6.2复数的运算 课件-2025-2026学年高二下学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

6.2　复数的运算 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 序号 学习目标 1 理解复数代数形式的加法、减法运算． 2 了解复数加法和减法的几何意义． 3 理解复数代数形式的乘法运算. 知识点1　 复数的加法与减法 复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． (1)复数的加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(______)＋(______)i； (2)复数的减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(______)＋(______)i； (3)运算律：z1＋z2＝______(交换律)，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(____)(结合律)． 知识点2　 复数加法和复数减法的几何意义 设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为eq \o(OP1,\s\up16(→))＝(a，b)，eq \o(OP2,\s\up16(→))＝(c，d)．(a，b，c，d∈R) (1)复数加法的几何意义：向量eq \o(OP1,\s\up16(→))＋eq \o(OP2,\s\up16(→))＝(a＋c，b＋d)对应的复数为z1＋z2，所以两个复数的和所对应的向量就是它们各自所对应向量的______，即复数的加法可以按向量的加法进行； (2)复数减法的几何意义：向量eq \o(OP1,\s\up16(→))－eq \o(OP2,\s\up16(→))＝(a－c，b－d)对应的复数为z1－z2，所以两个复数的差所对应的向量就是它们各自所对应向量的______，即复数的减法可以按向量的减法进行； (3)两个复数的加法、减法运算可以用其对应的向量来进行加、减运算． 知识点3　复数的乘法运算 复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(________)＋(________)i； 复数乘法的运算律 (1)交换律：z1z2＝________； (2)结合律：(z1z2)z3＝________； (3)分配率：z1(z2＋z3)＝________. 题型1　复数的加法和减法 [例题1]　已知z1＝1＋i，z2＝－3－3i，z3＝2i，求：(1)z1＋z2； (2)z1－z2； (3)z1－z3－z2. 解：(1)z1＋z2＝(1＋i)＋(－3－3i)＝(1－3)＋(1－3)i＝－2－2i； (2)z1－z2＝(1＋i)－(－3－3i)＝[1－(－3)]＋[1－(－3)]i＝4＋4i； (3)z1－z3－z2＝(1＋i)－2i－(－3－3i)＝[1－(－3)]＋[1－2－(－3)]i＝4＋2i. ♨强化练习 1．已知z1＝2－3i，z2＝i，z3＝1＋2i，计算： (1)z1＋z2；(2)z1－z2；(3)z1－z3－z2. 解：(1)z1＋z2＝(2－3i)＋i＝2＋(－3＋1)i＝2－2i； (2)z1－z2＝(2－3i)－i＝2＋(－3－1)i＝2－4i； (3)z1－z3－z2＝(2－3i)－(2i＋1)－i＝(2－1)＋(－3－2－1)i＝1－6i. ☞名师点拨 1．复数的加法、减法运算可以类比多项式的加法、减法运算． 2．多个复数进行加减运算时，可以两个复数依次进行运算，也可以将多个复数的实部和虚部分别进行加减运算求解． 题型2　复数加法和复数减法的几何意义 [例题2]　向量eq \o(OA,\s\up16(→))对应的复数为2－3i，向量eq \o(OB,\s\up16(→))对应的复数为－5＋4i，则eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))对应的复数是(　　) A．3－i B．－3＋i C．7－7i D．－7＋7i 解：eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))对应的复数是(2－3i)＋(－5＋4i)＝(2－5)＋(－3＋4)i＝－3＋i，故选B. ♨强化练习 2．向量eq \o(OA,\s\up16(→))对应的复数为2－3i，向量eq \o(OB,\s\up16(→))对应的复数为－5＋4i，则eq \o(AB,\s\up16(→))对应的复数是(　　) A．3－i B．－3＋i C．7－7i D．－7＋7i D　因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))，所以eq \o(AB,\s\up16(→))对应的复数是(－5＋4i)－(2－3i)＝ (－5－2)＋(4＋3)i＝－7＋7i，故选D. ☞名师点拨 两个向量的和向量对应的复数等于两个向量对应复数的和；两个向量的差向量对应的复数等于两个向量对应复数的差． 题型3　复数的乘法 [例题3]　复数(1－i)3的虚部是(　　) A．－2i B．2i C．－2 D．2 解：因为(1－i)3＝(1－i)2(1－i)＝(1－2i＋i2)(1－i)＝－2i(1－i)＝－2i＋2i2＝－2－2i， 所以，复数(1－i)3的虚部是－2，故选C. ♨强化练习 3．计算：(1)(2－i)(2＋i)；(2)z1＝2－3i，z2＝i，z3＝1＋2i，求：z1z2z3的值． 解：(1)(2－i)(2＋i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)z1z2z3＝(2－3i)i(2i＋1)＝(2i＋3)(2i＋1)＝－1＋8i. ☞名师点拨 1．复数乘法的运算可以类比多项式的运算，把i看作字母，把i2化成－1，再把结果化简，写成复数的代数形式． 2．复数的乘法也符合乘法法则，对于能够使用乘法公式的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，常用乘法公式有平方差公式，完全平方公式等． 题型4　复数的混合运算 [例题4]　已知复数z满足等式z－z·eq \x\to(z)＝eq \f(1,2)i，求z. 解：设z＝a＋bi，则eq \x\to(z)＝a－bi.因为z－z·eq \x\to(z)＝(a＋bi)－(a＋bi)(a－bi)＝(a＋bi)－(a2－b2i2)＝(a＋bi)－(a2＋b2)＝(a－a2－b2)＋bi＝eq \f(1,2)i， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－a2－b2＝0，,b＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2).)) 所以z＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i. ♨强化练习 4．已知a，b∈R，且(2a＋bi)－(2＋4i)＝(a＋2i)(1－i)，求a，b. 解：因为(2a＋bi)－(2＋4i)＝(2a－2)＋(b－4)i， (a＋2i)(1－i)＝a－ai＋2i－2i2＝a－ai＋2i＋2＝(a＋2)＋(2－a)i， 又因为(2a＋bi)－(2＋4i)＝(a＋2i)(1－i)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－2＝a＋2，,b－4＝2－a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2.)) ☞名师点拨 1．复数运算时，按照数的运算顺序进行运算，先算乘法，再算加减． 2．互为共轭复数的两个复数相乘等于实部与虚部的平方和． 一、选择题 1．若z1＝3＋4i，z2＝－4－3i，则z1＋z2等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．7＋7i D．－7－i A　z1＋z2＝(3＋4i)＋(－4－3i)＝(3－4)＋(4－3)i＝－1＋i，故选A. 2．若z1＝－i，z2＝3－2i，则z2－z1在复平面中对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　因为z2－z1＝(3－2i)－(－i)＝3＋(－2＋1)i＝3－i，所以z2－z1在复平面中对应的点的坐标为(3，－1)，其在第四象限，故选D. 3．已知z＝5－i，则eq \o(z,\s\up16(－))＋z等于(　　) A．－2 B．10 C．－2 D．－10 B　因为z＝5－i，所以eq \o(z,\s\up16(－))＝5＋i，则eq \o(z,\s\up16(－))＋z＝(5－i)＋(5＋i)＝10，故选B. 4．若z1＝2－i，z2＝－2－i，则z1z2等于(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 C　因为z1z2＝(2－i)(－2－i)＝－5，故选C. 5．(1＋eq \r(3)i)i等于(　　) A．eq \r(3)＋i B．eq \r(3)－i C．－eq \r(3)－i D．－eq \r(3)＋i D　(1＋eq \r(3)i)i＝i＋eq \r(3)i2＝－eq \r(3)＋i，故选D. 6．若z＝(－1＋i)(2＋i)，则|z|等于(　　) A．eq \r(5) B．5 C．eq \r(10) D．10 C　因为z＝(－1＋i)(2＋i)＝－2－i＋2i＋i2＝－3＋i，所以|z|＝eq \r(－32＋12)＝eq \r(10)，故选C. 7．已知复数z＝(1－i)(4＋i)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　因为z＝(1－i)(4＋i)＝4＋i－4i－i2＝5－3i，则eq \o(z,\s\up16(－))＝5＋3i，所以eq \o(z,\s\up16(－))在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 8．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,1)，则z·i等于(　　) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i D　由题意知z＝1＋i，则z·i＝(1＋i)i＝i＋i2＝－1＋i，故选D. 二、解答题 9．已知复数z1＝(4y－2x)＋(2x＋y)i，z2＝(x－3y)＋(5x＋3y)i(x，y∈R)，且z1＋z2＝2＋8i.求z1，z2. 解：因为z1＋z2＝[(4y－2x)＋(2x＋y)i]＋[(x－3y)＋(5x＋3y)i]＝[(4y－2x)＋(x－3y)]＋[(2x＋y)＋(5x＋3y)]i＝(y－x)＋(7x＋4y)i＝2＋8i， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－x＝2，,7x＋4y＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以z1＝8＋2i，z2＝－6＋6i. 10．计算：(1)(3－i)(2＋i)；(2)(2－2i)2； (3)(eq \r(3)－2i)(eq \r(3)＋2i)；(4)－4i(3＋2i)． 解：(1)(3－i)(2＋i)＝6＋3i－2i－i2＝7＋i； (2)(2－2i)2＝4－8i＋4i2＝－8i； (3)(eq \r(3)－2i)(eq \r(3)＋2i)＝3－4i2＝3＋4＝7； (4)－4i(3＋2i)＝－12i－8i2＝8－12i. 11．已知复数z满足z·eq \x\to(z)－2i·z＝19＋8i，求z. 解：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则eq \o(z,\s\up16(－))＝a－bi. 因为z·eq \o(z,\s\up16(－))－2i·z＝(a＋bi)(a－bi)－2i(a＋bi)＝(a2－b2i2)－(2ai＋2bi2)＝(a2＋b2)＋(2b－2ai)＝ (a2＋b2＋2b)－2ai＝19＋8i， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2＋2b＝19，,－2a＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝1.))所以z＝－4－3i或z＝－4＋i. $$