、纯虚数等有关复数的概念． 3 初步掌握复数相等的条件. 知识点1　虚数单位 引入了一个新的数，记作i，称为__________，满足i2＝－1. 知识点2　有关复数的概念 (1)复数：形如______________的数称为复数，通常用小写的英文字母z、w、…来表示，如z＝2＋i； (2)实部：______称为复数a＋bi的实部； (3)虚部：______称为复数a＋bi的虚部； (4)虚数：当________________时，复数a＋bi称为虚数； (5)纯虚数：当______________时，复数a＋bi称为纯虚数． 知识点3　数系扩充 (1)复数集：全体复数构成的集合称为复数集，用C表示，即C＝{z|z＝__________________}； (2)虚数集：全体________构成的集合称为虚数集； (3)纯虚数集：全体______构成的集合称为纯虚数集； (4)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图所示． 知识点4　复数相等 如果两个复数a＋bi与c＋di的实部与虚部分别相等，就称这两个复数相等，记作a＋bi＝c＋di，即a＋bi＝c＋di ⇔______________. 若a＋bi＝0，则________________． 题型1　写出复数的实部和虚部 [例题1]　写出下列复数的实部和虚部． (1)1＋i；(2)－3－3i；(3)eq \r(2)i；(4)0. 分析： 本题考查实部和虚部的定义．任何一个复数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，虚数单位i前边的实数为虚部，剩余部分为实部．实数的虚部为0；纯虚数的实部为0，虚部不为0，形式为bi. 解：(1)复数1＋i的实部为1，虚部为1； (2)复数－3－3i的实部为－3，虚部为－3； (3)复数eq \r(2)i的实部为0，虚部为eq \r(2)； (4)复数0的实部为0，虚部为0. ♨强化练习 1．写出下列复数的实部和虚部． (1)2－3i；(2)i；(3)eq \f(\r(2),2)；(4)2i＋1. 解：(1)复数2－3i的实部为2，虚部为－3；(2)复数i的实部为0，虚部为1；(3)复数eq \f(\r(2),2)的实部为eq \f(\r(2),2)，虚部为0；(4)复数2i＋1的实部为1，虚部为2. ☞名师点拨 1．实数a可以写成a＋0i的形式，故复数a的实部为a，虚部为0. 2．纯虚数bi可以写成0＋bi的形式，故复数bi的实部为0，虚部为b. 题型2　复数的分类 [例题2]　下列复数中，是纯虚数的是(　　) A．eq \r(2)－3i B．i2 C．5 D．i 分析： 本题考查纯虚数的概念．当a＝0且b≠0时，复数a＋bi称为纯虚数． 解：因为复数eq \r(2)－3i的实部不为0，所以A选项错误；因为i2＝－1，－1是实数，所以B选项错误；因为5是实数，所以C选项错误；因为复数i的实部为0，虚部为1，故选D. ♨强化练习 2．下列复数中，是纯虚数的是(　　) A．－eq \r(2)i B．0 C．5i＋6 D．0.7 A　因为eq \r(2)i是纯虚数，故选A. ☞名师点拨 纯虚数满足两个条件：实部为0，虚部不为0. 题型3　复数相等 [例题3]　若实数a，b满足等式(a－2b)＋(3a＋b)i＝i，则复数a＋bi等于(　　) A．eq \f(2,7)＋eq \f(1,7)i B．eq \f(1,7)＋eq \f(2,7)i C．eq \f(2,7)－eq \f(1,7)i D．eq \f(1,7)－eq \f(2,7)i 分析： 本题主要考查复数相等的条件，当两个复数相等时，实部和虚部分别相等．根据复数相等的条件列出方程组，求出实数a，b. 解：因为(a－2b)＋(3a＋b)i＝i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－2b＝0，,3a＋b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,7)，,b＝\f(1,7).)) 所以a＋bi＝eq \f(2,7)＋eq \f(1,7)i.故选A. ♨强化练习 3．若实数a，b满足等式(a－1)＋(3a＋b)i＝1－2i，则ab等于(　　) A．－6 B．－16 C．6 D．16 B　因为(a－1)＋(3a＋b)i＝1－2i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1＝1，,3a＋b＝－2，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－8.))所以ab＝2×(－8)＝－16.故选B. ☞名师点拨 复数相等，满足实数与实部分别相等． 一、选择题 1．计算(－i)2等于(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i B　复数－i的平方为－1，故选B. 2．复数－i的实部为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－i A　复数－i的实部为0，故选A. 3．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　当a＝0，b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)为实数0；当复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数时，a一定为0.所以，“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件，故选B. 4．下列复数中，不是虚数的是(　　) A．3－3i B．－i C．6＋5i D．3 D　3是实数，故选D. 5．已知a，b∈R，“复数z＝a＋bi是纯虚数”是“b≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　当复数z＝a＋bi是纯虚数时，a＝0，b≠0；当b≠0时，复数z＝a＋bi一定是虚数，但不一定是纯虚数．所以“复数z＝a＋bi是纯虚数”是“b≠0”的充分不必要条件，故选A. 6．已知复数z＝(2x－6)＋(3x＋6)i为纯虚数，则实数x等于(　　) A．3 B．2 C．－3 D．－2 A　因为复数z＝(2x－6)＋(3x＋6)i为纯虚数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－6＝0，,3x＋6≠0，))，解得x＝3，故选A. 7．已知a∈R，若满足等式(a2－1)－(a2＋2a)i＝－3i，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．－1或1 D．－3或1 A　由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a2＋2a＝3，))解得a＝1，故选A. 8．若用C、R、A、B分别表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集，则下列关系中错误的是(　　) A．R⊆C B．A⊆C C．B⊆A D．A⊆R D　由复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可知，AR，故选D. 9．若实数a，b满足等式b＋2i＝1＋ai，则复数a＋bi等于(　　) A．－1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i C　由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝1，,a＝2，))所以复数a＋bi＝2＋i，故选C. 二、填空题 10．若复数z＝(2x－6)＋(3x＋6)i为实数，则x＝________. 解析：若复数z＝(2x－6)＋(3x＋6)i为实数，则虚部3x＋6等于0，x＝－2. 答案：－2 11．复数1＋3i的虚部为______． 解析：复数1＋3i的虚部为3. 答案：3 12．以复数1－2i的虚部为实部，以复数2＋eq \r(2)i的实部为虚部的新复数是________． 解析：因为复数1－2i的虚部为－2，复数2＋eq \r(2)i的实部为2所以新复数是－2＋2i. 答案：－2＋2i 三、解答题 13．已知复数z＝(m2－2m－8)＋(m2－5m－6)i，求满足下列条件的实数m的值． (1)z是实数； (2)z是虚数； (3)z是纯虚数． 解：(1)因为z是实数，所以m2－5m－6＝0，解得m＝－1或m＝6. (2)因为z是虚数，所以m2－5m－6≠0，解得m≠－1且m≠6. (3)因为z是纯虚数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－2m－8＝0，,m2－5m－6≠0，))，解得m＝4或m＝ －2. 14．已知实数a，b满足等式(2a－1)＋(b＋3)i＝1－(2－a)i，求a，b的值． 解：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－1＝1，,b＋3＝－2－a，))解得a＝1，b＝－4. $$