九下 2.6 第2课时 扇形面积-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

课时导入 看看扇子的轮廓，你能说出它是什么形状的图形吗？ 知识讲解 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形 OAB. 半径 半径 O B A 弧 O B A 扇形 圆心角 下列图形是扇形吗？ 判断 √ × × × √ 探究 问题1 半径为 r 的圆，面积是多少？ O r 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? O r 180° O r 90° O r 45° O r n° 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 = 知识讲解 半径为 R 的圆中，圆心角为 n°的扇形的面积是 注意：扇形面积公式中的“n”和弧长公式中的“n”一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位. 1.圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大. 2.圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关， 圆心角越大，面积越大. 扇形的面积与哪些因素有关？ 扇形的面积与圆心角、半径有关. O A B D C E F O A B C D 例1 如图，已知圆 O 的半径 1.5 cm，圆心角∠AOB = 58°，求扇形 OAB 的面积 (结果精确到 0.1 cm2 ). 58° O A B 解：∵ r = 1.5 cm，n = 58， 例2 如图是一条圆弧形弯道，已知 OA = 20 m，OC = 12 m， 弧 CD 的长度为 9π m，求圆弧形弯道的面积． 解：设∠AOB=n°， ∵OC = 12 m，弧CD 的长度为 9π m， 解得 n =135，即圆心∠COD=135°， 答：圆弧形弯道的面积为 . 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 可类比三角形的面积公式： A B O O 探究 补充例题 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积（精确到 0.01 m）. O B A C 弓形的面积=S扇-S△OAB. 提示: 解：如图，连接 OA，OB，作弦 AB 的垂直平分线，垂足为 D，交弧 AB 于点 C，连接 AC. ∵ OC = 0.6 m，DC = 0.3 m， ∴ OD = OC-DC = 0.3 m， ∴ OD = DC. 又 AD⊥DC， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线， ∴ AC = AO = OC. 从而∠AOD = 60°，∠AOB = 120°， ∴ 有水部分的面积S = S扇形-S△OAB = O B A C D 知识讲解 弓形的面积可以看成是扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式： 1.如图(1)，弓形 ADB 的面积小于圆面积的一半，此时 S弓形 = S扇形OAB - S△OAB . 由弦及弦所对的弧组成的图形叫作弓形. 2.如图(2)，弓形 ADB 的面积大于圆面积的半，此时 S弓形 = S扇形OADB +S△OAB . 3.如图(3)，弓形 ADB 的面积等于圆面积的一半，此时 S弓形 = S圆 . 随 堂 小 测 C 1. 2. 如图，半径为 1 cm、圆心角为 90°的扇形 OAB 中，分别以 OA、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　) C A. π cm2 B. π cm2 C. cm2 D. cm2 3. 如图，☉A、☉B、☉C、☉D 两两不相交，且半径都是 2 cm，则图中阴影部分的面积是 . A B C D 4.如图，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果 AO = 45 cm， CO = 5 cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的区域(阴影部分)的面积为 cm2(结果保留π). 500π 解：∵OA = OA′，OC = OC′，AC = A′C′， ∴△AOC≌△A′OC′， ∴雨刷器AC扫过的面积 = 扇形AOA′的面积-扇形COC′的面积 = ×π = 500π (cm2). 不规则图形面积的求解方法 在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，那么可以采取各种方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式. 与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式或弓形面积的计算公式. 5.如图，以 BC 为直径的☉O 与 △ABC 的另两边分别相交于点D，E. 若∠A = 60°，BC = 4，则图中阴影部分的面积为______ (结果保留 π). 解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°. ∵△OBD，△OCE是等腰三角形， ∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB) =360°-120°-120°=120°， ∵BC=4，∴OB=OC=2，∴S阴影== π． 解： 方法一： 方法二： 6.正方形的边长为 a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积. 7.如图，AB为☉O的直径，AC，DC为弦，∠ACD = 60°，P为AB延长线上的点，∠APD = 30°. (1) 求证：DP 是☉O 的切线； (2) 若☉O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积. 解：(1)如图，连接OD. 因为∠ACD = 60°，所以∠AOD = 2∠ACD = 120°, 所以∠DOP = 180°-120°= 60°. 因为∠APD = 30°，所以∠ODP = 180°-30°-60°= 90°，所以OD⊥DP. 又OD为☉O 的半径，所以 DP 是☉O 的切线. 解：(2)因为∠APD = 30°，∠ODP = 90°，OD = 3， 所以OP = 2OD = 6， 所以DP = ， 所以S阴影 = S△ODP - S扇形ODB = . 7.如图，AB为☉O的直径，AC，DC为弦，∠ACD = 60°，P为AB延长线上的点，∠APD = 30°. (1) 求证：DP 是☉O 的切线； (2) 若☉O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积. 小结 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 割补法 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是(　　) A．2π B. C.π D．3π $$