九上 2.4 一元二次方程根与系数的关系 -【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(湘教版)

课题 第2章 第4节 一元二次方程根与系数的关系 第1课时 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 1.知识与技能目标 ①掌握一元二次方程根与系数的关系：，；②利用上述根与系数的关系求与一元二次方程的根有关的代数式的值；③已知一根，利用根与系数的关系求另一根及方程中的字母系数的值. 2.过程与方法目标 经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想. 3.情感、态度和价值观目标 通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神. 教学重点、难点、关键点 1. 通过探究、推导掌握一元二次方程根与系数的关系. 2. 能运用根与系数的关系求两根之和或积的相关问题. 3. 能运用根与系数的关系求一元二次方程的系数. 4. 通过练习，提高学生的知识应用能力和计算能力. 教学方法 这节课通过探索当Δ≥0时一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系,得出两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，即，.从而利用这个关系（称为韦达定理）解决有关问题. 教学准备 多媒体课件 教学过程 1.新课引入 以创设问题情境导入新课。“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。 2.讲授新课 本节课主要采用课件演示的方法来帮助学生理解如何得出一元二次方程根与系数的关系及其实际应用。先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。 课堂小结 （1)知识内容小结：要点由学生共同来总结。 （2）学习方法小结： 在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c有哪些作用？ ①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程； ②当a≠0时，b=0，a，c异号，方程两根互为相反数； ③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况。 ④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2= -     ，x1x2=    。 ⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。 4.板书设计 2.4 一元二次方程根与系数的关系 1.当∆≥0时，对于一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的两个根x₁，x₂，有， 2. 当∆≥0时，对于一元二次方程x²+bx+c=0的两个根x₁，x₂，有x₁+x₂=-b，x₁x₂=c. 3.根据一元二次方程根与系数的关系，可以直接求两根之和与积，也可以求与两根之和或积有关的代数式的值，还可以求一元二次方程的系数. 教学设计反思 此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值. 学科网（北京）股份有限公司 $$