山西省长治市沁源县第一中学2025-2026学年高三上学期8月开学摸底考试数学试卷

2025-2026学年高三入学摸底联考 数学 考试说明：1本试春共150分。考试时间120分钟。 2,请将各题答金填在答题卡上。 一、选择避：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=0,1,2,3,4,B=(x1-1≤x<2)·则A∩B A.0 B.0,1) C.0.1,2 D.1,2 2.已知i是虚数单位，复数：满足z=一2+1，则乏= A.-1-2iB.-1+2i C.1+2i D.1-2i 3.已知向量a=(x-2,3),6=(1,4),且a⊥6，则x= A.-5 B.-6 C.-10 D.7 4.已知S。是等差数列(a.)的前n项和，且S,=4,S,=16,则S, A.36 B.46 C.64 D.160 5.已知sin0= 亏，且8是第二象限的角，则 sin20 0s20+1 B-i c D.- 6.已知a=og2,b=log4,c=,则a,b,c的大小关系是 2 A.b>c>a B.c>a>b C.c>b>a D.a>b>c 7.过坐标原点作曲线y=(x一a)e(a≠0)的切线，若切线有且只有一条，那么a= A.-2 B.-4 C.2 D.4 8已知椭圆C: 63 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F:的直 线与椭圆交于A,B两点，若AF-F,B,且∠AF,B=90,则椭圆的离心 率为 c n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 HONOR 80 GT 高三数学第1页共4页 ● 54MP Matrix Camera 9。设集合P=x0≤x≤4，Q=y一2≤y≤21，则下列曲线能表示从集合 P到集合Q的函数关系的有 B 10。已知圆锥的轴截面是而积为3的等边三角形，则下列结论正确的是 A.该圆锥的母线长为2 且该圆维的体积为 C.该圆锥的侧面积为2元 D.该圆锥外接球的表面积等于8π 山。为了得到函数y=m(2z+爱的图象，只需将函数y=c0s一是)的图象 A先向右平移个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2 B.先向左平移个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 C先将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的)倍，再向右平移费个单位长度 D.先将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 的展开式中含x项的系数为 13.已知直线1：mx-y+4=0与圆C:x十(y-2)°=4交于A、B两点，写出 满足“△ABC面积为号”的m的一个值 O HONOR 80 GT 高三数学第2页共4页 ● 54MP Matrix Camera 14.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制.。若各局比赛相互独立。 甲每局获胜的概率为】，设有平局。若已知甲最终获得比赛胜利，那么甲是以 3:1获胜的概率为 四、解答题：本顺共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角A,B,C成等差 数列，5sin(A-B)=3sinC. (1)求cosA: (2)若△ABC的外接圆的周长为7x,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进人第二 环节测试，第一环节测试合格的概率为p(0<p<1),若第一环节测试通过， 则第二环节测试合格的概率为子：若第一环节测试不合格，则无法进第二环 节，设该产品最终测试合格的概率为。，且每次测试结果相互独立。 (1)求p的值； (2)若连续2次进行测试，记X为合格的次数，求X的分布列及数学期望 17.(本小题满分15分) 如图，在等腰直角三角形ABC中，AC⊥CB,BC=3、E、F分别是AC,AB 上的点，且AE=2EC,AF=2FB,将△AEF沿EF进行翻折，使得点A至 点P处，且PB=√14， (1)求证：PE⊥平面BCEF: (2)求平面PBC与平面PFB的夹角的余弦值. 图1 图2 HONOR 80 GT ● 54MP Matrix Camera 高三数学第3页共4页 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y=2pr(p>0)的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两 点，其中点A在第一象限，若AF的中点M到y轴的距离为p,且引OA=√团 (O为坐标原点). (1)求抛物线C的方程： (2)求△AOB的面积： (3)过点Q(-3,0)的直线1与抛物线C交于D,E两点，问：在x轴上是否存 在定点T,设直线DT,ET的斜率分别为k1,k,使k,k:为定值，若存 在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由。 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e+ax,g(x)=ax一ln(红+1)， (1)若a=1,求曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程： (2)讨论函数g(x)的单调性： （@)若x∈0，十，f)十g)>号-+1恒成立，求a的取值范围 O HONOR 80 GT ● 54 MP Matrix Camera高三数学第4页共4页20252026学年高三入学模底联考 数学容案 1B【解折】因为4~@23刘，集合B中电有1两个无素，放A门B=0,放选B 2D【解析】由已知2.-1+方，所1-21，放选D 3C【解断】由已知a6-x-2+12-0,解得x=-10,故选C 4C【解折】役等差数列问}的简项为公装为4，曲S=45,-16,则24+d=4,4+6d=16, 解得4=1，d=2,所以S=84,+2=64,选C B【解行】因为血0-子且0是第=家限的角，则s0=-手m0号 所以n20.2m0cas0 00骨m9=故选B A【折】kog,2-o4<eg4,枚a<,号og,,司=9>2小所以ag,>og2故e>0 手g6,6=站<，所以g.6吧4做e<b那么6>ea,故志A 7D【解析】设切点为(。-ae),fx)=(x-a+1e,所以切线的斜率=（化。一a+e*,切线方程 为y-(3。-ae=(:n-a+Ic(x-)将坐标原点代入可得x。2-+a=0,因为切线有且只有一条，所 以△=a2-4a=0,解得a=0或a=4,又a≠0，所以a=4,故选D 8A【解折】因为丽-万B,设5=2453x,如图所示，由桶圆的定义可知 45+4F=2a.则4F=2a-3x,同理8所+B5=2a,则BF=2a-2x. 因为∠5B=90则15+BF=4B则(2a-3x+(2a-2x)2=(5x, 化减可得3+5a-202=0,则x+20(0-a）-0.贴=号 所以=新=a,所以4为拼圆的上该下)顶点，m价号 在5中，乐-解得，用-吕 2a2 a 5 ,故选A 9BD【解析】对于A和C,集合P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义，不满足条件： 对于B和D,定义域为P,值域为Q的子集，故符合函数的定义，满足条件：故选：BD 10ABC【解析】因为轴截面是面积为5的等边三角形，所以母线1=2，底面半径r=1,故A正确： HONOR 80 GT 高三数学第1页 ● 54MP Matrix Camera 圆维商--F6,体积，-核B正璃 侧面展开扇形的弧长为2，侧面积为兮2：2-2，故C正确 设圆维的外接球的球心为心，单径为5，轴酸面如图所示： 在等边△4即中.外接赛半轻为号为-2，即6-2通 3 所以圆惟的外接球的表面积S=4=4 AC【】y合小治若光向右平移音个单位长度，得到y=学.再将织坐标 不变，核坐标缩短为原来的行，得到y=2x+宁，故A正确， 若先向左平移音个单位长度，得到)y=+受，再特级坐标不变，损坐标种长为原来的2信，得到 m宁+-cos,放B错误 2 2 若先将级坐标不变，横坠标第短为原来的倍，得到)=m2+治，得向右平移云个单位长度得到 y=m2x+学，放C正确： 若先帮飘坐标不变，横坐标排长为原来的2信，得到)=宁语，再向左平移活个单位长度。得 24 )=+语，故D错误故选AC 16 卫号【折1展开式的通项为=C6户（之=C(3“,令4-2法=2，则=3 所合项的系为C(:号 5从-22中任选-个御可【解折】圆心C@习到直线的距离 2 Vtm' 由于弦长24一，所以5r1d=4-=,解得4-45设5 石时版从号特中结 “是【解折】由题意可知若甲获利比套胜利，比赛的结果可为30.31和32 若甲以30获陆，概率为月=白身-专若甲以3计我胜，则预率为月宁×白-。 者甲以2获，则概率为片一宁一名所以甲实得比赛胜利的版率为P一月+房+月-宁 O HONOR 80 GT ● 54MP Matrix Camera 高三数学第2页 3 中甲是以3划我鞋的版率为分- 2 15.【解析】(1)因为角AB,C成尊差数列，所以2B=A+C 又因为A+B+C=F,所以B=可 由5仁-3mC,可知5m4-学-34+孕。s4分 1 化同得m4=45casA,即mA=45所以cmA-)6分 2》曲如m45mc=n4+当-46，，4 8分 727214 义A4BC的外接圆的周长为7厅，所以2R=7 那么a=2Rsm4=45.c=2RmC=55 11分 2 所以ABC的面积S=a m845555 13分 22 2 16【解析】(1)设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示最终 测试合格，根据题意。由条件概率公式得PC)=P八)P8)=P 3 .5分 (2)由(1)知，该产品测试合格的概率为 因连续2次测试相互独立， 放X服从二项分布，即术~2寻。 …7分 鱼爽分右事公式得--C限目 (k=0.12), 当k=0时， P(X-0)=C 9分 11分 当k=2时， x-c图名 413分 X 0 2 25 15 6 2 64 由二项分布期望公式得E()=2 33 4 5分 HONOR 80 GT ● 54MP Matrix Camera 高三数学第3页 n【】D由瓷器-2，得c,E2 由F1PE,又BCF,可得BC1B,又因为C1C,PEDEC-E所以BC1平面PEC2分 连接EB,可得EB+下-、石，又因为PE=2,PB= 由约限定理可知PE上B…4分 义因为PE上BC,EBn8C=B,所以PE上平面BCEF6分 (2)以万为坐标原点、5C所在的直线为轴。以F所在的直线为>轴，即所在的 直线为：轴建立如图空间直角坐标系，罪么P0,Q,2),C0,0,0),BL,3), F020）.7分 设平面8C的法向量为=（力），且B=1,3-2),BC=0-3,0) 西=0即+-2西=0，令有=，可得为=04=2，所以m=2000分 则配m-0 -3列=0 授平面PFB的法向量为m=(x2,y2,1),且P吓=(0,2，-2)，P丽=L,3,-2), 际西=0，即 则西而-0 2为-25=0 +3为-2，=0’令为=1.可得=-1，所以所=(11013分 c0s(%,元)= 一晋，所以平面C与平面P的夹角的余弦值为 15分 元n2| 15 这【解折】D由题意得F0 :F的中点M到y轴的距离为P, 3 5x-2P 42分 又：点A在抛物线上， =2匹，=3p2，又点A在第一象限，即y=5p…3分 10a=+-2业=21，p>0p=2 二抛物线C的方程：y2=4红 …5分 2)由)可知：-P=3=5p=25,FL,0以直线8的斜事为5，则直线8的方程为 3 y=3x-) 联立抛物线可得3x2-10x+3=0,x8=1. HONOR 80 GT ● 54MP Matrix Camera 高三数学第4页 又=那么时 8分 所队A0的5-0r,,5-号 10分 1 3 (3)设D(与)·E(为)，Tu,0 易知直线1斜事存在，设直线：x一m四一3， x=v-3 联立4 ，消x得-4mw+2=012分 △=16m2-48>0 m2>3, 由韦达定理得：为+y2=4m2=12,T4,0) 当“当 片 5-云-司-6+四-+可mm6+0+为)+0+ 12 12m2-4m2(3+)+3+) 15分 当1=0时，有 T0.0). 综上，存在定点700使得号 17分 19.【解析】(1)当a=1时，f(x)=e+xf(0)=e°+0=1， 又f(x)=c+1f'(0)=e°+1=2， 切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=03分 2)8)的定义域为(-l+o),g)=a- x+1 ①当as0时，g)=a-<0,8)在1+四）上单调递减6分 ②当a>0时，令g)>0,得x>1-1. 六g闭在气。小上单调港说在名 上单调增9分 综上所述，若a≤0，则g(x)在(-L,+0)上单调递减， O HONOR 80 GT ● 54MP Matrix Camera 高三数学第5页 若a>0.别8因在)上单调诚在仁上单 …10分 3)f)+g0> ◆=e-号ea4k-n+小1 则(0)=e°-1=0. (0=c-x+2a+1-1 Th0=1+2a. )>0在0.+四)上恒成立，h0)=0.h030,即2-号4分 2 这是h(x)>0在(0，+)上恒成立的必要条件： 下证充分性： 当e-,xe0.a+ke0.o2e-号-e+D 令=e文-ng+)-1o=e-1=0 )=e'-x- 4T40)=0 "(x)=e'-1+ x+x>0,4>0 1 二H(x)在(0，+)上单调递增， 又μ0)=0，∴在(0，+o)上H'(x)>0,4(x)在(0，+o)上单调递增 又μ(0)=0∴μ(x>0在(0，+0)上恒成立， 又h(x)≥4x),∴h(x)>0在(0，+0)上恒成立， ∴当a≥-二时，h(x)>0在(0，+四)上恒成立，充分性得证 :a的取值范围为 HONOR 80 GT ● 54MP Matrix Camera 高三数学第6页