第二十一章 一元二次方程 专项--一元二次方程的根与系数的关系 提升练 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 专项--一元二次方程的根与系数的关系 提升练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册 一、单选题 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若方程的两个实数根为，，则的值为（    ） A．12 B．3 C．7 D．4 3．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（    ） A．1 B．2 C． D．3 4．若为一元二次方程的两个根，则(     ) A． B． C． D． 5．如果－5是一元二次方程的一个根，那么方程的另一根是（    ） A．5 B．0 C． D． 6．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 7．一元二次方程的两个根分别是，则的值是（　　） A．3 B．7 C． D．11 8．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．1 D．7 9．若是关于的方程的一个根，则此方程的另一个根（    ） A．-5 B． C．5 D． 10．若，且为一元二次方程的一个根，则该方程的另一根为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．关于x的一元二次方程的两根之和为 ． 12．写出一个解为1和2的一元二次方程： ． 13．如果是关于的一元二次方程的两个实数根，则= ． 14．已知a，b是一元二次方程的两根，则 ． 15．已知3是关于x的方程的一个根，则另一根为 ． 16．设是方程 的两个根，且－＝1,则m= . 17．若实数、、满足，，，则的取值范围是 ． 18．设是方程的两个实数根，则的值为 ． 三、解答题 19．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 20．已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 22．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 23．已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 24．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B A B B D C C 1．C 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值大于0，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案. 【详解】解：∵方程的两个实数根为，， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握根与系数关系的内容是解题的关键. 3．B 【分析】设方程的另一个根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为x1，根据题意得： =2，解得 x1=2． 故选:B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的两根之积等于是解题的关键． 4．B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴=． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键． 5．A 【分析】先把方程化一般式为x2－m=0，设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得－5＋t=0，然后解一次方程即可得到答案． 【详解】解：方程化为x2－m=0， 设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得－5＋t= 0， 解得：t=5， ∴方程的另一个根为5， 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ， 故选：B． 7．B 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 8．D 【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式． 9．C 【分析】根据，代入计算即可． 【详解】∵是关于的方程的一个根，另一个根为， ∴， 解得=5， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 10．C 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，则，设该方程的另一根为，根据一元二次方程根与系数关系得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴， ∴， 设该方程的另一根为， 则， ∴， 即该方程的另一根为， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与系数关系等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 11． 【分析】利用根与系数的关系进行求值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握． 12．x2-3x+2=0 【详解】解：∵1+2=3，1×2=2， ∴以1和2为根的一元二次方程可为x2-3x+2=0． 故答案是：x2-3x+2=0． 13．/1.5/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．先利用根与系数的关系求出和的值，然后把通分后代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 14．4 【分析】直接根据两根之和的公式可得答案． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两根， ∴a+b=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，． 15．2 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．解题的关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 设方程的另一个根是，根据根与系数的关系列出关于另一根的方程，解方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根是， 是关于的方程的一个根， ， 解得，； 故答案为：2． 16．3 【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3. 17． 【分析】由已知条件得到b+c=1，bc=a-1，则利用根与系数的关系可把b、c转化为方程x2-x+（a-1）=0的两实数解，根据根的判别式的意义得到△=1-4（a-1）≥0，然后解不等式即可． 【详解】由题意可得：b+c=1，bc=a-1， ∴把b、c转化为方程x2-x+（a-1）=0的两实数解， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系． 18．0 【分析】根据方程与根的关系得到，根据根与系数的关系得到，代入即可计算结果． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，，， 则， ， =， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了方程与根的关系、一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； （2）解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或1， ， ． 20．(1)见解析 (2)2015 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键； （1）证明方程的判别式大于0即可； （2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，原方程为， ∵、是此方程的两个根， ∴， ∴ ∴ ． 21．(1) (2)的整数值有0，1，2． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； （2）由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 22．(1)； (2)不存在这样的实数k．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长. 【详解】（1）证明：∵， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2， ∴， 解得：， 即， ∴、的和， ∵平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 24．(1)四 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$