2025年安徽省中考数学二轮复习专题突破课件---几何综合探究

该初中数学课件聚焦中考几何综合探究核心考点，覆盖全等相似判定、图形变换、动点问题等考查要求。通过对接中考说明分析考点权重，按非动点、动点等五种类型归纳常考题型，如2024谯城二模图形旋转题，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“典例解析+真题训练”模式，以推理意识和空间观念为导向，如典例1通过构造全等证线段相等，示范辅助线添加技巧。包含2024黄山一模等模拟题，帮助学生掌握几何直观与逻辑推理，助力教师系统规划复习，提升中考冲刺效率。

几何综合探究 类型一　非动点探究题 典例1　 如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，DE=DF，∠EDF=90°，D为BC边中点，连接AF，且A，F，E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE. (1)求证：AF=CE； (2)求证：CE2+BF2=BC2； (3)若CH=2，AH=4，请直接写出线段AC，AE的长. (1)证明：如图，连接AD.∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，∴AD⊥CB，∴AD=DB=DC.∵∠ADC=∠EDF=90°，∠ADC=∠ADF+∠FDH，∠EDF=∠FDH+∠CDE，∴∠ADF=∠CDE.∵DF=DE，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴AF=CE. (2)证明：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠DFE=∠DEF=45°.∵△ADF≌△CDE，∴∠AFD=∠DEC=135°，∠DAF=∠DCE.∵∠BAD=∠ACD=45°，∴∠BAD+∠DAF=∠ACD+∠DCE，∴∠BAF=∠ACE.∵AB=CA，AF=CE，∴△BAF≌△ACE(SAS)，∴BF=AE.∵∠AEC=∠DEC-∠DEF=135°-45°=90°，∴AE2+CE2=AC2，∴BF2+CE2=BC2. (3)AC=，AE=. 类型二　动点探究题 典例2　 【问题】 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG，BE，则DG与BE的数量关系是　 　，DG与BE的位置关系是　 　；  (2)如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，点E是AD边上的一个动点. 　DG⊥BE　 　DG=BE　 【探究】①如图2，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG∶CE=1∶2，连接DG，BE，求证：DG⊥BE； 【拓展】②如图3，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为   .  　 (2)证明：①如图2，延长BE，GD相交于点H.∵四边形ECGF，四边形ABCD都是矩形，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE.∵CD∶CB=3∶6=1∶2，CG∶CE=1∶2，∴CD∶CB=CG∶CE.∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC=∠DGC，∴DG=BE.∵四边形ECGF是矩形，∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°，∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°，∴DG⊥BE. 类型三　图形变换探究题 典例3　(2024·谯城区二模) 已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，连接BD，AE. (1)问题发现：如图1所示，若△ABC和△CDE均为等边三角形，则线段BD与线段AE的数量关系是 　 　；  (2)类比探究：如图2所示，若∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD=60°，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3所示，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=2，当点B，D，E三点共线时，求BD的长. 　BD=AE　 (2)解：BD=AE.理由：∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BAC=∠DEC=30°，∴，∠BCD=∠ECA，∴△BCD∽△ACE，∴，∴BD=AE. (3)解：①如图3，当点D落在线段BE上时.∵∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=2，∴BC=AC=2，CD=EC=，∴AC=2，CE=DE=1.∵∠DEC=90°，∴BE=，∴BD=BE-DE=-1； ②如图4，当点E落在线段BD上时，同理可得，BD=BE+DE=+1.综上所述，BD的长为-1或+1. 典例4　(2024·黄山一模) 如图1，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题. (1)求证：△AFD≌△DCE； (2)如图2，延长CF交AE于点G，交 AB于点H.求证：EF·DF=GF·CF. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC.∵ED平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°，∴∠DEC=90°-∠EDC=45°.∵将△ABE沿AE折叠至△AFE，∴△ABE≌△AFE，∴AB=AF，∠AFD=∠B=90°，∴AF=AB=DC.在△AFD与△DCE中，，∴△AFD≌△DCE(AAS). (2)∵△AFD≌△DCE，∴AD=DE，AF=DF=DC=CE，∴∠DCF=∠DFC=(180°-∠EDC)=(180°-45°)=67.5°.由折叠知：△ABE≌△AFE，∴∠BEA=∠FEA=(180°-∠DEC)=(180°-45°)=67.5°.即∠GEF=∠EFG=∠DCF=∠DFC，∴△GEF∽△DCF，∴，∴EF·DF=GF·CF. 类型四　类比探究题 典例5　 问题提出：如图1，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究的值. 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图2，当∠BAC=60°时，直接写出的值； (2)再探究一般情形，如图1，证明(1)中的结论仍然成立； 问题拓展： (3)如图3，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，(n＜2)，延长BC至点E，使DE=DG，延长ED交AB于点F，直接写出的值(用含n的式子表示). (1). (2)证明：如图1，取BC的中点H，连接DH.∵D是AC的中点，∴DH∥AB，DH=AB.∵AB=AC，∴DH=DC，∴∠DHC=∠DCH.∵BD=DE，∴∠DBH=∠DEC，∴∠BDH=∠EDC，∴△DBH≌△DEC，∴BH=EC，∴.∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴，∴，∴. (3). 类型五　其他类型探究题 典例6　 【问题探究】 (1)如图1，正方形ABCD中，点F，G分别在边BC，CD上，且AF⊥BG于点P，求证：AF=BG； 【知识迁移】 (2)如图2，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上，且EG⊥FH于点P.求的值； 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BDC=120°，DB=DC，点E，F分别在线段AB，BC上，且CE⊥DF于点P.请直接写出的值. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC.∵AF⊥BG，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠BAP=∠CBG.在△ABF和△BCG中，∴△ABF≌△BCG(ASA)，∴AF=BG. (2)解：如图1，作EM⊥DC于点M，作HN⊥BC于点N，则EM∥AD∥BC，HN∥AB∥DC，∴EM⊥HN，EM=AD=BC，HN=AB=DC.又∵EG⊥HF，∴∠GEM=∠FHN，∴Rt△EMG∽Rt△HNF，∴，即. (3)=2. 第1题图 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为( ) A.19° B.33° C.34° D.43° B 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F.若AC=8，BC=12，则DF的长为( ) A.2 B.4 C.3 D.2.5 D 3.(2024·庐江县二模)如图，把矩形ABCD沿直线EF对折，使点A与点C重合，点D落在点D'处.若四边形AFED'与矩形ABCD的重叠部分的面积是矩形面积的，则=  　.  4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AB'C'D'，此时B'C'恰好经过点D，连接BB'，则BB'的长为  .  　 (1)当DE∥BC时(如图2)，∠CAE的度数是　 　；  (2)当DE平行于三角尺ABC的其他边时，∠CAE的度数是 　 　.  　105°或135°　 5.(2024春·太和县月考)一副直角三角尺先按如图1所示的方式叠放，再让含45°的三角尺ADE固定不动，然后将含30°的三角尺ABC绕顶点A按顺时针方向旋转半周. 　15°　 6.(2024春·鲤城区期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为AC中点，AD与BE相交于点F. (1)若∠ABC=38°，∠ACB=82°，求∠ADB的度数； (2)过点B作BH⊥AD交AD延长线于点H，作△ABH关于AH对称的△AGH，设△BFH，△AEF的面积分别为S1，S2，若S△BCG=6，试求S1-S2的值. 解：(1)∵∠ABC=38°，∠ACD=82°，∴∠BAC=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠ADB=∠DAC+∠ACD=30°+82°=112°. (2)∵△ABH与△AGH关于AH对称，∴△ABH≌△AGH，∴AB=AG，BH=HG.∵S△BFH-S△AEF=S△ABH-S△ABE=S△ABG-S△ABC，∴S1-S2=×(S△ABG-S△ABC)=S△BCG.∵S△BCG=6，∴S1-S2=3. 7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，CE⊥AB于点E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG. (1)求证：CD2=DG·DA； (2)如图1，若点D是BC中点，求证：CF=2EF； (3)如图2，若GC=2，GE=2，求证：点F是CE中点. 证明：(1)∵CG⊥AD，∠ACB=90°，∴∠CGD=∠ACB=90°.∵∠CDA=∠CDG，∴△ACD∽△CGD，∴CD∶DG=DA∶CD，∴CD2=DG·DA. (2)如图1，过点E作EH∥AD交BC于点H.∵HE∥AD，∴BH∶HD=BE∶EA，CD∶HD=CF∶EF.∵CB=CA，∠ACB=90°，CE⊥AB，∴E为AB的中点，∴BE∶EA=1，∴BH∶HD=BE∶EA=1.∵D为BC的中点，∴CD=BD，∴CD∶HD=2，∴CD∶HD=CF∶EF=2，∴CF=2EF. (3)∵CB=CA，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°. ∵CE⊥AB，CG⊥AD，∴∠AGC=∠AEC=90°，∠ACE=45°.∵∠CFG=∠AFE，∴△GCF∽△EAF，∴.∵∠GFE=∠CFA，∴△EGF∽△ACF，∴∠EGF=∠ACF=45°.如图2，过点E作EM⊥AD于点M，∴△EGM是等腰直角三角形.∵EG=2，∴EM=2.∵CG=2，∴CG=EM.∵∠CGF=∠EMG=90°，∠CFG=∠EFM，∴△CGF≌△EMF(AAS)，∴CF=EF，∴点F是CE的中点. 8.如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，连接AD，点B与点E关于直线AD对称，连接AE交BC于点F，连接CE，DE. (1)求证：∠ADC=∠AEC； (2)如图2，已知∠CAE=90°. ①求sin∠DCE的值； ②求证：CD-DE=AD. (1)证明：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠ACB=(180°-∠BAC)=30°.∵点B与点E关于直线AD对称，∴AB=AE，∠BAD=∠EAD，∴AB=AC=AE.设∠EAC=α，∴∠AEC=∠ACE=(180°-α)=90°-α，∠BAD=∠EAD=(120°-α)= 60°-α，∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+60°-α=90°-α，∴∠ADC=∠AEC. (2)①解：∵∠CAE=90°，AE=AC，∴△CAE为等腰直角三角形，∴∠AEC=∠ACE=45°.如图1，过点A作AG⊥BC于点G，∴∠AGD=90°，由(1)知∠ADC=∠AEC，∴∠ADC=∠DAG=45°，∴AG=DG.在Rt△ADG中，设AG=DG=1，∴AD=AG=.∵∠B=∠ACB=30°，∴∠CAG=∠BAC=60°，∴在Rt△ACG中，CG=AG·tan∠CAG=，AC=2AG=2，∴AE=AC=2，CE=AC=2.∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=CG=，∴BD=BG-DG=-1.∵点B与点E关于直线AD对称，∴∠BAD=∠EAD，AB=AE.又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED(SAS)，∴DE=BD=-1，∠BDA=∠ADE=180°-∠ADC=135°，∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=135°-45°=90°， ∴在Rt△CDE中，sin∠DCE==. ②证明：如图2，过点A作AH⊥AD交BC于点H.∵∠CAE=90°，AE=AC，∴△CAE为等腰直角三角形，∴∠AEC=∠ACE=45°，由(1)知∠ADC=∠AEC，∴∠ADC=45°.∵AH⊥AD，∴∠AHD=∠ADH=45°，∴AD=AH，∴△ADH是等腰直角三角形.在Rt△ADH中，根据勾股定理，得AD2+AH2=DH2，∴DH=AD.∵∠DAH=∠EAC=90°，∴∠DAH-∠EAH=∠EAC-∠EAH，∴∠EAD=∠CAH.在△EAD和△CAH中， ∴△EAD≌△CAH(SAS)，∴DE=HC.∵CD=CH+DH， ∴CD-CH=DH=AD，∴CD-DE=AD. 9.如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB=AC=5，BC=6.E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE并延长，CE的延长线与BA的延长线交于点G. (1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE交于点N，AE=. ①若M为BC中点，求证：EN=NC； ②求AG的长； (2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH.若∠HED=∠CED，且HF=2GH，求EF的长. (1)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6.∵AE=DF=，∴EF=AD-AE-DF=3.∵BM=CM=3，∴EF=CM=3.∵∠NFE=∠NMC，∠ENF=∠CNM，∴△ENF≌△CNM(AAS)，∴EN=NC. ②解：如图.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，DC=AB=5，AD=BC=6，∴∠GAE=∠CDE，∠AGE=∠DCE，∴△AGE∽△DCE，∴. ∵AE=，∴DE=，∴AG=5×，∴AG=. (2)解：连接CF.∵AB=AC，AB=DC，∴AC=DC，∴∠CAD=∠CDA.∵AE=DF，∴△AEC≌△DFC(SAS)，∴CE=CF，∴∠CFE=∠CEF.∵∠EHG=∠EFG+∠HED=∠EFG+∠CED，∴∠EHG=∠EFG+∠CFE=∠CFG，∴EH∥CF，∴.∵HF=2GH，∴.∵AB∥CD，∴∠GAE=∠CDE，∠AGE=∠DCE，∴△AGE∽△DCE，∴，∴，∴DE=2AE.设AE=x，则DE=2x.∵AD=6，∴x+2x=6，∴x=2，即AE=2，∴DF=2，∴EF=AD-AE-DF=2. 10.已知△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，且AB=3，AD=1. (1)若∠BAC=∠DAE=90°，AE在线段AB上，连接CE并延长交BD于F，如图1. ①求证：△ABD≌△ACE； ②求BF的长； (2)若∠BAC=∠DAE=45°，点B，D，E在一条直线上，F是CE的中点，G是AC的中点，连接BF，BG，如图2，求的值. (1)①证明：∵AE在线段AB上，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∴∠BAD=∠CAE.又∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE(SAS). ②解：由①可得∠ABD=∠ACE.又∵∠AEC=∠FEB，∴∠BFE=∠CAE，∴△ACE∽△FBE，∴.∵AB=AC=3，AD=AE=1，∴BE=3-1=2，CE=，∴BF=. (2)解：如图，连接GF.Rt△ABD中，BD==2. 等腰Rt△ABC中，.等腰Rt△ADE中，. ∵F是CE的中点，G是AC的中点，∴GF是△ACE的中位线， ∴，∠CGF=∠CAE，∴. 又∵∠CGB=90°，∠CAB=∠DAE=45°，∴∠BGF=∠CGF-90°，∠BAD=∠CAE-90°，∴∠BGF=∠BAD，∴△BGF∽△BAD， ∴.又∵AB=3，BD=2，∴. $$