6.1 几何图形（第2课时）讲义　2025－2026学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中几何图形核心知识点，系统梳理点线面体的概念及关系，涵盖几何体表面积体积计算、顶点数面数棱数关系（含欧拉公式）、正方体组合图形视图与个数判断等内容，形成从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料以生活实例（如“雨像细丝”释点动成线）培养数学眼光，通过典例变式、规律探究（如棱锥棱数规律）发展推理意识，用三视图和公式模型强化数学语言表达。课中助力教师分类授课，课后学生可借举一反三练习查漏补缺，提升空间观念与应用能力。

6.1 几何图形（第2课时） xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】点、线、面、体 4 【题型2】计算几何体的表面积或体积 7 【题型3】立体图形的顶点数、面数与棱数的关系 10 【题型4】判断组合图形中正方体的个数 16 【题型5】与小正方体有关的组合图形的综合问题 19 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 1．点、线、面、体的概念 （1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体． （2）面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种． 如下图的圆锥体有2个面，一个是平面，另一个是曲面． 如下图的六棱柱有8个面，它们都是平面． 如下图的圆柱有3个面，2个是平面，另一个是曲面． （3）线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种．如圆锥体的两个面相交形成曲线，长方体的6个面都是平面，面面相交成直线． 圆锥体 长方体 （4）点：线与线相交的地方形成点． 2．点、线、面、体之间的关系 （1）点是构成图形的基本元素，点、线、面、体经过运动变化，就组成了各种各样的几何图形． 类别 示例 点动成线 如笔尖在纸上移动形成线 线动成面 如刷窗器移动形成面 面动成体 如矩形绕一边旋转形成圆柱 （2）包围着体的是面，面相交的地方形成线，线相交的地方是点． xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1．几何体有简单几何体和组合几何体．如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等都是简单几何体．简单几何体组合在一起，就构成了组合几何体． 2．柱体及由柱体经切割后形成的几何体，它们的顶点数、棱数、面数之间有一定的关系，通过观察具体图形，可发现一般规律，应用一般规律，也可以解决其他相关的问题．图形中顶点数、棱数、面数等的规律一般是某种和、差、倍的关系． 3．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． 4．常见的几种几何体的表面积的计算公式： （1）圆柱体表面积：2πR2+2πRh（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） （2）圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） （3）长方体表面积：2（ab+ah+bh）（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） （4）正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）． 5．常见的几种几何体的体积的计算公式： （1）圆柱体体积：πR2h（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）． （2）圆锥体体积：（r为圆锥体底面圆半径，h为其高）． （3）长方体体积：abh（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）． （4）正方体体积：a3（a为正方体棱长）． （5）球体体积：（r为球体的半径）． xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】点、线、面、体 典例 （2024秋•永年区期末）“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中，雨“像细丝”说明（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【解答】解：“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中， 雨“像细丝”说明了：点动成线． 故选：A． 方法点拨 点、线、面、体： （1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体． （2）面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种． （3）线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种． （4）点：线与线相交形成点． （5）点动成线，线动成面，面动成体． 【变式1】　（2024秋•玉环市期末）如图所示的立体图形，是由（　　）旋转形成的． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】图示几何体是球，是由半圆旋转成的． 【解答】解：A、旋转一周，能够得到圆台，故选项不符合题意； B、旋转一周，能够得到圆球，故选项符合题意． C、旋转一周，能够得到圆柱，故选项不符合题意； D、旋转一周，能够得到圆锥，故选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】　（2025春•长阳县校级月考）中国武术有“枪扎一条线，横扫一大片”说法，这句话用数学知识诠释相对最科学的是（　　） A．两点确定一条直线 B．点的平移 C．旋转成圆 D．点动成线，线动成面 【答案】D 【分析】根据点、线、面之间的关系进行答题即可． 【解答】解：中国武术有“枪扎一条线，横扫一大片”的说法，这句话用数学知识诠释相对最科学的是点动成线，线动成面． 故选：D． 【变式3】　（2025•广州）如图，将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“面动成体”进行判断即可． 【解答】解：将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周所得到的立体图形是圆锥， 故选：B． 【题型2】计算几何体的表面积或体积 典例 （2025春•山丹县校级月考）如图，是由7个棱长为1的小正方体拼成的几何体，其俯视图的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上面看，底层是一个小正方形，中间是三个正方形，上层是一个小正方形， 所以俯视图的面积为12×5＝5． 故选：B． 方法点拨 1．先根据从三个方向看到的形状图，想象出几何体的形状． 2．由形状图中标出的数据找出几何体对应的数据． 3．根据体积公式或面积公式进行计算． 【变式1】　（2024秋•伊川县期末）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（　　） A．384cm3 B．192cm3 C．160cm3 D．72cm3 【答案】B 【分析】由三视图可判断该几何体是长方体，再根据长方体的体积公式计算即可． 【解答】解：由题意可知，该几何体是一个长方体，它的长为8cm，宽为8cm，高为3cm， 故该几何体的体积为：8×8×3＝192（cm3）． 故选：B． 【变式2】　（2024秋•中原区期末）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（　　） A．92π+40 B．120π C．160π D．100π 【答案】B 【分析】根据三视图可得到该几何体的下面是圆柱，上面是半圆柱，结合圆柱的体积公式计算即可解答． 【解答】解：根据题意得该几何体的下面是圆柱，上面是半圆柱， 体积π×42×5+π×（）2×（10﹣5）＝40π+80π＝120π． 故选：B． 【变式3】　（2024•东营区三模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积是（　　） A．24πcm2 B．33πcm2 C．36πcm2 D．96πcm2 【答案】B 【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则全面积可求． 【解答】解：观察三视图发现该几何体为圆锥， 其底面直径为6cm，母线长为8cm， 所以其侧面积为：πrl＝π8＝24π（cm2）， 底面积为：πr2＝π×（）2＝9π（cm2）， 全面积为：24π+9π＝33π（cm2）． 故选：B． 【题型3】立体图形的顶点数、面数与棱数的关系 典例 （2024秋•房山区期末）棱锥的顶点数（V），面数（F），棱数（E）之间存在一定的数量关系，如表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 四棱锥 5 5 8 五棱锥 6 6 10 六棱锥 7 7 ① （1）根据以上信息，表格中①处应填 　　 ； （2）请用V，F，E表示棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系 　 ． 【答案】（1）12； （2）V+F﹣E＝2． 【分析】（1）根据六棱锥的特征即可得出答案； （2）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2； 【解答】解：（1）六棱锥有12条棱； 故答案为：12； （2）观察上面的多面体模型可知，棱锥的顶点数、面数、棱数之间的数量关系为：V+F﹣E＝2． 故答案为：V+F﹣E＝2． 方法点拨 柱体及由柱体经切割后形成的几何体，它们的顶点数、棱数、面数之间有一定的关系，通过观察具体图形，可发现一般规律，应用一般规律，也可以解决其他相关的问题．图形中顶点数、棱数、面数等的规律一般是某种和、差、倍的关系． 【变式1】　（2024秋•无锡期末）【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体的名称叫做三棱台．如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】 （1）在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图．（注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） （2）观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） 　　 　　 　　 … 棱数（E） 　　 　　 　　 … 顶点数（V） 　　 　　 　　 … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：F+E﹣2V＝2，你认为她的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于F、E、V三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 【答案】（1）图见解答； （2）①结论正确，理由见解答； ②F＝VE+1． 【分析】（1）根据图2对比可得图3； （2）①先根据立体图形完成表中内容，再根据图形分别确定三棱台，四棱台，五棱台，……的F，E，V的关系，即可解答； ②同理即可解答． 【解答】解：（1）如图3所示， （2）如下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） 5 6 7 … 棱数（E） 9 12 15 … 顶点数（V） 6 8 10 … ①结论正确，理由如下： 结合上表，得三棱台有2×3＝6个顶点，3×3＝9个棱，3+2＝5个面， 四棱台有2×4＝8个顶点，3×4＝12个棱，4+2＝6个面， 五棱台有2×5＝10个顶点，3×5＝15个棱，5+2＝7个面， 依次类推……， n棱台有2n个顶点，3n个棱，（n+2）个面， 故F+E﹣2V＝n+2+3n﹣2×2n＝2； ②如下表中： 三棱锥 四棱锥 五棱锥 … 面数（F） 4 5 6 … 棱数（E） 6 8 10 … 顶点数（V） 4 5 6 … 结合上表，得三棱锥有3+1＝4个顶点，2×3＝6个棱，3+1＝4个面， 四棱锥有4+1＝5个顶点，2×4＝8个棱，4+1＝5个面， 五棱锥有5+1＝6个顶点，2×5＝10个棱，5+1＝6个面， 依次类推……， n棱锥有（n+1）个顶点，2n个棱，（n+1）个面， 故n+1+n+1﹣2n＝2， ∴F+V﹣E＝2（满足棱台，不符合题意）；F＝VE+1； 综上，满足棱锥的等量关系为：F＝VE+1． 【变式2】　（2024秋•昆都仑区期末）如图a是正方体木块，把它切去一块，得到如图b、c、d、e四种木块． （1）我们知道，图a的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图b、c、d、e中木块的顶点数、棱数、面数补全如表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z a 8 12 6 b 　　 9 　　 c 8 　　 　　 d 　　 　　 7 e 　　 15 　　 （2）分析如表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律．请你试着写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； （3）根据猜想计算：若一个多面体的顶点数为2024个，棱数为4047条，试求它的面数． 【答案】（1）见解析； （2）x+z﹣2＝y； （3）2025． 【分析】（1）根据题目中给出的几何体，认真数清楚棱、顶点和面的个数，即可解答； （2）根据第一问所得到的表格，总结规律，即可得到x、y、z之间的关系； （3）将顶点数、棱数代入（2）中的关系式求解即可得到答案． 【解答】解：（1）表格如下： （2）规律：x+z﹣2＝y； （3）∵x＝2024，y＝4047，x+z﹣2＝y， ∴2024+z﹣2＝4047， 解得z＝2025， 即它的面数是2025． 【变式3】　（2024秋•东明县期中）如图所示是一些常见的多面体． （1）数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 　　 　　 　　 正八面体 　　 　　 　　 正十二面体 　　 　　 　　 正二十面体 12 20 30 （2）观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； （3）若已知一个多面体的顶点数V＝196，棱数E＝294，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】（1）8，6，12，6，8，12，20，12，30； （2）V+F﹣E＝2； （3）100． 【分析】（1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【解答】解：（1）所填数据如表所示： 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 故答案为：8，6，12，6，8，12，20，12，30； （2）因为4+4﹣6＝2，8+6﹣12＝2，6+8﹣12＝2，20+12﹣30＝2，12+20﹣30＝2， 所以V+F﹣E＝2． （3）由V+F﹣E＝2，得196+F﹣294＝2，所以F＝294+2﹣196＝100，所以这个多面体的面数为100． 【题型4】判断组合图形中正方体的个数 典例 （2025•鸡西一模）如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】根据俯视图确定位置，左视图确实个数，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：几何体每个位置上的小正方体的个数最多时，如图所示： ∴小正方体的个数为：1+2+2＝5； 故选：B． 方法点拨 1．先根据从上面和从左面看到的形状图确定层数及列数，再判断每层由多少个小正方体组成． 2．由不完整的形状图推测小正方体的个数时，先根据已知形状图判断能确定的层数和某层中小正方体的个数，对于不能确定的小正方体的个数和层数，进行分类讨论． 【变式1】　（2025春•北林区校级期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆放而成的，从正面、上面和左面观察这个几何体，得到的平面图形如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】从上面看图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从正面看图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从左面看图可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【解答】解：根据从不同方向看几何体的特征可知： 由上面看图易得最底层小正方体的个数为4，由其他视图可知上面一层有一个正方体，那么共有4+1＝5个正方体， 故答案为：C． 【变式2】　（2025•前进区校级二模）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其左视图和主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】从左视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共三列，且左侧一列高两层， 由左视图可知左侧两层，右侧一层，所以图中的小正方体第一层最少为3个，第二层1个，最少为4个． 故选：B． 【变式3】　（2025•峰峰矿区三模）图1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体取后，该几何体的主视图如图2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可． 【解答】解：如图所示， 拿走若干个小正方体取后，该几何体的主视图如图2所示，则至少拿走标有1、2、3、4的小正方体， 所以拿走的小正方体的个数至少是4个． 故选：C． 【题型5】与小正方体有关的组合图形的综合问题 典例 （2025•前郭县校级四模）如图，将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是（　　） A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．俯视图与主视图 【答案】B 【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图，进而得出答案． 【解答】解：将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是俯视图，主视图、左视图都发生变化， 故选：B． 方法点拨 从不同方向看小正方体组合体的方法 （1）从前面看，所得的形状图反映几何体的左右列数和每一列的上下层数． （2）从左面看，所得的形状图反映几何体的前后行数和每一行的上下层数． （3）从上面看，所得的形状图反映几何体的前后行数和每一行的左右列数． 【变式1】　（2025•邯郸二模）下列选项都是由相同小正方体组合而成的图形，能成功填入下图中并使之成为长方体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形的特点可知，先观察题目中的几何体缺少的小正方体，再从选项中选择，使之成为长方体． 【解答】解：根据题意可知，能成功填入下图中并使之成为长方体的只有选项D． 故选：D． 【变式2】　（2025•宁夏一模）如图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是（　　） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 【答案】C 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案． 【解答】解：根据题意可知，三视图发生改变的是俯视图． 故选：C． 【变式3】　（2025•肃南县校级一模）一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面看到的几何体的形状图如图所示，每个正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则从正面看到的这个几何体的形状图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看，一共有三列，小正方形的个数分别为3、2、3． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$