7.2.1排列 课件-2025-2026学年高二下学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

7.2　排列与组合与二项式定理 7.2.1　排列 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 B 课堂速效达标 序号 学习目标 1 理解排列的有关概念． 2 理解生活中简单的排列问题． 3 了解排列数公式的推导过程. 知识点1　排列与排列数的概念 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \o\al(m,n)表示． 知识点2　排列数公式 (1)排列数公式：Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (2)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq \o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)，这里规定0！＝1. 题型1　排列数公式的应用 [例题1]　乘积5×6×7…×20等于(　　) A．Aeq \o\al(17,20) B．Aeq \o\al(16,20) C．Aeq \o\al(15,20) D．Aeq \o\al(14,20) 分析： 5×6×7…×20＝20×19×18…×5＝Aeq \o\al(16,20). 解：根据排列数公式，Aeq \o\al(16,20)＝20×19×18…×5＝5×6×7…×20，答案选B. ♨强化练习 1．若Aeq \o\al(2,n)＝20，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　因为Aeq \o\al(2,n)＝20，可得n(n－1)＝20，即n2－n－20＝0，解得n＝ －4(舍)或n＝5.故选B. ☞名师点拨 熟记排列数公式Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． 题型2　简单的排列问题 [例题2]　3个同学在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法为(　　) A．3 B．Aeq \o\al(3,4) C．34 D．43 解：3个同学在4本不同的参考书中各挑选1本，相当于从4个不同的元素中选3个排列，且选法种数为Aeq \o\al(3,4) .答案选B. ♨强化练习 2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加三项不同的活动，则不同的选法种数是(　　) A．180 B．210 C．120 D．240 ☞名师点拨 排列问题中，有条件限制的排列问题是难点，在解题时，对有条件限制的元素和位置要优先考虑． 题型3　站队问题 [例题3]　7位同学站成一排求下列情况的排法： (1)共有多少种不同的排法？ (2)甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (4)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (6)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲站在乙的右边的排法有多少种？ 解：(1)可以看作是7个元素的全排列，一共有Aeq \o\al(7,7)＝5 042种方法； (2)可以看作是甲先站好后，其余的6个元素的全排列，共有Aeq \o\al(6,6)＝720种方法； (3)根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有Aeq \o\al(2,2)种；第二步余下的5名同学进行全排列有Aeq \o\al(5,5)种，则共有Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(5,5)＝240种排列方法； (4)方法一(直接法)： 第一步：从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有Aeq \o\al(2,5)种方法； 第二步：从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有Aeq \o\al(5,5)种方法，所以一共有Aeq \o\al(2,5)Aeq \o\al(5,5)＝2 400种排列方法． 方法二(直接法)： 第一步：甲乙先站除排头和排尾的5个位置中的2个，有Aeq \o\al(2,5)种， 第二步其余的5位同学进行排列，有Aeq \o\al(5,5)种方法，所以一共有Aeq \o\al(2,5)Aeq \o\al(5,5)＝2 400种排列方法． 方法三(间接法)： 7位同学进行全排列，有Aeq \o\al(7,7)＝5 040种，其中甲乙站排头或排尾的位置排列，有4Aeq \o\al(6,6)－2Aeq \o\al(5,5)＝2 640种，所以一共有Aeq \o\al(7,7)＝(4Aeq \o\al(6,6)－2Aeq \o\al(5,5))＝5 040－2 640＝2 400种排列方法． 注意：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“间接法”，对某些特殊元素或特殊位置可以优先考虑． (5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有Aeq \o\al(6,6)种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有Aeq \o\al(2,2)种方法．所以这样的排法一共有Aeq \o\al(6,6)Aeq \o\al(2,2)＝1 440种； (6)方法同上，一共有Aeq \o\al(5,5)Aeq \o\al(3,3)＝720种； 注意：对于相邻问题，常用“捆绑法”． (7)(插空法)先将其余五个同学排好有Aeq \o\al(5,5)种方法，此时他们留下六个位置，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有Aeq \o\al(2,6)种方法，所以一共有Aeq \o\al(5,5)Aeq \o\al(2,6)＝3 600种方法； (8)先将其余四个同学排好有Aeq \o\al(4,4)种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有Aeq \o\al(3,5)种方法，所以一共有Aeq \o\al(4,4)Aeq \o\al(3,5)＝1 440种； 注意：对于不相邻问题，常用“插空法”． (9)全部站好的排法有Aeq \o\al(7,7)种，其中甲或者站在乙的右边或者甲站在乙的左边，所以甲站在乙的右边的排法有eq \f(1,2)Aeq \o\al(7,7)＝2 520种． ♨强化练习 3．5个儿童站成一排照相，甲不排在两端的排法有(　　) A．120种 B．60种 C．72种 D．48种 C　Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)＝72. 4．5名学生站成一排照相，其中甲乙两人必须站在一起的排法有 (　　) A．Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(2,2) B．3Aeq \o\al(2,2) C．Aeq \o\al(3,3) D．Aeq \o\al(4,4)Aeq \o\al(2,2) D　甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的3个元素(同学)一起进行全排列有Aeq \o\al(4,4)种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有Aeq \o\al(2,2)种方法． ☞名师点拨 (1)有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是排列特殊元素或特殊位置优先考虑，即特殊元素(位置)“优先处理法”； (2)要求某些元素相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； (3)要求某些元素不相邻时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”． 题型4　排列数问题 [例题4]　用1,2,3,4,5这五个数字： (1)共组成无重复数字的五位数多少个？ (2)共组成五位奇数多少个？ (3)共组成比30 000大的数有多少个？ 解：(1)问题可以看作：5个元素的全排列：Aeq \o\al(5,5)＝120. (2)组成五位奇数可以分成两步：第一步，排个位有Aeq \o\al(1,3)种方法；第二步，排其余四位：有Aeq \o\al(4,4)种，所以共有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)＝72种； (3)组成比30 000大的数，要求万位是3、4、5，有Aeq \o\al(1,3)，其余四位没有条件限制，有Aeq \o\al(4,4)，所以共有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)＝72种． ♨强化练习 5．用1,2,3,4,5可组成没有重复数字的三位数的个数是(　　) A．30 B．120 C．60 D．15 C　Aeq \o\al(3,5)＝60. 6．用数字1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位数的偶数的个数有 (　　) A．60 B．36 C．24 D．12 C　Aeq \o\al(1,2 )Aeq \o\al(2,4 )＝24. 一、选择题 1．已知Aeq \o\al(m,20)＝20×19×18×…×9，则m＝(　　) A．11 B．12 C．13 D．10 B　20－m＋1＝9，所以m＝12. 2．已知Aeq \o\al(2,n)＝3Aeq \o\al(2,n－4)，那么n＝(　　) A．10 B．7 C．6 D．5 A　n(n－1)＝3(n－4)(n－5)，所以n＝10. 3．某班星期一全天6节课要安排6门不同的课程，其中体育课不能安排在上午第一节和第二节．这一天不同的排课方法共有(　　) A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 C　Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(5,5)＝480(种)． 4．5本不同的书，借给甲、乙、丙三个人，每人一本，则不同的借法有(　　) A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 B　Aeq \o\al(3,5)＝60. 5．由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数有 (　　) A．60 B．24 C．36 D．48 D　Aeq \o\al(1,2)Aeq \o\al(4,4)＝48. 6．有3个不同的红杯子和2个不同的花杯子，现将它们排在茶几上成一排，要求花杯子必须排在一起，则不同的排法种数为(　　) A．6 B．12 C．24 D．48 D　Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(4,4)＝48. 7．一次晚会有5个歌唱节目，3个舞蹈节目，要使舞蹈节目不连在一起，不同的出场次序共有(　　) A．Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(6,6) B．Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(5,5) C．Aeq \o\al(3,4)Aeq \o\al(5,5) D．Aeq \o\al(3,6)Aeq \o\al(5,5) D　(插空法)先将5个歌唱节目有Aeq \o\al(5,5)种方法，此时他们留下六个位置，3个舞蹈节目分别插入这六个位置(空)有Aeq \o\al(3,6)种方法，所以一共有Aeq \o\al(3,6)Aeq \o\al(5,5)种方法． 8．从0,1,2,3,4这5个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数 (　　) A．48 B．96 C．60 D．12 A　Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(2,4)＝48. 二、解答题 9．将6本不同的书排成一排， (1)其中甲乙两本书要放在两端，有多少种排法？ (2)其中甲乙两本书不放在两端，有多少种排法？ (3)其中甲乙两本书必须相邻，有多少种排法？ (4)其中甲乙不相邻，有多少种排法？ (5)其中甲乙两本书顺序一定(中间可以有书)，有多少种排法？ 解：(1)两本书排在两端，Aeq \o\al(2,2)种，再排其余4本，即Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(4,4)＝48种．(2)第一步，甲乙放在中间，有Aeq \o\al(2,4)种；第二步，余下4本全排列：Aeq \o\al(2,4)Aeq \o\al(4,4)＝288(种)．(3)甲乙相邻，有Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(5,5)＝240(种)．(4)甲乙不相邻有Aeq \o\al(4,4)Aeq \o\al(2,5)＝480(种)．(5)甲乙顺序一定有eq \f(A\o\al(6,6),A\o\al(2,2))＝360. 10．用1,2,3,4,5这五个数，组成无重复的5位数． (1)共组成无重复数字的五位数多少个？ (2)共组成无重复数字的五位奇数多少个？ 解：(1)组成无重复数字的五位数，即Aeq \o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(种)．(2)第一步，在个位上排1,3,5，第二步在其余位上排除个位上数字以外的数字，所以共有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)＝72(种)． $$