6.3复数的应用 课件-2025-2026学年高二下学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

6.3　复数的应用 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 序号 学习目标 1 了解实系数一元二次方程的解法． 2 了解实系数一元二次方程根与系数的关系. 知识点1　实系数一元二次方程解的情况 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)解的情况： (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1,2＝________； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1,2＝________； (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一对共轭虚数根x1,2＝________. 知识点2　根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)在复数集中总有两根，设为x1，x2，则x1＋x2＝______，x1x2＝______. 题型1　在复数集中解方程 [例题1]　在复数集中解方程x2－x＋1＝0. 分析： 本题考查在复数集中解方程．先计算Δ，再根据求根公式写出一元二次方程的根． 解：因为Δ＝b2－4ac＝1－4＝－3＜0，所以 x1＝－eq \f(b,2a)＋eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i ， x2＝－eq \f(b,2a)－eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i . ♨强化练习 1．在复数集中解方程． (1)x2＋x＋1＝0； (2)2x2－4x＋5＝0. 解：(1)因为Δ＝b2－4ac＝1－4＝－3＜0，所以 x1＝－eq \f(b,2a)＋eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，x2＝－eq \f(b,2a)－eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i. (2)因为Δ＝b2－4ac＝16－40＝－24＜0，所以 x1＝－eq \f(b,2a)＋eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝1＋eq \f(\r(6),2)i，x2＝－eq \f(b,2a)－eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝1－eq \f(\r(6),2)i. ☞名师点拨 在复数集中解一元二次方程的步骤： ①求判别式Δ的值，并判断符号； ②根据求根公式写出一元二次方程的根． 题型2　根与系数的关系 [例题2]　已知实系数一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的一个根为3＋2i，求它的另一个根和m，n的值． 分析： 本题考查共轭虚数根及根与系数的关系．已知实系数一元二次方程有一个根为虚数，则另一个根为这个虚数的共轭复数，再根据根与系数的关系列方程组求出m，n. 解：因为实系数一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的一个根为3＋2i，所以方程的另一个根为3－2i.由根与系数的关系得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(m,2)＝3＋2i＋3－2i，,x1x2＝\f(n,2)＝3＋2i3－2i，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－12，,n＝26.)) ♨强化练习 2．若实系数一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根为2－i，则m－n＝__________. 解：因为实系数一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根为2－i，所以方程的另一个根为2＋i. 由根与系数的关系得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－m＝2＋i＋2－i，,x1x2＝n＝2＋i2－i，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝5.)) 所以m－n＝－4－5＝－9. ☞名师点拨 1．当实系数一元二次方程有一个根为虚数时，另一个根一定为虚数，且两根互为共轭复数． 2．当Δ＜0时，一元二次方程的两个虚数根也满足韦达定理． 一、选择题 1．关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)在复数集中的两个根分别为α，β，下列结论一定成立的是(　　) A．b2－4ac＜0 B．b2－4ac≥0 C．α，β互为共轭复数 D．α＋β＝－eq \f(b,a)，αβ＝eq \f(c,a) D　b2－4ac的取值可能大于0，也可能小于0，也可能等于0，故A，B错误；只有当b2－4ac＜0时，一元二次方的两根才为共轭复数，故C错误；实系数一元二次方程对于韦达定理一定成立，故选D. 2．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(　　) A．－3－2i B．3＋2i C．2－3i D．－2＋3i A　因为Δ＝b2－4ac＝36－52＝－16＜0，所以x1＝－eq \f(b,2a)＋eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝－3＋2i，x2＝－eq \f(b,2a)－eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝－3－2i，故选A. 3．已知实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根为1＋i，则它的另一个根为(　　) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i B　根据实系数一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数，可知该方程的另一个根为1－i，故选B. 4．方程x2＋3x＋6＝0根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个虚数根 D．不能确定 C　因为Δ＝b2－4ac＝9－24＝－15＜0，所以方程x2＋3x＋6＝0有两个虚数根，故选C. 5．若α，β是方程2x2＋x＋3＝0的两个根，则|α―β|等于(　　) A．eq \f(\r(23),2) B．eq \f(23,4) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4) A　因为Δ＝b2－4ac＝1－24＝－23＜0，所以α＝－eq \f(b,2a)＋eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝－eq \f(1,4)＋eq \f(\r(23),4)i，β＝－eq \f(b,2a)－eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝－eq \f(1,4)－eq \f(\r(23),4)i，则|α－β |＝－eq \f(1,4)＋eq \f(\r(23),4)i －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)－\f(\r(23),4)i))＝eq \f(\r(23),2)i＝eq \f(\r(23),2)，故选A. 二、填空题 6．若α，β是方程2x2―4x＋5＝0的两个根，则α＋β＝________. 解析：由韦达定理得α＋β＝－eq \f(b,a)＝－eq \f(－4,2)＝2. 答案：2　 7．已知1－eq \r(2)i是关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一个根，则实数a－b的值为________． 解析：1－eq \r(2)i是关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一个根，则另一个根为1＋eq \r(2)i，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－\r(2)i＋1＋\r(2)i＝－\f(b,a),1－\r(2)i1＋\r(2)i＝\f(1,a)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＝－\f(b,a),3＝\f(1,a)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3),b＝－\f(2,3)))，所以a－b＝1，故答案为：1. 答案：1 三、解答题 8．在复数集中解方程． (1)x2＋4＝0； (2)2x2－4x＋13＝0； (3)3x2－2x＋1＝0； (4)x2－2x＋3＝0. 解：(1)因为Δ＝b2－4ac＝－16＜0， 所以x1＝－eq \f(b,2a)＋eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝2i，x2＝－eq \f(b,2a)－eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝－2i. (2)因为Δ＝b2－4ac＝－88＜0， 所以x1＝－eq \f(b,2a)＋eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝1＋eq \f(\r(22),2)i，x2＝－eq \f(b,2a)－eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝1－eq \f(\r(22),2)i. (3)因为Δ＝b2－4ac＝－8＜0， 所以x1＝－eq \f(b,2a)＋eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),3)i，x2＝－eq \f(b,2a)－eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝eq \f(1,3)－eq \f(\r(2),3)i. (4)因为Δ＝b2－4ac＝－8＜0， 所以x1＝－eq \f(b,2a)＋eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝1＋eq \r(2)i，x2＝－eq \f(b,2a)－eq \f(\r(4ac－b2),2a)i ＝1－eq \r(2)i. 9．已知关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为1＋i,1－i，求复数b＋ci的模． 解：由韦达定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－b＝2，,x1x2＝c＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))所以b＋ci＝－2＋2i，|b＋ci|＝2eq \r(2). $$